Focus on Advanced Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Dossey

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:799.00元

装帧:

isbn号码:9780201869804

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 高级代数
• 数学
• 教育
• 学习
• 教材
• 高中数学
• 函数
• 方程
• 多项式

深入探索：现代数学的广阔疆域 导言：超越基础，迈向深层结构 本书旨在为那些已经掌握了标准代数基础，并渴望深入探索数学核心结构的读者提供一张详尽的路线图。我们不再满足于简单的方程求解或函数图像绘制，而是将目光投向了支撑整个现代数学体系的那些宏大概念——抽象结构、高级逻辑推理，以及它们在不同数学分支中的具体体现。本书的构建哲学是，只有理解了数学语言的底层语法，才能真正开始进行富有洞察力的数学“写作”。 全书分为五个核心模块，每个模块都代表了从基础代数向更精深领域过渡的关键一步。 --- 第一部分：群论的基石与对称性的奥秘 (Foundations of Group Theory and the Mysteries of Symmetry) 本部分是进入抽象代数的门户。我们首先界定“结构”的含义，从集合、二元运算的公理化定义出发，逐步构建群（Group）的严谨框架。 1.1 集合论的回顾与扩展： 集合是数学的基石，但在这里，我们关注的是集合上的“变换”和“作用”。引入等价关系和划分的概念，为后续的同态映射做铺垫。 1.2 基础群的结构： 详细分析有限群的性质，包括阶（Order）、子群（Subgroups）、陪集（Cosets）以及拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的精妙证明及其推论。我们不会停留在计算层面，而是探讨群作用（Group Actions）的几何和代数意义，特别是凯莱定理（Cayley's Theorem）揭示的“所有群都是置换群”的深刻洞察。 1.3 正规性与商群： 引入正规子群（Normal Subgroups）的概念，这是连接群论与更高级结构的关键桥梁。深入探讨商群（Quotient Groups）的构造，展示如何通过“模去”一个子群来创造出更简洁、更具代表性的结构。通过实例分析，如二面体群 ($D_n$)、四元数群 ($Q_8$) 和一般线性群 ($ ext{GL}_n(mathbb{F})$) 的结构，读者将体会到抽象概念如何精确地描述现实世界中的对称性。 1.4 同态与同构的精妙匹配： 本章深入讨论群同态（Homomorphisms）的性质，重点解析第一同构定理（The First Isomorphism Theorem），理解结构如何通过映射得以保留或降维。我们将探讨直积（Direct Products）和半直积（Semi-Direct Products）在构造更复杂群时的作用。 --- 第二部分：环论与域的代数几何基础 (Ring Theory and the Algebraic Foundations of Fields) 如果群论关注的是“某种运算下的封闭和逆运算”，那么环论则扩展到了“两种运算下的结构”。环是建立多项式、数论和代数几何的必要工具。 2.1 环的定义与基本属性： 从加法交换群和乘法半群的结合出发，严格定义环（Ring）。重点区分交换环（Commutative Rings）和非交换环，以及单位元（Unity）的重要性。 2.2 特殊的子结构： 深入研究环中的理想（Ideals）——环的“加法正规子群”。理想的性质决定了环的复杂程度。引入主理想（Principal Ideals）、主理想环（PID）和唯一分解整环（UFD）的概念，并详细剖析 $mathbb{Z}[x]$ 和 $mathbb{Q}[x]$ 的区别。 2.3 商环与同态： 模仿群论，构建商环（Quotient Rings）的结构，并阐述与理想对应的同态定理。通过实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$ 以及有理数域 $mathbb{Q}$ 的构造，读者将理解域（Field）作为一种特殊环的优越性。 2.4 整环与域的拓展： 重点分析域的定义——一个没有零因子（Zero Divisors）的交换环。讨论域的特征（Characteristic）的概念。本章的高潮在于对域扩张（Field Extensions）的初步探讨，例如如何从 $mathbb{Q}$ 构造 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，为后来的伽罗瓦理论埋下伏笔。 --- 第三部分：线性代数的高阶视角：模与向量空间的统一 (Advanced Linear Algebra: Unifying Modules and Vector Spaces) 线性代数在基础课程中常常被视为计算工具，但从抽象代数的角度看，向量空间不过是域上的一种特殊“模”。本部分提升了对线性结构的认识。 3.1 模的概念： 将环 $R$ 替换了域 $F$，定义左 $R$-模和右 $R$-模。模比向量空间更加一般化，其性质受底层环结构的深刻影响。我们将探讨模的子模、模同态以及模的生成集。 3.2 结构理论的雏形： 重点关注主理想域（PID）上的模的结构定理。虽然不深入到复杂的分裂域理论，但我们将详细分析有限生成模的结构，理解自由模（Free Modules）的概念及其局限性。 3.3 经典线性代数的重构： 利用模的视角重新审视向量空间。重点分析线性变换的本质，以及如何通过模的语言来理解矩阵的相似性。引入特征多项式（Characteristic Polynomial）和最小多项式（Minimal Polynomial）的代数意义，它们是描述线性变换在不同基下不变性的代数“指纹”。 3.4 张量积的引入： 张量积（Tensor Products）是连接不同向量空间或模的强大工具。本书将以几何直觉开始，随后给出其通用构造的定义，展示张量积如何自然地处理多线性映射，并在泛函分析和微分几何中发挥作用。 --- 第四部分：数论的代数化：迪利克雷与代数整数 (Algebraization of Number Theory: Dirichlet and Algebraic Integers) 本部分将代数结构（群、环）应用于解析数论的核心问题，特别是关于整数方程的解。 4.1 同构与同余： 从同余关系（Congruence Relations）出发，利用商环和商群的工具，系统地重新审视欧几里得算法、中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）的代数推导。 4.2 迪利克雷单位定理的代数基础： 探讨数域（Number Fields）——域扩张 $mathbb{K}/mathbb{Q}$——的概念。定义代数整数（Algebraic Integers）并构建其环 $mathcal{O}_{mathbb{K}}$。重点分析二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 中的单位结构。通过对数映射和格（Lattice）的初步几何想象，为理解迪利克雷单位定理（Dirichlet Unit Theorem）提供扎实的代数支撑。 4.3 理想的独特分解： 比较 $mathbb{Z}$ 中素数分解的唯一性与某些代数整数环中元素分解的非唯一性（例如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 中 $6 = 2cdot 3 = (1+sqrt{-5})(1-sqrt{-5})$）。本书将证明在 Dedekind 域中，理想的分解是唯一的，并将此分解的唯一性与前文讨论的 PID 结构联系起来。 4.4 二次剩余与有限域的应用： 介绍勒让德符号和雅可比符号的代数定义。对有限域 $mathbb{F}_p$ 的结构进行深入分析，探讨其乘法群的循环性，这是现代密码学的基础之一。 --- 第五部分：伽罗瓦理论的宏伟架构 (The Grand Architecture of Galois Theory) 这是全书的顶点，它通过将域扩张的代数问题转化为群论问题，为费马“五次方程不可解性”提供了决定性的代数解释。 5.1 可分性与正规扩张： 严格定义可分多项式（Separable Polynomials）和正规扩张（Normal Extensions）。理解不可约多项式（Irreducible Polynomials）如何生成域扩张。 5.2 伽罗瓦群的构造： 定义伽罗瓦扩张（Galois Extensions）及其伽罗瓦群 $ ext{Gal}(mathbb{L}/mathbb{K})$，即保持基域不变的域自同构群。展示该群如何作用于扩张的根集上。 5.3 基本对应定理： 详细阐述伽罗瓦基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）。此定理建立了域 $mathbb{K}$ 与其扩张 $mathbb{L}$ 之间所有中间域，与其伽罗瓦群的子群之间的一一反向对应关系。我们将用这一强大的工具来重新审视一些经典问题。 5.4 不可解性证明的代数逻辑： 最后，运用伽罗瓦理论的视角，分析可解群（Solvable Groups）的性质，并基于阿贝尔-鲁菲尼定理（Abel-Ruffini Theorem）的伽罗瓦理论版本，论证五次及以上的一般多项式方程无法仅通过初等代数运算（加、减、乘、除、开 $n$ 次方）求解的根本原因。这不仅仅是一个计算结果，而是关于结构限制的深刻结论。 --- 总结与展望 本书的结构旨在引导读者完成一次思维方式的转变：从对具体数字和公式的操纵，上升到对抽象关系的洞察。掌握了这些概念，读者将为后续更专业的领域，如代数拓扑、复分析中的代数方法、现代密码学、乃至更深层的代数几何打下无可动摇的理论基础。本书的价值不在于提供技巧，而在于重塑读者对数学“为什么”的理解。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

