Weierstrass-Stone, The Theorem pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Prolla, Joao

出品人:

页数:130

译者:

出版时间:

价格:43.95

装帧:

isbn号码:9783631465110

丛书系列:

图书标签:

• Weierstrass approximation theorem
• Stone-Weierstrass theorem
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《拓扑动力系统导论》 作者：[请在此处填写作者姓名] 内容简介 本书旨在为对动力系统，尤其是拓扑动力系统感兴趣的读者提供一套全面且深入的入门指南。全书结构严谨，内容涵盖了该领域的基础概念、核心理论以及重要的分析工具，力求使读者能够清晰地理解拓扑动力系统的本质及其研究方法。 第一部分：基础概念与分析工具 本书的第一部分着重于建立坚实的数学基础。我们从拓扑空间的基本概念入手，回顾紧致性、连通性等关键性质，并引入度量空间的概念，为后续的动力系统分析打下必要的拓扑背景。 随后，我们正式引入拓扑动力系统的定义，即一个作用在紧致豪斯多夫空间上的连续自映射。这一部分详细阐述了轨道、平稳集、极限集等基本构造，并深入探讨了庞加莱截面（Poincaré Sections）的概念，这种方法在研究高维系统降维分析中的重要性。 我们花费大量篇幅介绍李雅普诺夫稳定性理论。这不仅包括了对不动点和周期点的稳定性分类（如吸引、排斥、中性稳定性），还扩展到对李雅普诺夫指数的详尽讨论。指数的计算、性质及其与系统长期行为的关联，是理解混沌现象的基石。此外，我们还引入了庞加莱-霍普夫定理的基本思想，尽管不深入其在微分几何中的应用，但会阐述其在固定点指数计算中的直观意义。 为了分析系统的迭代行为，熵理论是不可或缺的工具。我们介绍了拓扑熵的定义，并阐述了它如何量化系统的复杂性和“混乱程度”。通过引入子布拉维区间（Sub-braid intervals）和拓扑可约性的概念，我们展示了熵与系统拓扑结构之间的深刻联系。 第二部分：周期性与非周期性动力 本部分聚焦于系统解的长期行为分类。我们详细分析了周期点的性质，包括其稳定性与多重性。对于极限环（或周期轨道），我们讨论了如何利用庞加莱映射来分析其局部稳定性。 米尔诺结构在非周期动力分析中扮演了核心角色。本书将米尔诺吸引子的构造过程进行了清晰的分解，并讨论了其拓扑复杂性。特别是，我们探讨了在延拓区间（Melnikov Integrability）上，如何通过分析特定方程的零点来预测周期轨道的分裂——这一过程是理解分岔理论（Bifurcation Theory）的切入点，尽管本书侧重于拓扑角度而非参数依赖性。 混沌动力学的基础部分，我们将重点关注敏感依赖性（Sensitive Dependence on Initial Conditions）这一核心特征。我们使用马尔可夫覆盖（Markov Coverings）的概念来构造和分析拓扑熵的精确计算。索利斯-斯梅尔定理（Smale-Solenoid Theorem）的拓扑版本被详细阐述，展示了混沌集合的内在结构——如何通过无限伸展和折叠机制产生复杂性。 第三部分：遍历理论初步 遍历理论是连接动力系统与概率论的桥梁。本书将遍历理论作为分析系统“平均行为”的视角引入。我们首先定义了不变测度（Invariant Measures），阐述了它们在描述系统长期演化中的作用。 比尔霍夫遍历定理是本部分的理论支柱。我们提供了其严格的证明框架，并解释了它如何保证时间平均（Time Average）与空间平均（Space Average）的收敛性。通过引入庞加莱回归定理，我们证明了几乎所有轨道都会无限次地回到任何给定开集的附近，这是系统“遍历性”的体现。 我们还探讨了各种类型的测度，包括狄拉克测度（对应于周期轨道）和平衡态测度（对应于吸引子）。对信息熵与拓扑熵的关系——著名的房产定理（Variational Principle）——进行了介绍，尽管不涉及其测度论的全部细节，但强调了最大熵测度的重要性。 第四部分：特定结构与应用 本书的最后一部分转向对具有特殊拓扑结构的动力系统的分析。 我们深入研究了光滑流（Smooth Flows）的拓扑性质，特别是阿诺索夫微分同胚的定义和关键特征。阿诺索夫系统以其强烈的双曲性而闻名，我们探讨了稳定流形和不稳定流形的光滑性与分离性，以及它们如何保证系统的整体拓扑稳定性。 此外，本书还涵盖了区间映射（Interval Maps）的动力学，特别是区间上的区间映射。我们分析了洛伦兹图（Tent Map）和逻辑斯蒂映射（Logistic Map）的拓扑特性，包括它们的周期窗口和混沌区的交替出现。通过对米尔诺-瑟维斯函数（Misiurewicz Points）的分析，我们揭示了这些一维映射中复杂动力学的源头。 总结 《拓扑动力系统导论》旨在为读者提供一个严谨而又富有洞察力的视角，来理解动态过程的内在规律。本书的重点在于利用拓扑工具来描述系统的稳定性和复杂性，为后续深入研究微分动力学、混沌理论或更高级的遍历理论打下坚实基础。全书配有大量的图示和具体的例子，帮助读者消化抽象的数学概念。

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