Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Israel M. Gelfand

出品人:

页数:533

译者:

出版时间:2008-4-16

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780817647704

丛书系列:Modern Birkhäuser Classics

图书标签:

• 数学
• 科普
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• 代数几何
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《代数的基石：从判别式到多维行列式》 在浩瀚的数学宇宙中，有一些概念犹如璀璨的星辰，指引着我们探索更深层次的结构和关系。本书聚焦于代数领域中三个至关重要的概念：判别式、结果式以及多维行列式。它们不仅是解决方程组、分析多项式性质的利器，更是连接几何、数论以及现代计算代数的核心桥梁。 判别式（Discriminants）： 作为代数方程的“身份证”，判别式以一种精巧而深刻的方式，揭示了方程根的性质。对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的符号直接决定了方程是否存在实数解，以及解的数量。本书将深入探讨判别式的定义、计算方法及其在判断方程根的实虚、重叠和分离等方面的应用。我们会从最基础的一元多项式出发，逐步拓展到更高次的多项式，展现判别式如何捕捉多项式系数之间的微妙关系，从而反映出根系的几何分布。此外，我们还将探讨判别式在代数几何中，例如曲线的奇异点分析，以及在数论中，例如二次域的结构研究中的关键作用。本书将追溯判别式的历史发展，介绍其在不同数学分支中的演化和应用，并提供丰富的实例，帮助读者直观理解其数学含义。 结果式（Resultants）： 如果说判别式是描述单个多项式性质的窗口，那么结果式则是连接两个多项式之间关系的“纽带”。当两个多项式存在公根时，它们的结果式的值恰好为零。本书将详细阐述结果式的定义，并介绍其多种计算方法，包括基于行列式的方法和基于多项式除法的方法。我们将深入研究结果式的性质，例如它如何随着多项式的系数变化而变化，以及它在确定两个多项式是否有公共因子时所起的决定性作用。在代数几何中，结果式是求解两个代数曲线交点的关键工具。本书将通过生动的几何解释，展示结果式如何在平面或高维空间中，将抽象的代数运算转化为直观的几何相交分析。此外，结果式在求解参数方程组、判断是否存在满足条件的参数等方面也扮演着重要角色。 多维行列式（Multidimensional Determinants）： 传统的行列式处理的是二维矩阵，而多维行列式则将行列式的概念推广到更高维度。本书将引入多维行列式的形式化定义，并探讨其在表示和分析高维几何对象（如多面体、向量组的线性相关性）中的应用。我们将从张量代数和外代数的视角，审视多维行列式的结构和性质，揭示其与体积、定向以及线性映射等概念的深刻联系。多维行列式在物理学中，例如在量子场论和相对论中描述张量场的性质，在计算机图形学中，例如进行复杂的空间变换和投影，以及在数据科学中，例如分析高维数据的协方差结构，都具有广泛的应用前景。本书将通过清晰的数学推导和可视化示例，帮助读者建立对多维行列式的直观理解，并引导读者探索其在现代科学和工程领域中的前沿应用。 本书特色与结构： 由浅入深，循序渐进： 从基本概念出发，逐步引入更复杂的理论和应用，确保读者能够稳步掌握。 理论与实践相结合： 严谨的数学推导与丰富的计算示例和实际应用案例相结合，加深理解，激发兴趣。 跨学科视角： 探讨判别式、结果式和多维行列式在代数几何、数论、计算机科学、物理学等多个领域的联系与应用。 清晰的数学语言： 使用准确、规范的数学术语，辅以直观的解释和图示，使抽象的数学概念易于理解。 深入的洞察： 不仅介绍“是什么”，更深入探讨“为什么”和“如何用”，帮助读者理解这些数学工具的内在逻辑和强大力量。 本书旨在为数学专业学生、研究人员以及对代数、几何和相关交叉学科感兴趣的读者提供一份全面而深入的指导。通过对判别式、结果式和多维行列式的细致剖析，读者将能够更好地理解代数结构的内在美，掌握解决复杂问题的有力工具，并为进一步的数学探索打下坚实的基础。

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我带着极大的好奇心翻开了这本书，主要是想看看作者是如何将“判别式”和“结式”这两个在代数方程求解中至关重要的概念，系统地扩展到更高维度，并引入“多维行列式”这个听起来极具挑战性的主题。这本书的写作风格非常古典、严谨，几乎没有使用任何花哨的图示或类比来辅助理解，完全依赖于精确的数学语言和逻辑推导。对于习惯了现代数学著作那种图文并茂、注重直觉引导的风格的读者来说，这无疑是一个挑战。我个人比较欣赏它在细节处理上的毫不妥协，每一个定理的证明都力求完整，中间的逻辑跳跃极少，这保证了数学上的严密性。但是，这种过度追求严密性的做法，也牺牲了阅读的流畅性。很多章节我需要反复阅读几遍，才能真正跟上作者的思路，尤其是涉及到环论和域扩张的部分，显得尤为晦涩。我原以为“多维行列式”会带来一些全新的视角，但实际上，很多章节似乎是在用更复杂的代数框架重新阐释已知的概念，缺乏令人眼前一亮的应用性突破。总的来说，它更像是为那些已经在代数几何领域深耕多年的专家准备的，对于初学者或者希望寻找新颖应用思路的读者，门槛非常高。