关于习题部分，这是我最为困惑的一个环节。一本优秀的代数教材，其习题集应该是对课堂内容的完美延伸和检验，它应该覆盖从基础巩固到挑战思维的完整光谱。然而，这本书的习题集呈现出一种极端的两极分化状态。前半部分的基础练习，那些求行列式、求逆矩阵、或者简单验证群的性质的题目，简直是幼儿园级别的，做起来毫无挑战性，更像是一种形式上的凑数。你花五分钟就能把一整页刷完，然后发现自己并没有真正加深对材料的理解。但当你翻到后半部分，那些被称为“选做”或者“高级挑战”的题目时，难度直接呈指数级飙升，完全没有中间地带。它们提出的问题往往需要跨越好几个章节的知识点进行复杂的构造性证明，有些甚至感觉更像是专业期刊上的未解难题的变种，而不是教学大纲内的知识点应用。更要命的是，这本书提供的答案和解题过程极其简略，很多关键步骤直接被跳过了，留给读者的“提示”往往是“根据定理X即可证明”，但这正是读者卡住的地方！对于需要通过习题来巩固和自我修正的学习者来说，这种处理方式无疑是挫败感的来源，它更像是要求你“照着做”，而不是“教会你怎么做”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧，坦白讲，让人感到一丝丝的年代感，甚至可以说有点过时了。封面设计极其保守，如果不是书名里那个“Advanced”稍微提了个醒，我可能会把它误认为是上世纪八十年代出版的某个老旧的习题集。内页的字体选择偏小，行间距也比较紧凑，长时间阅读下来，眼睛真的非常容易疲劳。更让人抓狂的是它的图表和示例的呈现方式。数学书籍中的图示至关重要，它们是抽象概念具象化的桥梁。然而，这本书里的插图，特别是那些涉及到向量空间或矩阵变换的示意图，线条生硬，缺乏必要的颜色区分或维度标记，很多时候，我得在脑子里反复进行三维旋转和投影，才能勉强还原出作者想要表达的空间关系。对于线性代数中那些依赖于可视化理解的部分，比如特征值和特征向量的几何解释，这本书的贡献几乎为零。我总感觉自己像在通过一个布满灰尘的窗户看世界，虽然内容是存在的，但清晰度和直观性大打折扣。如果作者能在图文并茂上下多花点心思，哪怕只是引入一些现代排版技术来区分关键概念和辅助说明，阅读体验都会提升一个档次。现在这样，让学习过程本身变成了一场与物理疲劳的战斗，实在不太友好。

