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出版者:

作者:Rao, K. Chandrasekhara

出品人:

页数:370

译者:

出版时间:

价格:560.00

装帧:

isbn号码:9781842654460

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 代数拓扑
• 微分拓扑
• 拓扑空间
• 连续函数
• 同伦
• 紧集
• 连通性
• 拓扑群

《空间结构与变换的奥秘：一部基础拓扑学导论》 图书简介 本书旨在为初学者提供一个全面而深入的拓扑学基础导论，重点阐述拓扑学作为现代数学基石的核心概念、基本工具以及其在不同数学分支中的应用。我们摒弃了过于抽象或复杂的代数拓扑结构，转而聚焦于点集拓扑（General Topology）这一最核心、最直观的部分，以清晰、严谨且富有启发性的方式，引导读者构建坚实的理论框架。 第一部分：拓扑学的基石——集合与空间的建立 本书的开篇将从最基础的集合论概念入手，但很快便将焦点转移到拓扑学最核心的构建模块：拓扑空间。我们首先详细讨论了拓扑的定义——一组满足特定公理的子集族，并阐述了拓扑空间与度量空间、一致性空间之间的内在联系与区别。 开集、闭集与闭包操作： 我们将详细分析开集的性质，以及如何利用开集来定义闭集、边界、内部点、外部点和聚点（极限点）。闭包操作的八条性质将被逐一证明和阐述，特别是如何利用 $overline{A} = A cup A'$ 来理解集合的“扩张”过程。 邻域系统与基： 为了更有效地描述空间中的局部结构，本书深入探讨了邻域的概念。我们不仅定义了拓扑空间中的邻域，还引入了拓扑基（Basis）和局部基（Local Basis），强调了基如何作为生成整个拓扑结构的最小集合单元。特别地，我们将对可数基（Countable Base）和第二可数空间（Second Countable Space）进行深入讨论，这些概念是理解流形和泛函分析的基础。 第二部分：连续性与形变——拓扑学中的运动与不变性 拓扑学的核心魅力在于其对“连续形变”的关注。本部分将严格定义和分析连续函数，这是拓扑学中最关键的结构保持映射。 连续性的拓扑定义： 我们将严格证明“原像下开集的保持性”等价于“邻域保持性”和“聚点保持性”。这有助于读者理解为什么拓扑连续性比微积分中的 $epsilon-delta$ 定义更为本质和普适。 拓扑性质与同胚： 什么是拓扑性质？ 它是那些在同胚映射（Homeomorphism）下保持不变的性质。我们详细介绍了如何运用同胚来证明两个空间在拓扑意义上是等价的。常见的拓扑性质如连通性、紧致性、分离性等，都将作为考察同胚的重要工具。 第三部分：连通性与紧致性——空间的全局结构 连通性和紧致性是度量两个拓扑空间在全局结构上是否相似的关键不变量。 连通性（Connectedness）： 我们将区分连通空间与路径连通空间。通过分析分离集（Separated Sets）的概念，我们将证明区间在实数线上是连通的。此外，本书将探讨连通分支（Connected Components）以及局部连通性对空间结构的影响。 紧致性（Compactness）： 紧致性被认为是拓扑学中最难把握但又极其重要的概念之一。本书将从开复盖的定义出发，推导出 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中），并深入阐述紧致空间的许多优良性质，例如：紧致子集与闭集的交集仍是紧致的，连续映射保持紧致性等。我们还将重点分析局部紧致性及其在函数空间理论中的重要地位。 第四部分：分离公理——拓扑空间的“良好行为” 并非所有拓扑空间都具有我们直觉中“良好”的性质。分离公理（Separation Axioms）是衡量一个拓扑空间在点与点之间区分能力的标准。 $T_0$ 到 $T_4$ 的层级： 本书将系统地介绍 $T_0, T_1, T_2$（豪斯多夫/分离性）, $T_3$（正则性）和 $T_4$（正规性）这五个分离公理。 豪斯多夫空间的重要性： 特别强调豪斯多夫空间（$T_2$）的重要性，证明了在豪斯多夫空间中，收敛序列是唯一的，并且紧致子集一定是闭集。 度量空间的嵌入： 我们将证明所有度量空间都是正则的（$T_3$），并探讨Urysohn 引理和Tietze 扩展定理，这些定理是连接分离公理和连续函数扩展的桥梁。 第五部分：积空间与商空间——构造新空间 拓扑学的一大乐趣在于通过已有的空间构造出新的、结构更丰富的空间。本书详细解析了两种最基本的构造方法。 积空间（Product Spaces）： 针对有限个拓扑空间的乘积，我们将定义盒式拓扑（Box Topology）和积拓扑（Product Topology），并证明积拓扑是使得所有投影映射连续的最小拓扑。此外，Tychonoff 定理——即任意多个紧致空间的乘积空间仍然是紧致的——将被作为核心定理进行严谨证明。 商空间（Quotient Spaces）： 商空间是通过“粘合”点来定义的。我们将详细分析商映射的性质，并探讨如何利用商空间来对空间进行简化或重构，例如理解圆环、莫比乌斯带等经典拓扑形体是如何由基本空间（如线段或矩形）通过商映射构造出来的。 本书的特点 本书的语言力求清晰流畅，避免使用过于晦涩的符号堆砌。每一章都配有大量的详细例题与反例，旨在帮助读者区分看似相似但本质不同的拓扑概念（例如，区分拓扑学的“开”与度量空间中的“开”）。我们相信，通过对点集拓扑的扎实理解，读者将为未来深入学习代数拓扑、微分几何或泛函分析打下无可动摇的基础。本书适合高等数学专业本科生、研究生，以及任何希望严谨理解“形变不变性”的数学爱好者。

