Optimal Control of Coupled Systems of Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Sprekels, Jurgen 编

出品人:

页数:345

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价格:$ 179.67

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isbn号码:9783764389222

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图书标签:

• 最优控制
• 偏微分方程
• 耦合系统
• 控制理论
• 数值方法
• 稳定性分析
• 应用数学
• 系统科学
• 工程优化
• 分布式参数系统

《耦合偏微分方程组的最优控制》 内容梗概 本书深入探讨了在处理一系列相互关联的偏微分方程（PDEs）时，如何设计并实现最优控制策略。这些耦合系统广泛存在于科学与工程的多个领域，例如流体动力学、传热传质、弹性力学、电磁学以及生物医学模型等。耦合的本质意味着一个方程的解的状态会影响另一个方程的演化，这种相互依赖性给控制问题的求解带来了显著的复杂性。 本书的重点在于系统性地介绍针对这类复杂系统的最优控制理论、数值方法以及实际应用。我们首先会建立一个严谨的理论框架，阐述最优控制问题的基本构成要素：目标泛函（用于量化系统性能）、状态方程（描述系统动态，即耦合的PDEs）、以及控制约束（对可操纵变量的限制）。随后，我们将聚焦于如何将抽象的最优控制问题转化为可求解的数学模型，通常涉及变分法、极大值原理，以及由此产生的必要性条件。 在理论基础上，本书将详细阐述解决耦合PDEs最优控制问题的数值方法。由于PDEs本身的复杂性，解析解往往难以获得，因此数值近似技术至关重要。我们将涵盖多种离散化方法，如有限差分法、有限元法、谱方法等，并重点分析它们在处理耦合项时的有效性与挑战。在此基础上，我们将介绍求解离散化后的优化问题的算法，包括梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等。针对大规模和高维度的耦合系统，还将探讨更高级的算法，如投影方法、增广拉格朗日法以及模型预测控制（MPC）等，并分析其在收敛性、稳定性和计算效率方面的优势。 此外，本书还将深入研究最优控制问题中存在的关键挑战。这包括： 耦合的分析与处理： 如何有效地捕捉和利用系统之间的耦合关系，避免数值不稳定性，并设计能够同时作用于多个方程的控制。 高维性与计算复杂度： 随着系统规模的增长，计算量呈指数级增长，如何开发高效的降维技术、并行计算策略，以及利用机器学习/深度学习等人工智能技术来辅助求解。 不确定性与鲁棒性： 实际系统中往往存在模型误差、参数不确定性或外部干扰，本书将探讨如何设计鲁棒的最优控制策略，使其在存在不确定性的情况下仍能保持良好的性能。 分布式控制与协调： 对于具有空间分布特性的耦合系统，如何设计分布式控制器，以及如何实现多个控制器的协同工作，以达到全局最优。 本书旨在为读者提供一个全面的视角，理解和解决耦合偏微分方程组最优控制的理论难题和工程挑战。每一章节都力求结构清晰，逻辑严谨，从基本概念出发，逐步深入到前沿的研究方向。 详细内容划分 第一部分：理论基础与问题建模 第一章：耦合偏微分方程组的概述 介绍偏微分方程组的基本概念及其在科学与工程中的重要性。 阐述“耦合”的含义，详细列举不同类型和强度的耦合机制，例如： 状态耦合： 一个方程的解（状态变量）作为另一个方程的输入或系数。 参数耦合： 描述系统参数之间的依赖关系，这些参数影响多个方程。 源项耦合： 一个方程的解作为另一个方程的源项。 边界条件耦合： 相互独立的边界条件依赖于不同方程的解。 通过具体的数学模型示例，形象化地展示耦合PDEs系统的结构，如： 流体-结构耦合： 流体运动方程（Navier-Stokes）与结构变形方程（弹性方程）的相互影响。 电磁-热耦合： 电磁场方程（Maxwell）与热传导方程（Heat equation）的相互作用。 化学反应-扩散耦合： 浓度扩散方程与化学反应动力学方程的耦合。 强调耦合带来的独特挑战，如解的存在性、唯一性、光滑性以及数值求解的稳定性问题。 第二章：最优控制理论基础 目标泛函的构建： 介绍不同类型的目标泛函，用于衡量系统性能，例如： 终端状态最小化（如：将系统推向某个目标状态）。 控制能量最小化（如：最小化驱动系统的能量消耗）。 偏差最小化（如：将系统输出维持在期望轨迹附近）。 综合指标（如：同时考虑状态和控制的成本）。 状态方程与控制变量： 明确定义状态变量（PDEs的解）和控制变量（可操纵的参数或输入）。 控制约束： 详细讨论各种形式的控制约束，包括： 点wise约束（对控制在特定点的值的限制）。 L2范数约束（对控制总量的限制）。 函数空间约束（对控制函数本身的性质要求）。 时间段约束（对控制在特定时间段内的行为要求）。 极小值原理（Pontryagin's Minimum Principle - PMP）的推广： 介绍哈密顿量（Hamiltonian）的概念及其在耦合PDEs系统中的构造。 推导伴随方程（adjoint equations），这是求解最优控制问题的核心。强调伴随变量与状态变量之间的关系，以及它们如何通过哈密顿量联系起来。 推导最优控制的必要性条件，以及如何根据这些条件寻找最优控制。 存在性与唯一性定理： 讨论在何种条件下，最优控制解存在且唯一。 第二部分：数值方法与算法 第三章：耦合PDEs的离散化技术 有限差分法（Finite Difference Method - FDM）： 介绍在网格点上用差商近似导数的方法。 