评分☆☆☆☆☆

这本书在叙事风格上，给人一种冷峻到近乎傲慢的感觉。它似乎预设了读者已经具备了极高的数学素养和极强的自学能力。在引入新的代数结构时，作者的语气是那样不容置疑和绝对化，好像这些数学规律是自然界中亘古不变的真理，而我们只需要恭敬地记录下来即可。比如，在讨论环论时，作者很少使用类比或历史背景来软化抽象概念的引入。一个读者，特别是那些从纯粹的计算数学背景转向结构理论的，往往需要一个“为什么”和“如何发展到这一步”的解释。这本书似乎认为这些“为什么”是多余的，是“不严谨”的杂音。这种过于纯粹和去情境化的写作方式，使得原本就难以捉摸的抽象结构更加难以亲近。我感觉自己像是在阅读一份精密的法律条文集，每一个字都准确无误，但缺乏了任何能够激发起学习热情的“人情味”。数学学习不应该仅仅是符号的搬运工，它需要一种与符号背后的思想进行对话的能力，而这种对话，在这本书冰冷的文字中是难以实现的。

评分☆☆☆☆☆

关于它在不同学习阶段的适用性，这本书的定位非常模糊，这也是我感到最不值的一个地方。如果我是一个本科高年级，正准备开始研究生阶段学习的学生，我可能会发现它作为一本参考书还算过得去，尽管前面提到的习题和排版问题依然存在。但对于大二或大三，正准备系统学习抽象代数或高级线性代数入门的学生来说，它简直是灾难性的开端。它没有提供足够的“脚手架”来支撑初学者搭建起稳固的知识框架。许多概念的引入，比如模、理想的推广性定义，都是直接建立在已有知识的假设之上的，它似乎没有给那些需要反复咀嚼和消化的概念留出足够的呼吸空间。我尝试用它来准备一次期中考试，结果发现，为了理解书本上的一个核心定理，我不得不在其他更基础的教材中来回翻阅，以确认我对其中某个前提条件（比如某个群或环的性质）的理解是否与作者的默认认知一致。最终，我花费了三倍于预估的时间，却仅仅因为需要不断地在“这本书的严格性”和“我现有的知识基础”之间做桥梁铺设工作。因此，这本书与其说是一本“焦点”（Focus），不如说是一块非常坚硬、需要特定工具才能撬动的岩石，对于普通学习者来说，可能更适合作为深造时的辅助工具，而不是入门的指南。

评分☆☆☆☆☆

这本书，老实说，我本来是冲着名字里那个“Focus”去的，以为它能像一把精准的手术刀，直击高等代数中最晦涩难懂的核心概念，然后用一种令人茅塞顿开的方式将其剖析清楚。然而，读完之后，我感觉自己像是走进了哈利·波特里的那个有求必应屋，你想要的它似乎都有，但又好像什么都没给我真正想要的。它像是一本详尽的百科全书，知识点堆砌得非常扎实，几乎涵盖了从线性代数进阶到抽象代数基础的方方面面，但问题就在于“像百科全书”这一点。当你试图深入理解某个定理的几何意义或者它在实际应用中是如何运作的时候，这本书提供的往往是另一串定义和引理的堆砌。我花了大量时间去揣摩那些复杂的证明过程，它们无疑是严谨的，但叙述的逻辑链条有时显得过于跳跃，中间缺少了那种如同导师般循循善诱的过渡和解释。举个例子，在讨论伽罗瓦理论的引言部分，作者直接抛出了域扩张的概念和正规子群的性质，对于一个初次接触这块知识的读者来说，这就像直接把人扔进深海，水温骤降，连救生圈都没给。我不得不频繁地查阅其他辅助材料，来填补这本书在“教学法”上的空白。它更像是为那些已经有了扎实基础，只是想查阅某一特定公式或证明的专业人士准备的参考手册，而非一本能够真正“聚焦”并引导初学者攻克难关的教材。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