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出版者:

作者:SuryaChandra, Punit Raja

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页数:0

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价格:232.00 元

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isbn号码:9781605621746

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几何学基础与探索：超越《Math Review Geometry》的视觉旅程 本书是一部关于纯粹几何构造、非欧几何理论的深度探讨，以及几何学在现代物理学中应用的综合性著作。它旨在为读者提供一个超越基础回顾性学习的视角，深入挖掘几何学的哲学基础、逻辑结构以及其在拓扑学、微分几何等前沿领域中的核心作用。 第一部分：欧几里得体系的再审视与逻辑基石 本书的第一部分将从一个批判性的角度重新审视欧几里得几何的公理体系。我们不会仅仅停留在对勾股定理或三角形内角和的复述上，而是深入探究“点”、“线”、“面”这些基本概念的本体论地位。 1.1 希尔伯特公理体系的现代诠释： 我们将详细分析大卫·希尔伯特为欧氏几何建立的更严谨的公理系统。重点在于“连续性”、“顺序性”和“全等性”公理如何确保几何结构的完整性。讨论为何在某些逻辑框架下，仅依赖欧几里得五大公设会导致理论上的不完备性，并介绍如何通过引入新的基本概念来弥补这些逻辑漏洞。我们将探讨“存在性”证明的严格要求，以及在分析几何引入之前，纯粹的逻辑演绎是如何构建整个空间的。 1.2 射影几何的诞生与透视原理： 射影几何作为连接艺术透视学与数学结构的重要桥梁，将在本章得到深入阐述。我们关注“无穷远点”、“对偶性原理”和“调和比”等核心概念。射影几何揭示了所有圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）在射影变换下的内在统一性，这为理解透视变换和计算机图形学的底层数学原理奠定了基础。我们将分析帕斯卡定理和布里安雄定理的优雅之处，展示它们如何在不依赖度量（长度和角度）的情况下保持其真理性。 1.3 欧氏度量与刚体运动： 本节将聚焦于等距变换（Isometries）——平移、旋转和反射。这些变换定义了欧氏空间中“形状”和“大小”的概念。我们将利用群论的语言来描述刚体运动群，解释为何这些运动是保持几何不变性的关键。通过考察克莱因的“几何的本质在于其不变群”这一观点，读者可以领悟到几何学更深层次的结构定义，而非仅仅是坐标系下的计算。 第二部分：非欧几何的哲学冲击与理论构建 非欧几何的发现是人类理性史上一次深刻的革命，它彻底打破了欧几里得几何作为“绝对真理”的地位。本部分将系统地构建两种主要的非欧几何模型。 2.1 罗巴切夫斯基几何（双曲几何）的内在一致性： 我们将首先介绍罗巴切夫斯基几何，其核心在于对第五公设的否定（通过“至少存在两条过直线外一点与该直线平行的直线”）。为了理解这种空间，我们将详细分析庞加莱圆盘模型（Poincaré Disk Model）和庞加莱上半平面模型（Poincaré Upper Half-Plane Model）。我们将计算双曲空间中的“直线”（测地线）的性质，例如三角形内角和总是小于180度，以及指数增长的周长与半径关系。本章还将探讨双曲空间中“平行线”的概念如何延伸出渐近线、相交线和完全平行的概念。 2.2 黎曼几何与球面几何： 球面几何，作为曲率恒为正的典型代表，是理解黎曼几何的起点。我们将分析球面三角形内角和总是大于180度的现象，并将其与地球的航海和测绘联系起来。随后，我们将过渡到更一般的黎曼几何框架，讨论流形、切空间和黎曼度量张量。我们将解释，欧氏几何、双曲几何和球面几何实际上是具有常曲率的流形上的特例，这为我们理解宇宙的宏观几何结构提供了必要的数学工具。 2.3 测地线与最短路径： 在非欧空间中，直线被“测地线”取代。本节将探讨测地线作为两点间“最短路径”的定义，并介绍变分法在推导测地线方程中的应用。理解测地线的弯曲如何反映了时空本身的内在几何属性，是连接几何学与广义相对论的关键一步。 第三部分：几何学在现代科学中的应用前沿 本部分的焦点在于展示几何学如何从纯粹的抽象思考演变为现代物理学、拓扑学和数据科学的核心驱动力。 3.1 拓扑学：形状的连续变形与不变量： 拓扑学关注的是在连续变形（拉伸、扭曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。我们将深入研究拓扑学中的核心概念，如“连通性”、“紧致性”和“孔洞”。著名的布拉赫纽茨不动点定理和欧拉示性数将被详细解析，后者作为一种重要的拓扑不变量，能够区分不同种类的曲面。我们将探讨莫比乌斯带和克莱因瓶的构造，理解它们如何挑战了三维空间中对“内外”的直觉认识。 3.2 微分几何与广义相对论的数学结构： 微分几何是爱因斯坦构建广义相对论的数学语言。本章将介绍张量分析的基础，特别是协变导数和黎曼曲率张量。我们将解释，物质和能量如何通过“能量动量张量”告诉时空（由黎曼曲率张量描述）如何弯曲，以及时空如何告诉物质如何运动（遵循测地线）。我们将分析爱因斯坦场方程的几何意义，展示引力本质上是时空几何的体现。 3.3 离散几何与计算建模： 几何学的应用并未止步于连续数学。本章将探索离散几何在计算机图形学、机器人学和数据分析中的作用。我们将讨论单纯形（Simplexes）、三角剖分（Triangulation）以及如何在计算机中高效地表示和操作复杂曲面。 Delaunay 三角剖分和 Voronoi 图作为处理空间关系的重要工具，将通过实际案例进行展示，强调几何学在构建离散模型和优化算法中的不可替代性。 总结： 本书提供了一条从欧氏公理的严谨性出发，穿越非欧空间的奇特维度，最终抵达现代物理学和计算科学前沿的几何学探险路线。它要求读者放下对直觉的依赖，以逻辑和构造的眼光去重新审视空间和形状的本质。这不是一本关于回顾和练习的教材，而是一本关于几何思想的深度哲学和前沿应用探索之作。