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阅读这本书，给我的感觉更像是在一位博学而又有些固执的教授的私人研讨班里旁听。作者的语言风格非常正式，夹杂着一些较为古老的数学术语，这使得阅读过程充满了一种怀旧的学术氛围。我尤其欣赏它对“结式”理论在经典代数几何中的地位的重申，作者成功地将这个看似陈旧的工具，置于现代代数框架下重新审视，强调了其在某些特定计算中的不可替代性。书中关于如何利用结式来研究两个代数曲线交点数的问题，提供了非常详尽的代数路径分析，这在很多现代教材中都被简化了。但与此同时，书中对于如何将这些理论应用于更现代的研究领域，比如代数菌群（tropical geometry）或者组合优化，几乎没有涉及。这本书的关注点似乎牢牢钉在了二十世纪中叶的纯代数领域。对于那些寻求跨学科应用或者希望看到这些深刻理论如何解决现代计算难题的读者来说，这本书可能会让你感到意犹未尽。它是一座坚固的理论堡垒，但通往现代应用大门的桥梁却修建得不够完善。

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我花了相当长的时间来消化这本书，我发现它在处理高维判别式与流形奇异性的关系上，确实展现出了一些独到的见解。作者没有止步于传统的二元或三元多项式的判别式，而是深入探讨了超曲面在参数空间中发生退化的代数条件。这种从几何直觉出发，回归到代数工具的论证方式，在某些章节体现出了极高的洞察力。特别是在关于环上的张量积和其判别式的构造这一部分，它提供了一种非常优雅的代数框架，这对于拓扑数据分析（TDA）领域中处理高维特征空间的读者来说，可能具有一定的启发价值。然而，我必须指出，书中对这些先进主题的介绍显得过于跳跃和精英化。作者似乎默认读者已经完全掌握了诸如范畴论、概形理论等预备知识，对关键术语的介绍极其简略，完全没有对这些复杂工具进行温和的引导。结果就是，一旦读者的知识储备稍有欠缺，理解就会瞬间中断，陷入一种“知道作者在说什么，但不知道他怎么得出的”的尴尬境地。这本书对于想要站在当前研究前沿的学者来说，或许是必需的，但对于希望系统学习这方面知识的进阶学生，难度系数过高。

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这本书的封面设计得非常沉稳，那种深蓝配上烫金的字体，一眼就能看出这是一本严肃的学术著作。我拿到手的时候，那种厚重感就让人觉得分量十足。不过，我最初是被它名字中那个“多维行列式”吸引的，因为我正好在研究高维空间中的几何结构，特别是涉及到对称性和不变量的问题。我期待着它能提供一些关于如何利用行列式工具来解析复杂的多维系统。然而，读了前几章后，我发现它更侧重于代数几何和古典代数理论的基础性构建，对实际应用，比如我关注的那些物理或工程学上的高维模型，着墨不多。内容上，它对判别式和结式的历史发展梳理得非常清晰，从笛卡尔时代一直讲到现代代数几何中的应用，这部分内容编排得很有条理，对于想了解这些概念的数学史背景的读者来说，绝对是一份宝贵的资料。但是，书中对现代计算代数方法，比如数值稳定性的讨论，似乎略显不足，很多篇幅还是停留在理论的证明和纯粹的结构分析上，这使得阅读过程显得有些枯燥和抽象，对于希望快速掌握实用工具的读者来说，可能需要耐心。它更像是一部深度探究理论根源的教科书，而不是一本面向应用的前沿手册。

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坦白讲，这本书的装帧和排版质量是无可挑剔的，纸张的质感和印刷的清晰度，都体现了出版社对这部作品的重视。然而，内容方面，我的体验就比较复杂了。这本书似乎定位为一个综合性的参考书目，试图涵盖从基础代数到高级代数几何中所有与判别式和结式相关的理论分支。它详尽地列举了历史上所有重要的定义、引理和定理，引用文献非常丰富，可以看出作者做了海量的文献综述工作。但问题在于，这种“大而全”的结构导致了内容的深度分散。在讨论一个核心概念时，作者会突然插入一个看似无关的、但历史上与之相关的次要理论的详细推导，使得主线索常常被旁枝末节打断。例如，关于特定环上的模结构如何影响判别式的性质，这部分内容被剖析得极其透彻，但对于理解如何计算一个具体多项式组的零点集，帮助有限。我希望能找到一些清晰的算法流程或者计算示例，但书中提供的主要是存在性证明和抽象性质的讨论。这本书更像是研究者的工具箱，而不是传授知识的课堂讲义，需要读者具备很强的自主筛选和组织信息的能力。

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