Level Sets and Extrema of Random Processes and Fields pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Azais, Jean-marc/ Wschebor, Mario

出品人:

页数:393

译者:

出版时间:2009-3

价格:925.00元

装帧:

isbn号码:9780470409336

丛书系列:

图书标签:

随机过程
随机场
水平集
极值理论
概率论
数学分析
偏微分方程
统计物理
应用数学
数值模拟

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具体描述

A timely and comprehensive treatment of random field theory with applications across diverse areas of study Level Sets and Extrema of Random Processes and Fields discusses how to understand the properties of the level sets of paths as well as how to compute the probability distribution of its extremal values, which are two general classes of problems that arise in the study of random processes and fields and in related applications. This book provides a unified and accessible approach to these two topics and their relationship to classical theory and Gaussian processes and fields, and the most modern research findings are also discussed. The authors begin with an introduction to the basic concepts of stochastic processes, including a modern review of Gaussian fields and their classical inequalities. Subsequent chapters are devoted to Rice formulas, regularity properties, and recent results on the tails of the distribution of the maximum. Finally, applications of random fields to various areas of mathematics are provided, specifically to systems of random equations and condition numbers of random matrices. Throughout the book, applications are illustrated from various areas of study such as statistics, genomics, and oceanography while other results are relevant to econometrics, engineering, and mathematical physics. The presented material is reinforced by end-of-chapter exercises that range in varying degrees of difficulty. Most fundamental topics are addressed in the book, and an extensive, up-to-date bibliography directs readers to existing literature for further study. Level Sets and Extrema of Random Processes and Fields is an excellent book for courses on probability theory, spatial statistics, Gaussian fields, and probabilistic methods in real computation at the upper-undergraduate and graduate levels. It is also a valuable reference for professionals in mathematics and applied fields such as statistics, engineering, econometrics, mathematical physics, and biology.

