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出版者:

作者:Aufmann, Richard N./ Nation, Richard D./ Clegg, Daniel K./ Lockwood, Joanne

出品人:

页数:0

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出版时间:

价格:49.95

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isbn号码:9780395975909

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• 数学之旅

经典力学导论：从牛顿到拉格朗日 本书特色： 深度与广度并重： 详尽阐述了经典力学从伽利略、牛顿奠基到拉格朗日、哈密顿系统构建的完整演进历程。 严谨的数学基础： 侧重于向量演算、微积分、微分方程在力学问题中的应用，为后续学习更高级的物理学分支（如量子力学和场论）打下坚实基础。 丰富的实例分析： 包含大量的经典习题和现实世界中的物理模型，帮助读者深入理解理论的物理意义。 --- 第一部分：牛顿力学的基础与应用 (The Newtonian Framework) 第一章：运动学的几何描述 本章首先从欧几里得空间中的点粒子运动开始，系统地回顾了描述运动所必需的数学工具。我们定义了位移、速度和加速度的矢量概念，并探讨了这些量在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的分量表示。运动方程的引入（$mathbf{r}(t)$）是理解后续动力学的基础。重点解析了定常加速度运动的抛体问题，并引入了瞬时加速度和曲率半径的概念，这为后续讨论曲线运动中的非惯性参考系奠定了基础。 第二章：牛顿运动定律的严格阐述 本章深入剖析了牛顿三大定律的物理内涵及其适用范围。第一定律（惯性定律）被视为定义惯性参考系的公理。第二定律 $mathbf{F} = mmathbf{a}$ 不仅是量化力的定义，更是连接力的作用与物体运动响应的桥梁。我们详细讨论了质量的定义、动量的概念及其守恒定律在碰撞问题中的应用。第三定律（作用与反作用）在理解相互作用力的平衡性方面至关重要。本章通过复杂的碰撞（非弹性、完全弹性）和火箭推进的实例，展示了如何利用动量守恒解决实际问题。 第三章：功、能与保守力场 在经典力学中，能量的概念是描述物理系统的核心。本章引入了功的概念（力在位移上的积分）以及动能的定义。随后，我们详细讨论了保守力（如万有引力、弹簧力）的特性，引入了势能的概念，并推导出了“功-能定理”，即合外力做的功等于动能的变化量。系统地分析了不同类型保守力对应的势能函数形式，并探讨了势能曲线在判断系统平衡点和稳定性上的重要作用。势能的概念使我们能够用标量函数来替代复杂的矢量力分析。 第四章：刚体的运动与转动动力学 对于宏观物体，刚体运动的分析是不可或缺的。本章将质点动力学扩展到具有空间尺寸的物体。我们定义了质心，并证明了质心的运动遵循与单个质点相同的牛顿第二定律。重点在于转动动力学的建立：角动量 $mathbf{L}$ 的定义、转动惯量 $I$ 的计算（包括平行轴定理和主轴的概念），以及力矩 $oldsymbol{ au}$ 的作用。最后，推导了转动形式的牛顿第二定律 $oldsymbol{ au} = frac{dmathbf{L}}{dt}$，并应用于陀螺仪的进动等经典现象。 --- 第二部分：从守恒定律到分析力学 (The Transition to Analytical Mechanics) 第五章：参考系的选择与非惯性系下的动力学 现实世界中的观察者通常不在惯性系中。本章专门讨论了在加速或旋转参考系中观察到的“假想力”（惯性力）。详细分析了运动变换下的加速度，并引入了科里奥利力（Coriolis force）和离心力（Centrifugal force）。通过研究地球上的运动（如傅科摆和气旋的形成），展示了这些惯性力在宏观地球物理学中的实际意义。