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出版者:

作者:Berry, J. S./ Houston, K.

出品人:

页数:160

译者:

出版时间:1995-7

价格:$ 50.79

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isbn号码:9780340614044

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《几何拓扑的深层结构：非欧空间与微分流形导论》 导言：穿越维度的迷宫 在数学的广袤疆域中，几何与拓扑构成了描述空间形态与内在联系的两大支柱。本书《几何拓扑的深层结构：非欧空间与微分流形导论》并非简单地对欧几里得几何进行复述，而是带领读者深入到更抽象、更富有洞察力的数学结构之中。我们聚焦于那些挑战传统直觉的非欧几何体系，并构建了理解现代几何学核心——微分流形——的严谨框架。 本书旨在为那些已经掌握了微积分和线性代数基础的读者，提供一条清晰而深刻的路径，进入现代几何与拓扑学的核心领域。我们将探究空间如何在不同公理体系下展现出截然不同的性质，以及如何利用微分工具来分析这些复杂的空间结构。 --- 第一部分：重塑空间观念——非欧几何的兴衰与革命 传统的几何学建立在欧几里得的五条公设之上，其中第五公设（平行公设）长期被视为不证自明的真理。然而，在十九世纪，数学家们勇敢地挑战了这一假设，催生了具有深远影响的非欧几何。 第一章：欧几里得几何的回顾与限制 本章首先对欧氏空间进行一次批判性的回顾。我们将着重分析欧氏几何的完备性和局限性，尤其是在处理高维嵌入和弯曲空间时所暴露出的不足。通过对内角和定理、勾股定理的严格证明，为后续的对比奠定坚实的基石。 第二章：双曲几何的奇特性质 我们将以罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和波雅伊（Bolyai）的成果为核心，系统阐述双曲几何的构造。重点在于理解双曲空间（如庞加莱圆盘模型、庞加莱上半平面模型）的内在度量结构。读者将学习到如何在曲率恒为负的空间中定义直线（测地线）、三角形的内角和如何恒小于 $pi$。本章将详细探讨双曲三角学公式的推导，以及曲率如何影响角度、面积的计算。我们还将初探双曲几何在数论和复杂函数理论中的早期应用。 第三章：椭圆几何与球面三角学 与双曲几何相对立的是黎曼（Riemann）开创的椭圆几何，其基础在于假设所有“直线”（测地线）最终相交。我们将以球面几何作为最直观的模型进行分析。本章将深入探讨球面上的三角关系，例如球面三角形的内角和如何大于 $pi$，以及“直线”定义下的测地线概念。这不仅是纯粹的几何探索，也是对拓扑学中“紧致性”概念的初步触及。 第四章：几何化的统一与黎曼的遗产 本章将目光投向高斯（Gauss）的“奇异几何学”工作，特别是他对曲面的内在几何研究（如《关于曲面的普遍基本定理》）。我们将从高斯曲率的概念出发，探讨曲率如何成为衡量空间“弯曲程度”的内在不变量，与嵌入空间的外在曲率区分开来。最后，我们将引出黎曼对 $n$ 维流形的设想，为进入微分几何打下理论基础，强调不同几何体系的统一性在于其测地线结构和曲率定义。 --- 第二部分：抽象空间的语言——微分流形的构造 从固定的欧氏空间或简单的非欧空间过渡到可以局部欧几里得化、整体结构任意的微分流形，是现代几何学的关键飞跃。微分流形提供了一个强大的框架，使得微积分的概念能够自然地推广到非线性空间上。 第五章：拓扑空间的基础与欧氏空间推广 在正式定义流形之前，本章需要建立坚实的拓扑学基础。我们将探讨开集、闭集、紧致性、连通性以及连续映射的概念。重点在于理解拓扑空间的“邻域”概念如何取代了欧氏空间中基于距离的邻域定义。随后，我们将形式化地定义拓扑流形：一个可被局部坐标卡覆盖的空间，且不同坐标卡之间的变换是连续的。 