《随机过程与场中的极值与水平集》—— 探索不可见边界与随机巅峰的数学画布在数学的广袤领域中，随机过程与随机场构成了描述不确定性世界的核心框架。它们如同艺术家手中的画笔，以概率的语言描绘着从金融市场的波动到天气模式的演变，从生物信号的随机跳跃到物理系统中粒子的无序运动。然而，仅仅理解过程本身的演化轨迹尚不足以完全把握其内在的丰富性。更深层次的洞察往往隐藏在这些随机实体所触及的“边界”——即水平集，以及它们所达到的“巅峰”——即极值之中。本书，《随机过程与场中的极值与水平集》，正是致力于深入探索这些微妙而至关重要的概念。它不仅仅是一本技术手册，更是一次引人入胜的数学旅程，旨在揭示隐藏在看似混沌的随机现象背后的规律与结构。我们将挑战读者对随机性的传统认知，引导他们穿越抽象的数学概念，抵达对随机世界更加精细、更加深刻的理解。水平集：描绘随机世界的“等高线” 设想一下，你站在一个由高度随机变化的景观所构成的区域。这里的“高度”并非地理意义上的海拔，而是由一个随机过程或随机场在特定时间和空间点上取到的值。水平集，在本书的语境下，就是那些所有取值等于给定常数的点的集合。换句话说，它们就像是这片随机景观上的“等高线”。为什么这些“等高线”如此重要？它们提供了一种强大的可视化和分析工具。通过研究一个随机过程的水平集，我们可以理解其“活跃”的区域——那些值常常高于或低于某个特定阈值的区域。对于一个随机场，水平集可以帮助我们识别出相似值所形成的“聚落”或“隔阂”，从而揭示出场的重要结构特征。本书将系统地介绍水平集在不同类型随机过程与场中的表现。我们将探讨：平稳随机过程的水平集：对于这类过程，其统计性质不随时间和空间位置的变化而改变。我们将研究其水平集的概率分布、连通性以及在长时间尺度下的渐进行为。例如，在通信系统中，信号的水平集可以用来分析信号穿越某个阈值的频率，这对于误码率的计算至关重要。高斯过程与场的水平集：高斯过程及其推广——高斯场，在统计学和机器学习领域有着举足轻重的地位。它们以其良好的数学性质而闻名。本书将深入研究高斯过程和场的水平集，包括其形状、尺寸以及与均值、协方差函数的精妙联系。例如，在图像处理中，高斯场的水平集可以用来分割图像中的不同区域。泊松点过程与水平集：泊松点过程是描述随机分布的经典模型。我们将分析由泊松点过程生成的对象（例如，随机分布的星系或细胞）的水平集，以及如何利用这些信息来推断其生成机制。随机集的几何性质：本书将不仅仅停留在概率分布层面，更会深入研究水平集所形成的随机集（即所有值大于或等于某个阈值的点的集合）的几何性质，如体积、表面积、直径、曲率等。这些几何特征往往能揭示出隐藏在随机过程背后的物理或统计规律。极值：捕捉随机世界的“最高点”与“最低谷” 如果水平集描绘了随机世界的“轮廓”，那么极值则指向了它的“地标”——那些随机过程所能达到的最大值和最小值。这些极值并非简单地取到某个值，而是其发生的概率、发生的频率以及它们对整体行为的影响，都蕴含着丰富的信息。理解随机过程的极值，对于风险管理、极端事件预测以及系统稳定性分析至关重要。例如，在金融领域，理解股票价格的极端下跌（最小值）或快速上涨（最大值）的概率，对于投资策略的制定至关重要。在环境科学中，预测极端降雨量（最大值）或极端低温（最小值）的频率，对于灾害预警和基础设施建设至关重要。本书将系统地探讨随机过程与场中的极值问题，包括：极值分布与渐近理论：我们将介绍如何计算或近似一个随机过程在有限区间内或无穷大时间上的最大值和最小值的概率分布。我们将深入研究极值理论（Extreme Value Theory），了解其在描述极端事件上的普适性，并探讨其在不同随机模型中的具体应用。极值点的概率与分布：除了极值本身的大小，其发生的“位置”——即极值点，也具有重要意义。我们将研究极值点在时间或空间上的分布规律，以及多个极值点之间的关联性。高斯过程与场的极值：再次回到高斯过程和场，我们将重点研究其极值行为。例如，对于一个高斯过程，其最大值是否趋向于一个特定的渐近分布？对于一个高斯场，其全局最大值或局部最大值的行为又如何？这些问题对于理解随机振动、高斯噪声以及许多物理现象至关重要。极值与水平集的联系：本书的一大亮点在于揭示极值与水平集之间的深刻联系。实际上，一个随机过程的“最高点”或“最低谷”往往与它的水平集紧密相关。例如，最大值往往发生在某个水平集“区域”的顶端。本书将提供严谨的数学工具来量化这种联系。高维极值问题：随着数据维度和模型复杂度的增加，高维随机过程与场的极值问题变得尤为棘手。我们将探讨如何在高维空间中分析极值，以及面临的挑战和现有的解决方案。本书的独特之处与受众《随机过程与场中的极值与水平集》并非一本简单的教科书，它更像是一扇通往更深层次理解的窗户。本书的独特性体现在：概念的深度与广度：我们不回避抽象的数学理论，而是将其与直观的解释和生动的例子相结合，力求让读者在掌握严谨性的同时，也能获得深刻的数学洞察。方法论的系统性：本书提供的分析工具和数学方法是系统且完善的，能够应用于多种多样的随机模型和实际问题。交叉学科的视野：随机过程与场的极值与水平集问题横跨概率论、统计学、随机分析、几何学，甚至在物理学、工程学、生物学、金融学等领域都有广泛应用。本书将努力搭建不同学科之间的桥梁。严谨的数学论证与清晰的逻辑结构：每一个结论都建立在扎实的数学基础之上，并通过清晰的逻辑推理和详细的证明来支撑。本书的目标读者包括但不限于：概率论与统计学的高年级本科生和研究生：为他们提供更高级的随机过程理论学习材料。对随机分析和随机几何感兴趣的研究人员：为他们提供深入研究的理论基础和分析工具。需要处理随机数据和建模的工程师、物理学家、金融分析师、数据科学家等：为他们提供解决实际问题的数学框架和方法。展望随机过程与场中的极值与水平集，是理解随机世界中“边界”与“顶点”的关键。它们不仅揭示了随机现象的内在结构，更提供了预测和控制不确定性的强大工具。通过研读本书，我们希望读者能够：建立对水平集和极值概念的深刻理解。掌握分析这些概念所需的关键数学工具和理论。能够将这些理论知识应用于解决复杂的实际问题。培养对随机世界更敏锐的洞察力和更具创造性的分析视角。踏上这段数学探索之旅，我们将一同揭开随机过程中隐藏的优雅几何与惊人极值，领略概率画布上那不可见的边界与随机的巅峰之美。