本章强调了正确识别和处理参考系变换的重要性。 第六章：万有引力定律与中心力场 本章将牛顿的万有引力定律置于中心力场的框架下进行分析。中心力场的特点是力总是指向或背离一个固定点，且大小仅依赖于距离。通过角动量守恒，我们证明了在中心力场中，物体的运动轨迹总是在一个平面内（开普勒第二定律）。随后，利用能量守恒和有效势能的概念，系统地求解了开普勒问题（行星运动），推导出椭圆、抛物线和双曲线的三种轨道类型，并探讨了人造卫星的轨道修正问题。 第七章：振动与波动的力学描述 谐振子是物理学中最基础的模型。本章详细分析了简谐振动（SHM）及其微分方程的解法。随后，将系统推广到阻尼振动和受迫振动，深入研究了共振现象及其在工程中的重要性。通过引入质量-弹簧系统，本章自然过渡到对连续介质振动的讨论，首次介绍了波动的概念，包括行波和驻波的基本特征，为场论的引入做铺垫。 第八章：拉格朗日力学的原理 本章标志着从基于力的牛顿方法向基于能量的分析力学方法的转变。首先，系统回顾了变分法的基本概念，并引入了达朗贝尔原理（D’Alembert’s Principle），将其作为分析动力学的起点。随后，定义了拉格朗日量 $L = T - V$（动能减去势能），并推导出欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equations）。本章通过分析单摆、滑块在曲面上的运动等约束系统，展示了拉格朗日方法在处理复杂约束问题时的简洁性和优越性。 --- 第三部分：分析力学的高级概念 (Advanced Analytical Mechanics) 第九章：拉格朗日力学的守恒定律 在拉格朗日框架下，守恒定律的出现变得更加自然和深刻。利用欧拉-拉格朗日方程的结构，我们引入了诺特定理（Noether's Theorem）的早期形式——通过考察拉格朗日量在特定变换下的不变性，直接导出相应的守恒量。详细讨论了：时间平移不变性导出能量守恒；空间平移不变性导出动量守恒；空间转动不变性导出角动量守恒。这些守恒量在求解运动方程时提供了关键的积分常数。 第十章：哈密顿力学的建立与相空间 本章将系统推进到分析力学的最高形式——哈密顿力学。首先，通过勒让德变换，从拉格朗日量 $L(q, dot{q}, t)$ 导出哈密顿量 $H(q, p, t)$，其中 $p$ 是广义动量 $p_i = frac{partial L}{partial dot{q}_i}$。本章的核心是哈密顿正则方程： $$dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i}, quad dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i}$$ 这些一阶微分方程组构成了相空间（Phase Space）中的轨迹描述。我们探讨了相空间的概念、相轨迹的特性，以及哈密顿量与总能量之间的关系（当系统不受显式时间依赖的力时）。 第十一章：泊松括号与正则变换 本章引入了描述系统相空间演化的关键数学工具——泊松括号（Poisson Brackets）。定义了任意两个函数 $A$ 和 $B$ 的泊松括号 ${A, B}$，并证明了它们与时间演化之间的关系：$frac{dA}{dt} = {A, H} + frac{partial A}{partial t}$。泊松括号是理解经典力学与量子力学之间对应关系的关键。随后，我们讨论了正则变换，即那些保持哈密顿正则方程形式不变的坐标变换，并介绍了生成函数方法，展示了如何通过正则变换将复杂系统简化为可积分的形式。 结语：经典力学的完结与展望 本书最后总结了经典力学作为描述宏观、低速物理现象的完整理论体系的地位。通过对牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学的系统学习，读者已掌握了从基本原理出发，解决约束系统和复杂动力学问题的全套工具。这些分析方法，特别是哈密顿和泊松括号的结构，直接预示了20世纪初物理学的革命——量子力学的诞生。