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说实话，当我合上这本书，准备开始我的下一次几何挑战时，我感到的是一种久违的充实感和对数学世界的重新敬畏。这本书远超出了“复习”的范畴，它更像是一次对几何学思想精髓的深度巡礼。它不仅帮我修补了过去学习中留下的知识漏洞，更重要的是，它重塑了我对“证明”和“空间想象”的认知。以前，证明对我来说就是走流程，现在，我开始享受那种逻辑链条环环相扣，最终水到渠成的美妙过程。书中的某些证明思路，那种灵光一现的洞察力，简直具有美学价值。对于那些想要真正吃透几何，而非仅仅应付考试的人来说，这本书无疑是一份宝藏。它教会了我如何像一个几何学家那样去思考——保持严谨，同时拥抱直觉，并在两者之间找到完美的平衡点。它提供的是一种思维框架，而非一套公式大全。

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这本《Math Review Geometry》的封面设计着实抓人眼球，那种深邃的靛蓝色背景，配上精巧的几何图形线条，立马让人联想到严谨的逻辑和无限的可能。我原本是抱着一种“姑且一试”的心态翻开的，毕竟市面上几何复习资料汗牛充栋，真正能让人眼前一亮的少之又少。然而，这本书的开篇几章就展现出了它不凡的底蕴。它没有急于抛出复杂的定理和公式，而是从最基础的欧几里得公理体系的哲学意义入手，引导读者去思考“为什么是这样”而非仅仅“它是什么”。比如，它对“点、线、面”的阐述，不是干巴巴的定义堆砌，而是结合了古希腊哲学家对于空间认知的历史演变，读起来仿佛在进行一场穿越时空的对话。作者在介绍平行公设的独立性时，用了一种近乎散文诗的笔调，将罗巴切夫斯基、黎曼等人的思想脉络梳理得清晰流畅，让人在领会其数学精髓的同时，也体会到了人类理性探索的伟大。尤其是关于非欧几何的引入部分，那种从古典到现代的平滑过渡，处理得极其巧妙，没有让人感到突兀或知识断层。这种注重底层逻辑构建和历史背景的叙述方式，极大地提升了阅读的深度和趣味性，远超了一本纯粹的应试工具书的范畴。

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我必须承认，我是一个对纯粹的符号运算感到头疼的读者，公式对我来说就像是天书，死记硬背只会让我效率低下。但这本书的讲解方式，简直是为我这种“视觉型学习者”量身定做的。它大量使用了高质量的插图和动态演示的文字描述，把抽象的几何关系具象化了。比如，在阐述向量在几何中的应用时，它不是简单地给出坐标系的转换公式，而是通过一系列精心绘制的场景——想象一个物体在三维空间中旋转、投影——让读者直观感受到向量叉乘或点乘的几何意义。我印象特别深的是关于对角化和特征值的章节，通常这部分内容枯燥到让人想放弃，但这本书中，它被巧妙地融入到对二次型曲面分类的讨论中，每一步的推导都像是在解一个精心设计的谜题，每解开一环，都会带来强烈的成就感。作者似乎深谙“授人以渔”的道理，与其直接给出结论，不如引导你一步步“推导出”结论，让知识内化于心。这种教学设计，极大地降低了啃硬骨头的痛苦，让人在不知不觉中就掌握了复杂的解析几何技巧。

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这本书的练习题设计，体现了一种高超的梯度控制艺术。我以前做题时常常遇到两极分化的体验：要么是基础题做到麻木，要么是难题直接把我难住，找不到任何切入点。但《Math Review Geometry》的习题部分，就像一条精心铺设的知识阶梯，每一步都恰到好处地在前一节内容的基础上增加了一点点难度和新颖度。基础巩固题的覆盖面非常广，确保了基本概念的牢固掌握，而且即便在基础题中，也暗藏着对概念理解深度的考察。更值得称赞的是它的“深度拓展”部分。这些题目往往不是那种简单的数值计算，而是需要综合运用多个章节知识点，甚至涉及到一些跨学科的思考。比如，有一道题，它将几何中的“反射”原理与物理学中的光路追踪联系起来，要求读者用矩阵变换来解决一个复杂的镜面反射问题。这种将不同数学分支打通的题目，极大地锻炼了我的综合分析能力，让我感觉自己不再是孤立地学习几何，而是在学习一套更广阔的空间描述工具。

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从装帧和排版来看，这本书的制作水准也绝对是教科书级别的精品。纸张的质感非常舒服，长时间阅读下来眼睛也不会太疲劳，这对于需要长时间专注的数学学习来说至关重要。更让我欣赏的是其版面设计上的“留白”哲学。不同于一些试图把所有信息都塞进页面的资料，这本书的版面设计简洁明了，公式和定理被清晰地框定和突出，注释部分也处理得非常克制，绝不喧宾夺主。这种清爽的视觉体验，极大地减轻了阅读的心理负担。此外，书中对于那些易混淆的概念和细节，作者总是会用一个小的“警示框”或者“注意点”来特别标注，这些小小的设计，避免了我在复习过程中反复犯同样的低级错误。这种对细节的极致关注，体现了编著者对读者学习体验的深度同理心，让人感觉这不是一本冷冰冰的教材，而是一位经验丰富的导师在身边悉心指导。

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