Riemannian Topology and Geometric Structures on Manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Galicki, Krzysztof (EDT)/ Simanca, Santiago R. (EDT)

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:2008-11

价格:$ 202.27

装帧:

isbn号码:9780817647421

丛书系列:Progress in Mathematics

图书标签:

• Riemannian geometry
• Topology
• Manifolds
• Geometric structures
• Differential geometry
• Curvature
• Characteristic classes
• Fiber bundles
• Morse theory
• Global analysis

探索微分几何的边界：流形上的几何结构与黎曼拓扑 本书深入探讨了微分几何的核心领域，重点关注流形上的几何结构及其与之紧密相连的黎曼拓扑。我们致力于为读者提供一个全面且深刻的理解，剖析这些抽象概念如何在数学和物理学的众多前沿领域中发挥着至关重要的作用。 第一部分：流形基础与微分结构 我们将从流形（Manifolds）的概念入手，介绍其作为光滑空间的数学模型，并逐步建立起微分几何所需的基石。读者将学习如何理解流形的局部欧几里得性质，以及如何通过图册（Atlas）和相容图卡（Compatible Charts）来定义全局的拓扑和光滑结构。 拓扑空间与度量空间回顾： 为确保读者具备必要的预备知识，我们将简要回顾拓扑空间的基本概念，如开集、闭集、连通性，以及度量空间的概念。 n维流形定义： 严格定义n维微分流形，强调其局部是欧几里得空间的开集，以及光滑结构的要求。 图册与坐标系： 详细介绍图册的构建，以及不同坐标系之间的转换函数，这是理解流形上微分运算的关键。 光滑函数与映射： 探讨流形上的光滑函数及其性质，以及光滑映射（Diffeomorphisms）在刻画流形等价性中的作用。 切空间与向量场： 引入切空间的概念，它是流形上每一点的线性逼近，并在此基础上定义向量场，为研究流形上的“运动”和“变化”提供工具。 微分形式与外微分： 介绍微分形式，它们是在切空间上定义的函数，并且具有重要的代数结构。外微分（Exterior Derivative）作为一种在微分形式上定义的算子，将成为后续研究积分和拓扑性质的核心。 第二部分：黎曼几何：度量与曲率 本部分将引入黎曼度量（Riemannian Metric），这是微分几何的核心概念之一。黎曼度量赋予流形上每一点的切空间一个内积，从而允许我们测量长度、角度和体积，并自然地引出了曲率的概念。 黎曼度量： 定义黎曼度量如何作用于切向量，以及在局部坐标系下其表示（度量张量）。 测地线： 探讨测地线（Geodesics），它们是在黎曼流形上“最短”或“极值”的路径，类似于平直空间中的直线。我们将研究测地线的存在性、唯一性以及其几何意义。 联络与协变导数： 介绍联络（Connection）的概念，它允许我们在流形上“平行移动”向量。协变导数（Covariant Derivative）是基于联络定义的，用于度量向量场在流形上的变化率。 曲率张量： 深入研究黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor），它是刻画流形几何性质的核心对象。我们将分析曲率张量如何反映流形在不同方向上的“弯曲”程度。 Ricci曲率与数量曲率： 介绍Ricci曲率（Ricci Curvature）和数量曲率（Scalar Curvature），它们是曲率张量的缩减形式，在物理学（如广义相对论）中有重要应用。 等距映射： 研究等距映射（Isometries），它们是保持黎曼度量的流形之间的映射，能够帮助我们理解不同黎曼流形之间的几何等价性。 第三部分：拓扑结构与几何性质的联系 微分几何的强大之处在于其能够利用光滑和度量结构来揭示流形的拓扑性质。本部分将重点关注这种联系，介绍一些重要的拓扑不变量以及与黎曼几何相关的工具。 Gauss-Bonnet定理： 详细阐述Gauss-Bonnet定理，这是微分几何中最著名的定理之一，它联系了二维紧致曲面的曲率积分与拓扑不变量（欧拉示性数）。我们将展示其在推广到更高维度的努力和成果。 同调论与De Rham定理： 介绍De Rham同调（De Rham Cohomology），它使用微分形式和外微分来定义流形的拓扑不变量。De Rham定理将De Rham同调与奇异同调（Singular Cohomology）联系起来，提供了计算拓扑性质的强大工具。 辛流形与泊松流形： 介绍辛流形（Symplectic Manifolds）和泊松流形（Poisson Manifolds），它们在经典力学、量子力学和低维拓扑中扮演着重要角色。我们将探讨其特有的几何结构和相关的拓扑性质。 Kahler流形： 介绍Kahler流形（Kähler Manifolds），它们是复几何和代数几何中的重要对象，同时也是黎曼几何的一个特例。我们将探讨其丰富的几何和拓扑特性。 几何结构与流形分类： 讨论如何利用几何结构（如常数曲率、Ricci平坦等）来理解和分类不同的流形。我们将介绍一些著名的流形（如球面、环面、复射影空间等）的几何和拓扑性质。 本书特色： 严谨性与直观性的结合： 我们在保持数学严谨性的同时，力求通过清晰的解释和丰富的例子来帮助读者建立几何直觉。 循序渐进的难度： 内容从基础概念逐步深入到前沿课题，适合不同背景的读者。 跨学科的视角： 穿插介绍微分几何在广义相对论、量子场论、拓扑学等领域的应用，展现其广泛的重要性。 本书旨在为数学、物理学及相关领域的研究者和学生提供一个坚实的基础，使他们能够自信地探索更复杂的几何和拓扑问题，并理解它们在现代科学中的深刻意义。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深邃的蓝色调与几何图形的交织，立刻就抓住了我的眼球。我是一个对数学美学有着近乎偏执追求的人，而这本书的装帧艺术恰恰击中了我的G点。它没有采用那种刻板的教科书式的设计，反而透露出一种古典与现代交融的优雅气质。每一次拿起它，都感觉像是在触摸一件精心打磨的艺术品，而不是冷冰冰的知识载体。装帧的质感非常棒，纸张的触感细腻柔滑，拿在手里沉甸甸的，让人有一种“物有所值”的满足感。我尤其喜欢扉页上那句引言，它似乎在预示着即将展开的旅程，充满了对未知空间的探索欲望。可以说，光是这本书的外在包装，就已经为接下来的阅读体验定下了一个极高的基调，让人迫不及待地想要揭开它神秘的面纱，去探寻其中蕴含的深刻思想。这种对细节的关注，体现了出版方对读者体验的尊重，也为这本书增添了一抹独特的收藏价值。

