Homological Mirror Symmetry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Kapustin, Anton (EDT)/ Kreuzer, Maximilian (EDT)/ Schlesinger, Karl-georg (EDT)

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:

价格:695.00

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isbn号码:9783540680291

丛书系列:

图书标签:

• 镜像对称
• 数学
• 代数几何
• 代数拓扑
• 弦理论
• 镜像对称
• 同调代数
• 微分几何
• 复几何
• 卡拉比-丘流形
• Fukaya范畴
• D-模

《同调镜像对称》：一场穿越代数与几何的数学奇旅 数学的浩瀚星空中，总有那么些璀璨的概念，它们如同一面面棱镜，折射出宇宙深层的对称之美，将看似无关的领域巧妙地联系起来。《同调镜像对称》（Homological Mirror Symmetry，简称 HMS）便是这样一本概念，它以一种令人惊叹的视角，在代数几何与辛几何这两个深邃的数学分支之间架起了一座桥梁，揭示了它们之间深刻而又出人意料的对偶性。本书旨在深入探索这一革命性的理论，揭示其核心思想、发展脉络以及在现代数学与物理学中日益凸显的重要性。 HMS 的诞生，可以追溯到上世纪八十年代末和九十年代初，物理学家 Andrew Strominger、Shing-Tung Yau 和 Edward Witten 在研究弦理论时，偶然发现了某种奇异的对称性。他们发现，在某些特殊的几何空间（通常是卡拉比-丘空间）中，描述其代数几何性质的数学结构，与描述其辛几何性质的结构，竟然呈现出一种“镜像”般的对应关系。这种对应关系，并非简单的相似，而是更加根本的对偶。具体来说，一个光滑代数簇的霍奇数（Hodge numbers）竟然与它在镜像空间中对应的辛流形的弗洛尔同调群（Floer homology groups）的维数相等。这一发现，在当时的数学界引起了巨大的震动，因为它预示着一种全新的理解几何的方式，一种能够统一不同数学语言的强大工具。 为了理解 HMS，我们需要先简单回顾一下它所连接的两个数学领域。 代数几何，是研究由多项式方程定义的几何对象的学科。想象一下，我们用方程 $x^2 + y^2 = 1$ 来描述一个圆，这就是代数几何的基本出发点。代数几何家们关注的是这些几何对象的结构、性质以及它们之间的关系，例如点、曲线、曲面乃至更高维度的空间。他们使用代数的方法，如多项式、环、模等，来解析几何的奥秘。例如，一个光滑的代数簇的“霍奇结构”就包含了关于其拓扑和几何的丰富信息，其中霍奇数是衡量不同类型“形”的计数。 辛几何，则是研究具有辛结构的流形的学科。辛结构是一种特殊的微分形式，它赋予了流形以体积形式和泊松括号等重要结构，使得我们可以研究其动力学性质，例如可积系统。辛几何的应用范围极其广泛，从经典力学的哈密顿方程到量子场论，都离不开辛几何的框架。弗洛尔同调，作为 HMS 的核心代数结构之一，是辛几何中的一个强大工具。它是一种同调论，通过研究空间中的“测地线”或者说“极值点”的轨道，来构造代数不变量。 HMS 最为精妙之处在于，它揭示了这两个领域之间的“镜像”对偶。当我们考虑一个光滑的、连通的、紧致的代数簇 $X$ 时，其代数几何的某些不变量，例如其霍奇数，似乎与另一个与之“镜像”的辛流形 $Y$ 的弗洛尔同调群的某些维数有着一一对应的关系。这个“镜像”过程并非简单的几何反射，而是一种更深刻的数学构造。通常，对于一个具有特定结构的代数簇 $X$，我们可以构造出一个与之相关的辛流形 $Y$，反之亦然。而 HMS 则断言，代数簇 $X$ 的代数几何信息，与其镜像辛流形 $Y$ 的辛几何信息，是相互“翻译”的。 举一个形象的比喻：想象我们有一本用中文写成的关于某个城市历史的书籍，而 HMS 告诉我们，存在另一本用日文写成的、关于这个城市“镜像”版本（可能是其对应的地下世界，或者一个平行时空）的书籍。