具体描述
《代数曲面(英文版)》是《Classics in Mathematics》系列之一，以现代观点讲述了代数几何知识，将经典代数曲面和现代代数曲面有机结合，很好地表达出了数学的整体性，是同时期很难得的一本代数曲面教材。目次：奇点理论和奇点还原；曲线的线性系统；伴随系和不变量理论；算术亏格和Riemann-Roch定理；连续非线性系统；代数曲面的拓扑性质；代数曲面上的单积分和双重积分；复平面上的Branch曲线和连续性。
Springer-Verlag从1920年开始发行这一个系列教材，最初旨在满足较高端数学的学习者的需求，陆续增加了一些最新的数学进展情况。这个系列现在包括超过400种书，好多已经成为数学中的经典或者已经是该领域的标准参考书。Springer将其中的一些经典重新以平装的形式发行，使得更多年轻一代学生和研究人员能够受益。
读者对象：数学专业的高年级本科生、研究生、教师以及这方面的专家学者。
《代数曲面》 一部关于优雅几何与深刻结构的探索之旅 本书并非一本简单的教科书，而是一次深入代数几何核心的哲学性考察。它旨在引导读者穿越抽象的数学语言，去领略代数曲面所蕴含的精妙结构与和谐之美。我们并非要陈列枯燥的定义与冗余的定理，而是力求呈现一个生动、直观且富有洞察力的数学世界。 一、 几何的黎明：从曲线到曲面 我们的旅程始于最基础的几何概念。如同画家以线条勾勒轮廓，几何学家以方程描绘形状。在早期，对平面曲线的刻画已经展现了方程与图形之间迷人的联系。直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线……这些我们熟悉的二次曲线，它们的形状被简洁的代数方程所定义，它们的性质也随之被一一揭示。然而，数学的魅力在于不断地拓展边界。当我们将目光从二维平面提升到三维空间，一个全新的维度便展现在眼前——代数曲面，它们是方程在三维空间中的具象化，是三维几何的“线条”。 想象一下，一个简单的二次方程，如 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$，便在空间中描绘出一个完美的球体。而 $x^2 + y^2 - z^2 = r^2$ 则呈现出双曲面的优雅曲线。这些曲面不仅仅是空间中的点集，它们承载着丰富的几何信息。它们的曲率、它们的切线、它们的法线，每一个细节都由背后的代数方程精密地编码。本书将从这些最直观的例子出发，逐步引导读者理解代数曲面如何从低维度的概念自然延伸而来，并且展现出更为复杂和迷人的几何形态。我们将探讨二次曲面（球面、椭球面、抛物面、双曲面等）的分类与性质，理解它们的形状与方程系数之间的深刻关联。这不仅仅是记忆几个公式，而是理解它们如何反映了空间的几何特性。 二、 抽象的语言：多项式与零点集 代数曲面之所以被称为“代数”，是因为它们是通过代数方程来定义的。在本书中，我们将深入探讨这些方程的本质——多项式。多项式不仅仅是符号的组合，它们是代数运算的载体，是构建几何世界的基石。本书将带领读者理解在不同代数结构（如域、环）中，多项式的性质如何影响着与之相关的代数曲面。 我们关注的核心是多项式的零点集。一个或多个多项式的公共零点集，便构成了代数曲面。这些零点集具有一系列深刻的代数和几何性质。例如，一个不可约代数曲面对应于一个素理想，这便是代数几何中“代数”与“几何”紧密联系的体现。本书将循序渐进地介绍代数几何中的基本概念，如理想、商环、维数等，并展示它们如何自然地应用于代数曲面的研究。我们将学习如何用代数的方法去理解曲面的连通性、光滑性以及奇点。 奇点是代数曲面中最具挑战性也最迷人的部分。它们是方程“失效”的地方，是曲面“尖锐”或“自交”的点。理解奇点的存在、类型及其几何意义，是深入研究代数曲面的关键。本书将详细介绍奇点的分类，例如尖点、锥点、轨道奇点等，并探讨如何通过代数工具（如雅可比矩阵）来识别和分析它们。我们将学习光滑化（resolution of singularities）的思想，理解如何通过一些“手术”来消除奇点，从而得到一个更光滑、性质更好的代数曲面。这就像是在一个粗糙的雕塑上精雕细琢，使其展现出内在的完美。 三、 空间的韵律：代数簇的视角 代数曲面仅仅是代数几何世界中的一部分，它们是二维的代数簇。本书将带领读者走出三维空间，进入更抽象但更强大的代数簇理论的殿堂。代数簇是一般化的代数几何对象，它们可以用多项式方程组来定义，并且可以存在于任意维度的空间中。 通过代数簇的视角，我们可以更清晰地理解代数曲面的整体性质。例如，我们将探讨代数曲面的射影性，即它们如何在射影空间中得到自然嵌入，以及这种嵌入如何揭示出更多的几何信息。射影空间是代数几何中一个极其重要的概念，它使得一些在仿射空间中无法解决的问题（例如直线总能相交）变得容易处理。我们还会介绍各种特殊的代数曲面，例如平面代数曲线、光滑代数曲面、代数环面等，并探索它们在代数簇理论框架下的深刻联系。 本书也将涉及一些更高级的概念，但我们将以一种探索性的方式呈现，而非死记硬背。例如，我们将触及黎曼曲面的概念，虽然黎曼曲面通常是在复数域上讨论，但其背后的代数思想与代数曲面有着深刻的关联。我们将理解复数域在代数几何中的独特作用，它使得许多几何性质更加清晰，也为研究代数曲面提供了更丰富的工具。 四、 结构的奥秘：不变量与分类 数学的伟大之处在于其强大的分类能力。如同化学家通过元素的性质来分类物质，数学家也试图通过一系列不变量来对代数曲面进行分类。不变量是那些在某种变换下保持不变的量，它们是识别和区分不同代数曲面的关键“身份证”。 本书将介绍一些重要的代数不变量，例如亏格（genus）、贝蒂数（Betti numbers）、霍奇数（Hodge numbers）等。这些不变量从不同的角度捕捉了代数曲面的几何特征。例如，亏格可以被直观地理解为曲面上“洞”的数量，虽然在更高维度和更抽象的代数簇中，这个概念会有更深入的推广。我们将看到，这些代数不变量如何帮助我们区分不同的代数曲面，并且在某些情况下，能够实现对代数曲面的完全分类。 我们也会探讨一些关于代数曲面分类的经典结果，例如由意大利学派发展起来的关于光滑代数曲面的分类理论。这些理论不仅是数学的辉煌成就，也展现了代数与几何之间深刻的协同作用。我们将理解，通过对不变量的精确计算和深刻理解，我们可以将看似无穷无尽的代数曲面组织成有序的结构。 五、 数学的灵感：应用与展望 尽管本书主要关注代数曲面的纯粹数学理论，但我们也希望读者能够感受到其在其他领域的潜在联系与启发。代数几何，尤其是代数曲面的理论，在密码学、编码理论、计算几何、理论物理（如弦理论）等领域都展现出了重要的应用价值。 本书的目的并非教授具体的应用技巧，而是希望通过对代数曲面内在结构的探索，激发读者对数学更深层次的理解和欣赏。我们相信，对严谨的数学概念的掌握，将为读者未来在任何领域内的创新提供坚实的基础和独特的视角。 本书的读者对象 本书适合对数学有浓厚兴趣，尤其是对代数、几何和抽象结构有初步了解的读者。它也适合数学专业的本科生和研究生，以及希望深入了解代数几何核心思想的研究人员。我们并不要求读者具备非常深厚的专业背景，但对数学的严谨性、逻辑性和抽象性有一定的接受能力将有助于更好地理解本书的内容。 结语 《代数曲面》是一次关于数学之美的探索。我们希望通过本书，您不仅能学习到代数曲面的理论知识，更能感受到数学在抽象中蕴含的优雅，在复杂中展现的和谐。让我们一起踏上这场关于空间、方程与结构的迷人旅程。
