Hypercomplex Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Sommen, Frank 编

出品人:

页数:289

译者:

出版时间:

价格:$ 179.67

装帧:

isbn号码:9783764398927

丛书系列:

图书标签:

• 复分析
• 超复数
• 数学分析
• 函数论
• 高等数学
• 数学
• 学术著作
• 理论数学
• 复变函数
• 数学研究

抽象代数基础：群、环与域的深度探索 本书旨在为读者提供一个坚实而深入的抽象代数基础，重点关注群论、环论和域论的核心概念、结构及其在数学中的应用。 本书的叙事结构清晰，从最基本的集合论概念出发，逐步构建起代数结构的高级殿堂。我们致力于以严谨的数学语言阐述理论，同时辅以丰富的例子和精心设计的习题，确保读者能够真正掌握这些抽象概念的精髓。 第一部分：群论的宏伟蓝图 本书的开篇聚焦于群论，它是现代代数学的基石。我们不满足于简单的群定义，而是深入探讨群的各种内在属性和外部联系。 1. 群的结构与同态 我们首先定义群的公理，并立即引入子群、陪集和正规子群的概念。陪集的分解为我们理解群的内部结构提供了第一个强大的工具。随后，我们将详细剖析拉格朗日定理及其在有限群分类中的关键作用。 群的同态与同构是理解不同群之间关系的桥梁。我们详细阐述了第一同构定理（或称规范定理），它是连接商群与同态图像的根本性定理。接下来的章节致力于探索特殊类型的群：循环群的简单性与完备性，有限阿贝尔群的分类定理——这是对有限代数结构深刻理解的体现。 2. 作用与置换群 群论的活力很大程度上体现在其“作用”于其他集合的能力上。我们详细介绍了群作用的严格定义，区分了左作用和右作用，并探讨了轨道和稳定子的概念。通过这些工具，我们推导出轨道-稳定子定理，这是计算群作用复杂性的有力武器。 置换群（对称群 $S_n$）是理解非阿贝尔群行为的绝佳范例。我们深入研究了置换的循环分解、奇偶性和交错群 $A_n$。读者将看到，交错群不仅是所有偶置换构成的群，更是研究几何和对称性问题的核心。 3. 结构理论的深化 对于更复杂的群结构，本书引入了强大的结构理论工具。我们全面讲解了Sylow 定理，这是关于有限群子群阶数的终极结果，它为有限群的结构提供了一个精细的框架。我们将运用 Sylow 定理来证明一些经典结果，例如所有阶为 $p^2$ 的群的结构，以及特定阶数的群是否是平凡群或幂零群的判定准则。 此外，可解群和幂零群的概念被引入，它们描述了群在某种意义上“接近”阿贝尔群的程度。我们探讨了群的导群（换位子群）如何衡量群的非阿贝尔性，并分析了在伽罗瓦理论中可解群的中心地位。 第二部分：环与域的代数构造 在掌握了群论的深刻洞察之后，我们将注意力转向包含两种运算的代数结构——环。环论是抽象代数中最为丰富和应用广泛的分支之一，它为代数学、代数几何和数论奠定了基础。 1. 环与理想的建立 我们从环的定义开始，区分了交换环、单位环以及整环。子环与环同态的定义与群论的结构保持了高度的平行性，这有助于读者建立起结构间的类比思维。 环论的核心在于理想的概念。理想是环中推广了正规子群概念的结构，它允许我们构造商环。我们将详细论证第一同构定理在环论中的对应形式，理解商环如何编码了原环的同态信息。 2. 特殊类型的环 本书对各种特殊环进行了细致的分类和研究： 主理想整环 (PID)：我们详细研究了欧几里得整环，如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$。通过引入次函数的概念，我们证明了所有欧几里得整环都是主理想整环。 唯一因子化整环 (UFD)：UFD 允许我们将元素唯一地分解为“素元”的乘积，这与整数的唯一素因子分解定理（算术基本定理）高度一致。我们探讨了 PID 蕴含 UFD 的性质，并研究了何时满足此条件的实例。 域：域是最“自由”的环结构，它们是所有非零元素都存在乘法逆元的交换环。我们研究了特征的概念，并探索了有限域（伽罗瓦域）的存在性和构造。 3. 分式域与张量积 对于任何整环 $R$，我们展示了如何构造其分式域（Fraction Field），这是将整环“嵌入”到包含所有分数对的最小域中的过程。这对于理解有理数域 $mathbb{Q}$ 的构造至关重要。 在环论的最后部分，我们引入了模论的初步概念，特别是张量积。张量积是处理两个模（或向量空间）之间“双线性”关系的强大工具，它在后续的高级代数结构（如代数几何中的胚）中扮演着不可或缺的角色。 第三部分：域论的拓展与伽罗瓦理论的序章 本书的第三部分将视角转向域的扩张，为更深入的代数研究铺平道路。 1. 域扩张的基础 域扩张是代数结构之间扩展关系的研究。我们定义了扩张次数，并将扩张分解为代数扩张和超越扩张。对于代数扩张，我们引入了最小多项式的概念，并证明了域 $K$ 中元素 $alpha$ 的代数性等价于 $K[x]/langle m(x) angle$ 结构的存在性，其中 $m(x)$ 是 $alpha$ 的最小多项式。 我们详细探讨了扩域的构造，特别是分裂域和代数闭包的存在性与唯一性（在同构意义下）。 2. 可分性与正规扩张 我们区分了可分扩张（无重根的扩张）和正规扩张（分裂域上的扩张）。这些概念对于理解域扩张的结构至关重要。我们分析了在特征为零的域上的扩张总是可分的，并研究了有限域扩张的特殊性质。 3. 伽罗瓦理论的开端 本书以伽罗瓦群的引入作为结束。我们将伽罗瓦扩张定义为既是正规的又是可分的扩张。基本定理的初步阐述将联系起域扩张（介于基础域与扩域之间）与伽罗瓦群的子群，表明了域论与群论之间的深刻二元性。读者将看到，这种联系是理解多项式方程可解性（如五次方程的不可解性）的理论核心。 总结 本书旨在提供一个逻辑连贯、深度适中的抽象代数导论。通过对群、环、域及其扩张的系统性研究，读者将不仅掌握严格的代数工具，还能对现代数学的内在结构产生深刻的理解。本书的习题设计旨在鼓励读者进行主动的数学探索和证明实践。

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