并且，中文书籍中关于某个历史事件的描写，在日文书籍中对应着一个关于其镜像版本的“事件”的描述，它们之间有着精妙的对应关系，可以互相翻译，互相解释。 HMS 的正式表述，通常涉及一个代数簇 $X$ 和一个与之关联的“镜像”辛流形 $Y$。代数几何中的“A-侧”信息，指的是与 $X$ 的代数几何结构相关的量，例如其上的向量丛、商群等。而辛几何中的“B-侧”信息，指的是与 $Y$ 的辛几何结构相关的量，例如其上的测地线、稳定流形等。HMS 认为，A-侧的某些信息，可以通过 B-侧的某些信息来计算，反之亦然。 具体而言，HMS 的一个重要方面是它对代数簇的 米哈伊洛夫-辛格（Mukai-Singer）对偶 的推广。这个对偶性在代数几何中已经是一个重要的工具，但 HMS 将其扩展到了一个更广阔的范围，并引入了辛几何的语言。 HMS 的重要性体现在多个层面： 首先，它提供了计算数学不变量的新方法。在 HMS 出现之前，许多代数几何中的不变量，如格罗滕迪克-里曼-罗赫定理（Grothendieck-Riemann-Roch theorem）的某些版本，或者代数簇的贝蒂数（Betti numbers），其计算往往是复杂的，需要精细的代数技巧。而 HMS 允许我们通过计算相关的辛流形的弗洛尔同调群来得到这些代数不变量。反之，对于某些辛流形的辛不变量，也可以通过计算其镜像代数簇的代数不变量来获得。这极大地拓宽了我们解决问题的工具箱。 其次，它统一了数学的不同领域。HMS 模糊了代数与几何，以及拓扑与分析之间的界限。它表明，看似截然不同的数学分支，可能只是同一个更深层结构的“不同面孔”。这种统一性有助于数学家们从新的角度审视旧的问题，并可能孕育出全新的研究方向。 第三，它对理论物理，尤其是弦理论，有着深远的影响。最初，HMS 的思想就诞生于弦理论的研究中。在弦理论中，宇宙的实在性被描述为在高维空间中的弦的振动。这些空间往往具有复杂的几何结构，例如卡拉比-丘空间。HMS 揭示的镜像对称性，与弦理论中的镜像对称性（Mirror Symmetry）紧密相关，它允许物理学家们在计算弦理论中的某些物理量时，选择计算更简单的“镜像”版本，从而大大简化了计算。例如，在计算某些“虫洞”（wormhole）效应时，HMS 提供了一种强大的工具。 本书将系统地探讨 HMS 的以下几个核心内容： HMS 的基本思想与概念：我们将深入剖析 HMS 的核心断言，即代数簇的“A-侧”结构与镜像辛流形的“B-侧”结构之间的对偶性。我们将详细解释 A-侧和 B-侧的含义，以及它们在 HMS 中的角色。 弗洛尔同调群：作为 HMS 的一个关键代数工具，弗洛尔同调群的构造及其性质将是本书的重点。我们将介绍其在辛几何中的应用，以及它如何度量辛流形的拓扑特征。 镜像构造：理解 HMS 的关键在于理解“镜像”是如何被构造出来的。我们将介绍如何从一个代数簇构造出其镜像辛流形，以及反之亦然。这通常涉及到代数几何中的取模（orbifold）技术，以及辛几何中的相空间（phase space）的构造。 HMS 的具体实例：理论的抽象性可以通过具体的例子来得以鲜活。我们将分析一些重要的 HMS 实例，例如 Calabi-Yau 流形的情况。通过这些例子，读者将能更直观地感受到 HMS 的力量。 HMS 的发展与应用：我们将回顾 HMS 发展的历史，介绍一些重要的数学家为此理论做出的贡献，例如 Maxim Kontsevich 的开创性工作，以及其在其他数学领域，如代数表示论、代数 K-理论等方面的应用。 HMS 与弦理论的联系：本书将阐述 HMS 与弦理论中镜像对称性之间的紧密联系，以及 HMS 如何为理解弦理论中的某些物理现象提供数学工具。 《同调镜像对称》这本书，不仅仅是对一个数学理论的介绍，更是一场关于数学之美的探索。它邀请读者一同穿越代数与几何的边界，领略隐藏在抽象符号背后的深刻对称性。本书适合那些对代数几何、辛几何、弦理论以及现代数学前沿有浓厚兴趣的读者，包括数学专业的高年级本科生、研究生以及相关领域的科研人员。通过阅读本书，读者将能够建立起对 HMS 的清晰认识，理解其理论的深度与广度，并感受数学在揭示宇宙奥秘过程中扮演的不可或缺的角色。

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