分析FDM处理耦合项时可能遇到的问题，如非线性和跨网格依赖。 讨论如何通过巧妙的离散化方案来保证稳定性，例如隐式格式。 有限元法（Finite Element Method - FEM）： 介绍将求解域划分为小单元，并在每个单元上使用基函数近似解的方法。 详细说明FEM如何处理复杂几何形状和边界条件。 分析FEM在处理耦合PDEs时的优势，例如弱形式的引入可以自然地处理多种耦合。 讨论耦合项在弱形式下的离散化，以及由此产生的代数方程组的结构。 谱方法（Spectral Methods）： 介绍使用全局函数（如傅里叶级数、Chebyshev多项式）来表示解的方法。 强调谱方法在高精度方面的优势，尤其适用于光滑解。 分析谱方法在处理耦合项时的收敛性与计算效率。 其他离散化方法： 简要介绍有限体积法（FVM）、边界元法（BEM）等，并讨论它们在特定耦合系统中的适用性。 耦合方程组的离散化挑战： 交错网格与统一网格： 针对不同方程可能需要的不同网格分辨率和对齐方式。 隐式与显式耦合处理： 如何在离散化过程中有效地处理不同方程间的依赖关系。 数值稳定性分析： 保证离散化格式在数值求解过程中的稳定性，避免误差累积。 第四章：求解优化问题的算法 梯度优化方法： 梯度下降法（Gradient Descent）： 介绍基本原理，以及在最优控制问题中的应用。 共轭梯度法（Conjugate Gradient - CG）： 重点介绍其在求解大型稀疏线性系统中的效率，以及在非线性优化中的推广。 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）： 如BFGS算法，通过近似Hessian矩阵来加速收敛。 牛顿型方法（Newton-type Methods）： 介绍全牛顿法及其计算Hessian矩阵的挑战。 探讨准牛顿法和修正牛顿法在计算成本与收敛速度之间的权衡。 大规模与高维度系统的算法： 投影方法（Projection Methods）： 如Krylov子空间方法，用于处理大规模线性系统。 增广拉格朗日法（Augmented Lagrangian Methods）： 用于处理带约束的优化问题，提高收敛性和鲁棒性。 模型预测控制（Model Predictive Control - MPC）： 介绍其在实时控制和处理动态约束方面的优势，以及如何将其应用于耦合PDEs系统。 并行计算策略： 数据并行与模型并行。 分布式内存与共享内存架构下的算法实现。 收敛性与计算效率分析： 讨论不同算法的收敛速率、内存需求以及计算复杂度。 第三部分：高级议题与应用 第五章：不确定性下的鲁棒最优控制 不确定性建模： 介绍如何对模型参数、边界条件或外部扰动的不确定性进行量化，如使用随机变量、区间分析等。 鲁棒性目标泛函： 设计能够最小化最坏情况下的成本，或在统计意义上表现良好的目标函数。 随机最优控制： 介绍随机微分方程（SDEs）以及处理相关最优控制问题的方法。 区间最优控制： 在区间分析框架下寻找最优控制。 鲁棒性算法： 探讨能够处理不确定性问题的优化算法，如基于不确定性集优化的方法。 第六章：分布式控制与协调 分布式系统模型： 针对由多个相互作用的子系统组成的耦合PDEs系统。 分布式传感器与执行器： 探讨如何在空间上分布传感器和执行器以影响系统。 去中心化控制： 设计各个子系统独立运作但协同工作的控制策略。 主-从协调： 介绍中央控制器如何协调多个局部控制器的优化。 基于博弈论的方法： 当子系统之间存在竞争或合作关系时，考虑使用博弈论来分析和设计控制。 第七章：人工智能与深度学习在耦合PDEs最优控制中的应用 物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks - PINNs）： 介绍如何将PDEs的残差项直接嵌入到神经网络的损失函数中，从而实现无监督或半监督的学习。 讨论PINNs在求解耦合PDEs正问题（模拟）和反问题（参数估计）中的应用。 强化学习（Reinforcement Learning - RL）： 将最优控制问题转化为RL任务，利用RL算法（如DQN, PPO）来学习最优控制策略。 探讨RL在处理复杂、高维度、非线性的耦合系统中的潜力，尤其是在无法获得精确模型的情况下。 神经网络辅助的优化算法： 利用神经网络来近似目标泛函的梯度，加速传统优化算法。 使用神经网络来预测最优控制的初始猜值，缩短迭代过程。 挑战与前景： 分析AI方法在理论保证、计算效率和可解释性方面的现有局限，并展望未来的研究方向。 第八章：应用案例研究 流体动力学控制： 例如：控制飞机翼型的流动以减少阻力或增加升力。 例如：控制反应堆内的流体流动以优化传热效率。 涉及Navier-Stokes方程组的耦合控制。 传热传质控制： 例如：在半导体制造中精确控制温度分布。 例如：优化化工反应器中的混合与传质过程。 涉及热传导方程、对流扩散方程的耦合控制。 结构力学与振动控制： 例如：主动抑制桥梁或建筑物的振动。 例如：控制机器人手臂的运动以实现平稳抓取。 涉及弹性力学方程、振动方程的耦合控制。 生物医学应用： 例如：控制药物在体内的分布以实现靶向治疗。 例如：模拟和控制细胞生长与分化的过程。 涉及反应扩散方程、生物力学方程的耦合控制。 电磁场控制： 例如：优化天线的设计以实现信号的最优发射。 例如：控制电磁场的产生以实现磁悬浮。 涉及Maxwell方程组的耦合控制。 本书的结构设计旨在循序渐进，从基础理论到高级技术，并辅以丰富的应用实例，帮助读者深入理解耦合偏微分方程组最优控制的精髓。本书适合具有数学、物理、工程背景的博士研究生、博士后研究人员以及对该领域感兴趣的专业人士阅读。

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