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阅读这本书，就像是在攀登一座陡峭的山峰，每一步都需要付出巨大的努力，但每一步攀升的视野，都比之前更加开阔。我非常喜欢作者在处理那些复杂概念时所展现出的耐心和细致。那些关于度量、距离以及它们在拓扑空间中的作用的讨论，初看之下，似乎与我们日常理解的“距离”相去甚远，但随着深入，你会发现它在更广阔的数学领域中有着深远的影响。我花了很多时间去消化书中关于“压缩映射定理”的论证，这个定理在许多应用领域都至关重要，而理解它的证明过程，则需要对前置概念有扎实的掌握。我常常会在思考过程中，结合一些实际的例子，虽然书中可能并没有直接给出，但我会尝试着去联系，比如将抽象的集合映射到现实世界的某个场景，来检验自己的理解。这本书的语言风格，有时会显得比较“古板”，但这恰恰是它严谨性的体现。它要求读者不仅要理解数学的符号和逻辑，更要学会像数学家一样去思考。每一次读完一个章节，都会感到一种智力上的疲惫，但同时，内心又充满了对知识的渴望。

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这本书简直是一场智力上的马拉松，跑起来可不是那么轻松的。我印象最深刻的是，作者似乎有一种魔力，能把那些最晦涩的数学概念，用一种近乎诗意的方式呈现出来。读的时候，我经常会时不时地停下来，抬头望天，然后又低头继续沉思。那些关于连续映射、同胚的概念，初看之下，感觉像是天书，但随着阅读的深入，你会发现它们之间有着奇妙的联系。我尤其欣赏书中对一些基本性质的强调，例如度量空间的完备性，它不仅仅是一个定义，更是理解许多高级理论的基石。我尝试着去解决书中的一些习题，有些确实让我大伤脑筋，但最终解出来的那一刻，那种成就感，是任何电子游戏都无法比拟的。书中引用的例子，很多都来自于数学史上的经典难题，这让我感觉自己不仅仅是在学习理论，更是在追溯数学的演进过程。有时候，我会在夜深人静的时候，点上一盏灯，独自坐在书桌前，和书中的思想进行一场跨越时空的对话。它挑战了我固有的思维模式，迫使我去审视那些习以为常的数学概念，从一个全新的角度去理解它们。这是一种痛苦又快乐的体验，让你在迷失中寻找方向，在困惑中获得启迪。

