Implicit Functions and Solution Mappings pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Dontchev, Asen L./ Rockafeller, R. Tyrrell

出品人:

页数:388

译者:

出版时间:2009-6

价格:$ 79.04

装帧:

isbn号码:9780387878201

丛书系列:

图书标签:

Implicit Functions
Solution Mappings
Functional Analysis
Nonlinear Analysis
Differential Equations
Optimization
Variational Analysis
Fixed Point Theory
Topology
Mathematical Analysis

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具体描述

The implicit function theorem is one of the most important theorems in analysis and its many variants are basic tools in partial differential equations and numerical analysis. This book treats the implicit function paradigm in the classical framework and beyond, focusing largely on properties of solution mappings of variational problems. The purpose of this self-contained work is to provide a reference on the topic and to provide a unified collection of a number of results which are currently scattered throughout the literature. The first chapter of the book treats the classical implicit function theorem in a way that will be useful for students and teachers of undergraduate calculus. The remaining part becomes gradually more advanced, and considers implicit mappings defined by relations other than equations, e.g., variational problems. Applications to numerical analysis and optimization are also provided. This valuable book is a major achievement and is sure to become a standard reference on the topic.

好的，这是一份关于一本名为《隐式函数与解映射》的图书的详细简介，内容完全围绕该书不包含的方面展开，且旨在详尽、自然地描述那些未被探讨的主题，以构建一个不提及原书内容的独特描述。《解析几何的基石：从欧几里得到高维空间的几何构造》作者： [此处留空，或使用一个虚构的、具有历史感的署名] 出版社： [此处留空，或使用一个虚构的、古典的出版社名称] 出版年份： [此处留空，或使用一个虚构的年份] ISBN： [此处留空，或使用一个虚构的编号] 内容综述《解析几何的基石：从欧几里得到高维空间的几何构造》是一部旨在全面梳理和深入探讨经典欧几里得几何基础、非线性代数结构以及拓扑空间构造的权威性著作。本书的核心目标是构建一座桥梁，连接古老的几何直觉与现代数学的严谨形式，重点关注那些可以通过显式方程或明确构造来定义的几何对象和变换。全书共分为五大部分，涵盖了从二维平面上的点线面关系到抽象多线性代数在描述空间结构中的应用。本书坚决不涉及任何依赖于隐式定义或依赖关系未被完全解析的数学工具和概念。第一部分：欧几里得几何的严格重构 (The Rigorous Reconstruction of Euclidean Geometry) 本部分致力于重建自古希腊以来所建立的几何学大厦，但采用了现代数学的公理化视角。我们从希尔伯特或塔斯基的公理系统出发，详尽论述了点、线、平面、距离和角度的基本定义与内在逻辑。显式构造的度量空间：重点分析如何通过笛卡尔坐标系，使用明确的距离公式（基于平方和的平方根）来定义欧几里得空间中的度量结构。我们严格区分了欧几里得距离和更一般的度量，并展示了所有依赖于开球的显式定义的几何性质。直线与平面的参数方程：所有关于线和平面的讨论，均采用参数化形式（如 $mathbf{p}(t) = mathbf{a} + tmathbf{v}$）或线性方程组（如 $Ax + By + Cz = D$）进行描述。我们详细探讨了如何通过解算这些方程组来确定交点、投影和反射，完全避免了对任何需要求解未定义变量间关系的讨论。古典几何定理的代数证明：毕达哥拉斯定理、相似性公理等，均被转化为明确的代数恒等式进行证明，强调明确的代数解在几何中的作用。第二部分：线性代数与空间变换的显式映射 (Explicit Mappings in Linear Algebra and Spatial Transformations) 本部分聚焦于线性空间及其作用在可逆且可完全描述的线性变换上。本书坚信，对空间的任何操作都应能够通过一个明确的矩阵表示来捕获。矩阵的精确构造：对基的选取、矩阵的乘法、行列式计算等进行了详尽的阐述。我们关注的是那些特征值和特征向量可以被精确求出的变换。空间映射的直接描述：旋转、缩放、剪切等操作，均被视为从一个明确定义的向量空间到另一个向量空间的单射或满射。书中详尽分析了如何通过分解变换（如奇异值分解SVD）来理解这些映射的几何效果，所有分析都建立在矩阵元素明确已知的前提下。线性系统的解析解：对于 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 形式的线性方程组，本书只讨论通过高斯消元法、LU分解或矩阵求逆等方法获得的精确解集的构造。第三部分：微分几何中的显式参数化曲面 (Explicitly Parametrized Surfaces in Differential Geometry) 在进入更高级的几何领域时，本书坚持只分析那些可以被一组参数的显式函数所描述的几何对象。参数化曲线与曲面的构造：详细考察了例如圆柱面、球面（通过欧拉角或经纬度参数化）、环面等标准曲面的精确参数方程。讨论集中于如何计算这些参数化曲面上的切线、法向量和曲率，这些计算都依赖于对参数函数的直接微分。第一和第二基本形式的计算：所有的计算都基于参数函数的一阶和二阶偏导数，重点在于如何通过这些明确的导数来确定曲率的量化值。测地线与最短路径的显式求解：在特定、高度对称的参数化曲面上（如平面、球面），我们展示如何将测地线方程转化为一个可以显式求解的常微分方程组。第四部分：拓扑学的基础：开集与紧致性的显式边界 (Topology Fundamentals: Explicit Boundaries of Open Sets and Compactness) 本书在引入拓扑概念时，始终锚定于可度量空间的框架内，并严格限制在可以明确定义“邻域”的背景下。基于度量的开闭集：所有的拓扑结构都源自于前文建立的欧几里得度量。开集被定义为由明确的开球的并集构成。紧致性的讨论也完全依赖于 Heine-Borel 定理，即在 $mathbb{R}^n$ 中，闭合且有界是紧致性的充分必要条件——这是一个明确的代数条件。连续性的函数定义：两个空间之间的函数 $phi: X o Y$ 的连续性，被严格地表述为“对 $Y$ 中任意一个由明确开球生成的开邻域 $V$，其原像 $phi^{-1}(V)$ 必须是 $X$ 中一个明确开集”。同胚的直接构建：如果两个空间之间存在同胚，本书要求读者能够写出那个双射的、连续的且其逆映射也是连续的明确函数。第五部分：多线性代数与张量的清晰表达 (Clear Expression of Tensors via Multilinear Algebra) 本部分探索了在不同坐标系下保持不变的量——张量，但其探讨方法完全基于其多线性形式的明确定义，而非其在坐标变换下的复杂行为。张量的定义与构造：张量被定义为在多个向量空间和对偶空间之间具有多重线性性质的函数。我们详尽地展示了如何通过张量积（明确的笛卡尔积结构）来构造更高阶的张量。协变与反变分量的显式计算：讨论了如何通过度量张量（一个明确的二次型）来提升或降低指标，从而得到协变和反变分量。这些操作都是明确的矩阵乘法或内积运算的结果。微分形式的积分：探讨了诸如面积形式、体积形式等，它们被视为是明确构建的微分形式，并集中于斯托克斯定理在可参数化曲面上的直接应用，避免了依赖于流形上“切空间”的复杂、抽象构建。本书的定位：本书是对数学分析和几何学中可解构、可明确表示的部分的深度挖掘。它服务于那些寻求通过清晰的构造和直接的计算来理解空间结构的研究者和学生。本书的哲学是：如果一个概念无法通过有限步骤的显式代数或分析操作来界定或求解，那么它就不属于本书的讨论范畴。我们专注于那些可以被清晰“看见”和“计算”的数学实在。