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阅读这本书的过程，就像进行了一场精心策划的数学漫游。作者的叙事风格非常流畅自然，完全没有传统教材那种生硬的推导和公式堆砌感。他们巧妙地将抽象的概念融入到直观的几何图像中，使得那些原本晦涩难懂的拓扑结构，似乎都能在脑海中勾勒出清晰的轮廓。我发现自己很少需要频繁地翻阅参考资料来理解某个定义，因为作者总能在一个恰当的时机，用最精炼而富有洞察力的语言进行阐述。特别是在处理复杂流形上的微分结构时，那种层层递进、水到渠成的感觉，让人由衷赞叹作者的教学智慧。这本书的伟大之处在于，它不仅仅是在传授知识，更是在培养一种“几何直觉”。它鼓励读者去‘看’数学，去‘感受’空间的弯曲和扭曲，而不是仅仅停留在符号的演算层面。这种强调直观理解而非死记硬背的教学法，对于我这种偏爱几何思考的读者来说，简直是醍醐灌顶。

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这本书的习题设计非常精妙，它们绝非那些为了凑数而设置的机械重复练习。每一个练习题都像是一个精心设计的思维陷阱，或者说，是一扇通往更深层次理解的小门。它们往往需要读者综合运用前面章节所学的多个概念，以一种非线性的方式进行思考和解决。我特别喜欢那些需要构造反例或者进行局部分析的题目，它们迫使你跳出书本上的标准框架，进行真正的数学创造。完成一个有难度的习题后所获得的成就感，远超于仅仅理解一个证明。这本书的作者显然深谙“做中学”的道理，他们提供的不仅仅是知识的地图，更是探索未知领域的工具箱。我花了大量时间在那些挑战性的问题上，虽然过程很煎熬，但收获的不仅是解题技巧，更是面对复杂结构时沉着应对的信心。这才是真正有价值的数学学习体验。

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书中对历史背景和思想演变的梳理，着实令人印象深刻。它不是孤立地呈现定理和证明，而是将它们置于一个更宏大的数学发展脉络中进行考察。作者花了大量篇幅讲述黎曼、高斯以及后来的拓扑学家们是如何一步步构建起这些理论框架的，这种“讲故事”的方式极大地增强了阅读的趣味性和代入感。我仿佛能感受到早期数学家们在面对这些难题时的挣扎与突破，这使得书中的每一个概念都带上了一种厚重的历史感。相比于那些只关注“是什么”的书籍，这本书更深入地探讨了“为什么会是这样”。它解释了为什么某些工具会被发明出来，以及它们解决了当时数学界面临的哪些核心矛盾。这种对思想起源的追溯，让我对这些经典理论有了更深层次的敬意和理解，不再视它们为既定的真理，而是人类智慧的结晶。这种深入骨髓的洞察力，是这本书区别于其他同类著作的关键所在。

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全书的排版和符号系统简直是教科书级别的典范。在处理如此高密度的几何信息时，清晰的视觉呈现至关重要，而这本书在这方面做到了极致。公式的对齐、希腊字母和上下标的运用都极为规范和赏心悦目。更重要的是，作者对特定符号和约定俗成的数学记号保持了高度的一致性，这极大地降低了阅读时的认知负荷。你不需要在不同章节之间反复核对某个符号的精确含义，因为作者构建了一个稳定而可靠的符号宇宙。在几何拓扑这种依赖精确定义的领域，这种严谨性是衡量一本专业书籍水准的重要标准。它让读者能够更专注于内在的逻辑结构，而不是被外部的排版混乱所干扰。这种对细节的极致追求，无疑是对严肃学术工作者最大的友好体现，它让长时间的深度阅读成为一种享受而非负担。

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