第六章：坐标变换与光滑性 流形之所以被称为“微分”流形，关键在于坐标卡之间的过渡函数必须是光滑的。本章将详尽讨论局部坐标系的选择、坐标变换的雅可比矩阵，以及光滑性（$C^k$ 甚至 $C^infty$ 级别）对空间结构的约束。我们将分析从 $mathbb{R}^n$ 到抽象流形上函数和微分的推广问题，为向量场和张量的定义做准备。 第七章：切空间与向量场 微分流形的核心工具之一是切空间。本章将从直观的曲线切线和曲面切平面出发，严谨地定义流形上每一点的切空间 $T_pM$。我们将通过方向导数和向量场来阐释切空间的线性代数结构。读者将学习如何利用局部坐标系在切空间上构造基底（坐标向量场），并理解切空间如何随流形上的点变化，从而形成一个更大的向量丛结构。 第八章：张量、微分形式与积分 向量场是定义在流形上的“切向量的场”，而张量则是对向量和余向量（1-形式）更一般化的线性组合。本章将深入探讨张量的定义、张量场之间的运算（如张量积、收缩），以及张量如何在坐标变换下保持其几何意义。随后，我们将引入微分 $k$ 形式（或称外微分形式），这是推广积分理论的关键。我们将详细讨论外微分 $mathrm{d}$ 算子的定义及其性质，特别是 $mathrm{d}^2 = 0$ 这一核心恒等式。 第九章：流形上的积分与斯托克斯定理 本章将最终实现微积分在流形上的完整回归。我们将定义流形上的积分（流形上的测度理论基础），并详细阐述微分形式积分的意义。最终的顶点是推广的斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。我们将从一维的线积分（格林定理）、二维的面积分（高斯/散度定理）到高维流形上的普遍结论，展示 $int_M mathrm{d}omega = int_{partial M} omega$ 如何成为连接局部微分运算与整体边界积分的统一法则。 --- 第三部分：内建的几何结构——度量与联络 拥有了流形结构，我们还需要赋予其“长度”和“角度”的概念，这便是度量张量（Riemannian Metric）的作用。一旦有了度量，我们才能谈论测地线、曲率和测地流。 第十章：黎曼流形与度量张量 本章引入黎曼度量 $g$。我们将从内积的角度定义度量张量，它允许我们在任何切空间上计算向量的长度和夹角。读者将学习如何使用度量张量来“降下标”，从而定义斜向量（1-形式）和上向量（2-向量）之间的对偶关系。本章将探讨坐标系下度量张量的分量表示以及其坐标变换的协变性质。 第十一章：联络、协变导数与测地线 在弯曲空间中，我们不能简单地比较不同点的向量，因为它们处于不同的切空间。因此，需要一个“平移”工具——联络。我们将重点研究黎曼几何中特有的“列维-奇维塔联络”（Levi-Civita Connection），该联络保证了对度量的无挠性（Torsion-free）和兼容性（Metric Compatibility）。基于此联络，我们将定义协变导数，并最终推导出测地线的定义方程：一个表示物体在“没有外力”作用下运动的微分方程。 第十二章：截面曲率与里奇张量 本章将黎曼几何的精华推向高潮：曲率的计算。我们将从高斯曲率的推广——截面曲率（Sectional Curvature）开始，它测量了流形在特定二维切平面上的弯曲程度。随后，我们将介绍里奇张量（Ricci Tensor）和里奇标量（Ricci Scalar），它们是度量张量的二次微分不变量，对理解空间的整体几何性质至关重要。这些张量是爱因斯坦场方程的几何基础，展示了纯粹的拓扑与几何是如何深刻地影响物理世界的。 --- 结论：探索的展望 《几何拓扑的深层结构》在微分流形上构建了一个坚固的分析平台。它成功地将代数的精确性、拓扑的广度与分析的工具融为一体。本书所奠定的基础，是进入更高级领域如规范场论、代数拓扑、辛几何以及广义相对论的必备阶梯。通过对这些抽象结构的理解，读者将不仅掌握了一种数学语言，更学会了一种全新的、看待和描述空间复杂性的思维方式。