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这本书，我断断续续地读了几个月，与其说是阅读，不如说是一次充满挑战的探索。翻开第一页，我就被卷入了一个抽象的海洋，书中构建的世界，让我感觉自己仿佛置身于一个全新的宇宙。那些关于开集、闭集、拓扑空间的概念，一开始确实让人有些晕头转向，它们不像我们日常生活中熟悉的几何图形那样直观，而是需要一种全新的思维方式去理解。我记得有一次，我为一个看似简单的例子，花了整整一个下午的时间去琢磨，试图找到它背后隐藏的深刻逻辑。书中的证明过程，更是充满了精巧的构造和严密的推理，常常需要反复推敲，才能理清思路。我特别喜欢它对一些经典问题的深入剖析，比如连通性和紧致性，作者用一种非常系统的方式，一步步引导读者去理解这些抽象概念的本质。有时候，我甚至会停下来，拿起纸和笔，尝试自己画出一些拓扑结构，虽然我知道这些图形只是现实中的一种简化，但对我理解概念的形成有着巨大的帮助。这本书不是那种可以随意翻阅的书，它需要你全身心地投入，去感受每一个词语，每一个符号背后所蕴含的力量。它像是一把钥匙，打开了通往更深层次数学世界的大门，虽然过程艰辛，但每一次豁然开朗的瞬间，都带来了无与伦比的满足感。

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这本书，绝对不是一本轻松的休闲读物，更像是一场严谨的学术训练。我常常在阅读时，感觉自己像是一个初学者，在探索一个全新的领域。作者在介绍“紧致性”这个概念时，用了一种非常抽象的方式，这与我之前接触到的任何定义都不同，需要我重新构建自己的理解框架。我花了大量的时间去理解“度量空间”和“拓扑空间”之间的区别与联系，这对于后续内容的学习至关重要。书中对“柯西序列”和“完备性”的论述，让我对数学中的“极限”有了更深刻的认识。我喜欢作者在证明过程中所使用的那种“回溯法”，即从结论出发，逐步推导出必要的条件，这种方式让我能够更清晰地看到逻辑链条。有时候，我会把书中的某些定理，尝试着写成更通俗的语言，以检验自己是否真正理解了它的含义。这本书的篇幅虽然不算特别长，但其中的信息密度极高，需要细嚼慢咽，反复品味。它让我意识到，数学的美，不仅仅在于它的应用，更在于它严密的逻辑结构和深刻的思想内涵。

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坦白说，这本《拓扑》是一本让我既爱又恨的书。初读时，我常常感到一股扑面而来的陌生感，仿佛置身于一个完全由抽象符号构建的迷宫。那些关于流形、边界的论述，一开始让我摸不着头脑，需要反复咀嚼才能领会其精髓。作者的写作风格非常严谨，每一个定理的推导都步步为营，不留一丝模糊之处，这对我这种习惯了直观理解事物的人来说，无疑是一次巨大的考验。我记得有一次，为了理解一个关于同调群的证明，我花了整整两天的时间，来回翻阅前面的章节，试图找到逻辑的起点。书中的图示，虽然简洁，但信息量巨大，需要仔细辨析，才能从中提取关键信息。我常常会在纸上画下那些抽象的图形，然后用不同的颜色标记不同的区域，试图构建一个可视化的模型来辅助理解。这是一种艰难但收获颇丰的过程，它极大地锻炼了我逻辑思维的能力，也让我对数学的严谨性有了更深刻的认识。虽然过程中充满了挫败感，但我知道，每一次克服困难，都在让我变得更强大。

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