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我通常对那些自诩为“普及”数学的书籍持保留态度，因为它们往往在“科普”和“深度”之间失衡，要么过于浅薄以至于让人觉得无聊，要么就是故作高深，让普通读者望而却步。但这本书的平衡感把握得极其精准。它的叙述节奏张弛有度，时而快速地引导你领略一个数学分支的全貌，时而又慢下来，像雕刻家一样精细地打磨一个核心概念的每一个棱角。我特别欣赏作者对于“证明”的尊重和展示。他不仅告诉你结论是什么，更重要的是，他展示了人类是如何一步步推导出这个结论的过程，这才是数学的精髓所在。通过阅读这本书，我明显感觉到自己的逻辑推理能力得到了显著提升，这是一种跨学科的益处。它教会我如何更清晰地构建论点，如何识别潜在的逻辑漏洞。总而言之，这是一本能够深刻改变你看待问题方式的书籍，它的价值远远超出了单纯的数学知识积累范畴。

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我最近在寻找一本能真正激发我对数学好奇心的读物，很庆幸找到了这本。它给我的感觉就像是一位经验丰富的向导，带着你穿越一片布满奇特景观的数学丛林。这本书的结构设计非常流畅，章节之间的过渡自然而然，仿佛是一场精心编排的旅行。我最欣赏的是它对数学概念的“情境化”处理。它不是孤立地介绍公式，而是将它们嵌入到具体的历史背景、实际问题或哲学思考中去。例如，当它谈到拓扑学的一些基本概念时，它会从一个看似简单的几何谜题开始，然后逐步引入抽象的群论视角。这种由浅入深，由具体到抽象的学习路径，极大地降低了理解的门槛，同时也避免了传统教材的刻板印象。每次读完一个小节，我都会有一种“原来如此”的顿悟感，这种感觉在很多数学书籍中是难以获得的。它真正做到了让读者感受到数学作为一种语言和思维工具的强大力量。

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说实话，我对于纯理论的书籍往往敬而远之，总觉得它们离生活太远，读起来索然无味。然而，这本书彻底颠覆了我的看法。它的行文风格非常个性化，带着一种学者特有的幽默感和对未知世界的好奇心。它不回避复杂的概念，但处理复杂的方式却非常“人性化”。作者似乎总能预料到读者在哪个环节会感到困惑，并提前用非常形象的比喻或者巧妙的类比来铺垫。我记得有一部分关于非欧几何的讨论，我以前在学校里学得一塌糊涂，但在这本书里，通过一系列巧妙的几何构造和历史故事的穿插，我竟然对曲率和空间的本质有了更直观的认识。这本书的价值不仅仅在于知识的传递，更在于它培养了一种探索未知的数学精神，它鼓励你去质疑那些你认为是“理所当然”的假设，然后用逻辑的工具去重新审视世界。这种思维训练，远比记住几个公式重要得多。

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这部作品，坦白地说，是那种能让你在阅读过程中不自觉地停下来，反复琢磨、甚至拿起笔在旁边演算一番的类型。我当初抱着试试看的心态翻开它，没想到竟然像打开了一个全新的数学世界的大门。它并非那种枯燥的教科书，而是充满了引导性和探索欲。作者的叙述方式非常巧妙，他总能找到一个极其生活化或看似无关的切入点，然后如同剥洋葱一般，层层深入地揭示出其背后深刻的数学原理。我特别喜欢其中对某些经典悖论的探讨，他没有简单地给出结论，而是带你走过整个逻辑链条，让你亲身体会到思维是如何被拓展和挑战的。比如，关于概率的某些章节，我以前总觉得是靠直觉，读完之后才明白，那些“直觉”背后隐藏着多么精妙的组合和排列规律。这本书的优势在于，它成功地平衡了深度与广度，既能满足对数学有一定基础的读者进行深入思考的需要，也能为初学者提供一个友好且引人入胜的入门路径，让你在不知不觉中爱上数学的严谨与美感。

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这是一部需要细细品味的佳作，它不像快餐读物那样追求即时的满足感，而是像陈年的美酒，越是深入咀嚼，后劲越足。我发现自己常常读着读着就停下来了，不是因为内容太难，而是因为被其优雅的论证过程所折服。作者的文字功底深厚，他对数学语言的驾驭达到了近乎诗歌的境界，尽管内容是严谨的逻辑推导，但读起来却有一种韵律感。尤其是在处理那些看似无关紧要的细节时，作者总能点石成金，将它们提升到更宏大的数学框架之下进行审视。这本书的广博性令人印象深刻，它涉猎的领域从基础数论到高等分析的边缘都有所触及，但绝非蜻蜓点水，而是对每一个选定主题都进行了富有洞察力的剖析。对于任何一个对数理思维有严肃兴趣的人来说，这本书都像是一份邀请函，邀请你进入一个由清晰逻辑和无限可能性构筑的迷人领域。

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