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这本书给我最大的启发，在于它完美地平衡了理论的深度和跨学科的广度。它没有把自己局限在某个单一的工程或科学领域，而是像一个万能的工具箱，为读者提供了解决不同领域问题的通用“思维框架”。我发现自己可以轻易地将书中学到的生态系统动态模型，迁移应用到理解商业市场竞争的动态变化上。作者的语言风格非常具有启发性，充满了对未知领域的探索欲，读起来有一种跟智者对话的感觉。特别是最后几章，探讨了一些前沿的、尚未完全成熟的建模方向，这给了我极大的研究灵感。他引导我们思考，在人工智能和大数据时代，传统的数学建模理论将如何演进和融合。这本书的魅力就在于此，它既是对经典理论的扎实总结，更是对未来研究方向的深邃展望。它迫使你跳出已有的知识舒适区，去思考那些真正具有挑战性的、需要跨学科知识才能解决的“大问题”。这是一本值得反复研读、每次都能带来新发现的经典之作。

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这本书简直是打开了我认识世界的一扇全新的大门，它不仅仅是枯燥的公式和定理堆砌，更像是一场引人入胜的侦探小说。作者以一种近乎艺术家的笔触，将那些看似抽象的数学概念，巧妙地融入到我们日常生活的方方面面。比如，书中对流行病传播模型的深入剖析，让我第一次真切地感受到了数学在预测和控制现实世界危机中的巨大力量。我记得有一章专门讲了交通流量的优化，那种将现实世界的拥堵问题，通过微分方程和优化算法进行精确描绘和求解的过程，实在是太令人震撼了。它不是那种高高在上、让人望而生畏的学术著作，相反，它充满了对现实问题的关怀和解决问题的热情。读完之后，我开始下意识地用数学的眼光去审视周遭的一切，从超市货架的摆放策略到天气预报的准确性评估，都仿佛被赋予了一层新的逻辑结构。这本书的叙事节奏把握得非常好，总能在关键节点抛出引人深思的问题，然后带着读者一步步深入到问题的核心，让人欲罢不能，恨不得一口气读完。它成功地证明了，数学不仅仅是工具，更是一种思考问题的哲学。

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这本书的装帧和排版，从一个读者的角度来看，体验极其舒适。很多技术书籍在图表和公式的呈现上做得非常糟糕，让人看得眼花缭乱，但这本书在这方面做得非常到位。图表的清晰度极高，关键的数学表达式被精心布局，阅读流线非常顺畅，这极大地降低了阅读过程中的认知负荷。内容上，我发现作者对“不确定性”的处理方式非常成熟。他没有将世界描绘得过于“可解”，而是着重探讨了在信息不完全的情况下，如何构建稳健的模型。我特别欣赏其中关于“贝叶斯方法”在信息融合中的应用部分，它清晰地展示了如何将先验知识与新观测数据结合起来，形成一个动态更新的认知系统。这本书的价值在于，它教你的不仅仅是具体的模型，而是一种面对复杂、模糊世界的“建模心态”——接受不完美，并在不完美中寻求最优解。读完它，我感觉自己的决策制定能力都有了质的飞跃。

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说实话，这本书的阅读体验可以说是“痛并快乐着”。它绝对不是那种可以轻松“刷完”的休闲读物，它要求你必须全神贯注，手里最好还备着纸笔随时演算。然而，正是这种高强度的投入，换来了巨大的成就感。每攻克一个章节，就像是攀登了一座知识的高峰，视野豁然开朗。我特别喜欢作者在引入新数学工具时，总是先从一个非常具体、甚至略显“琐碎”的现实问题出发。比如，他讨论如何用最优控制理论来设计一个节约能源的机器人路径，这个过程的衔接是如此自然流畅，让人感叹数学之美与实用性的完美结合。这本书的深度是毋庸置疑的，它没有回避那些复杂的数学推导，但高明之处在于，即使在最烧脑的部分，作者也总能穿插一些历史背景或者应用场景的阐述，给紧绷的神经一个喘息的机会。对于那些希望从“数学使用者”升级为“数学思考者”的人来说，这本书简直是不可多得的宝藏。

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初次翻开这本书时，我其实是抱着一种“碰碰运气”的心态，毕竟我对“建模”这个词汇总有一种莫名的距离感，总觉得那是给专业人士准备的硬核内容。然而，我的顾虑完全是多余的。这本书的结构设计简直是教科书级别的典范，它采取了一种渐进式的教学方法，从最基础的概念入手，稳扎稳打地建立起复杂的数学框架。最让我印象深刻的是作者在解释每一个模型假设时的严谨态度——他总是会清晰地指出，任何模型都是对现实的简化，并引导读者思考这些简化带来的潜在偏差和适用边界。这种坦诚的态度，极大地增强了我的信任感。我尤其欣赏其中关于金融市场波动的案例分析，它没有简单地给出结论，而是展示了不同数学工具（比如布朗运动、随机微分方程）如何一步步逼近真实市场的复杂性。阅读过程中，我发现自己不仅掌握了新的分析方法，更重要的是，建立了一种批判性思维，不再盲目相信任何未经检验的“精确预测”。这本书更像是一位经验丰富的大师，耐心而细致地传授他的独门秘籍。

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