作者简介
目录信息
Chapter I.Theory and Reduction of Singularities 1.Algebraic varieties and birational transformations 2.Singularities of plane algebraic curves 3.Singularities of space algebraic curves 4.Topological classification of singularities 5.Singularities of algebraic surfaces 6.The reduction of singularities of an algebraic surfaceChapter II.Linear Systems of Curves t.Definitions and general properties 2.On the conditions imposed by infinitely near base points 3.Complete linear systems 4.Addition and subtraction of linear systems 5.The virtual characters of an arbitrary linear system 6.Exceptional curves 7.Invariance of the virtual characters 8.Virtual characteristic series.Virtual curvesAppendix to Chapter II by JOSEPH LIPMANChapter III.Adjoint Systems and the Theory of Invariants 1.Complete linear systems of plane curves 2.Complete linear systems of surfaces in Sa 3.Subadjoint surfaces 4.Subadjoint systems of a given linear system 5.The distributive property of subadjunction 6.Adjoint systems 7.The residue theorem in its projective form 8.The canonical system 9.The pluricanonical systemsAppendix to Chapter III by DAVID MUMFORDChapter IV.The Arithmetic Genus and the Generalized Theorem of RIEMANN-ROCH 1.The arithmetic genus Pa 2.The theorem of RIEMANN-ROCH on algebraic surfaces 3.The deficiency of the characteristic series of a complete linear system 4.The elimination of exceptional curves and the characterization of ruled surfacesAppendix to Chapter IV by DAVID MUMFORDChapter V.Continuous Non-linear Systems 1.Definitions and general properties 2.Complete continuous systems and algebraic equivalence 3.The completeness of the characteristic series of a complete continuous system 4.The variety of PICARD 5.Equivalence criteria 6.The theory of the base and the number of PICARD 7.The division group and the invariant a of SEVERI 8.On the moduli of algebraic surfacesAppendix to Chapter V by DAVID MUMFORDChapter VI.Topological Properties of Algebraic Surfaces 1.Terminology and notations 2.An algebraic surface as a manifold M4 3.Algebraic cycles on F and their intersections 4.The representation of F upon a multiple plane 5.The deformation of a variable plane section of F 6.The vanishing cycles δi and the invariant cycles 7.The fundamental homologies for the i-cycles on F 8.The reduction of F to a cell 9.The three-dimensional cycles 10.The two-dimensional cycles 11.The group of torsion 12.Homologies between algebraic cycles and algebraic equivalence.The invariant 0 13.The topological theory of algebraic correspondences Appendix to Chapter VI by DAVID MUMFORDChapter VII.Simple and Double Integrals on an Algebraic Surface 1.Classification of integrals 2.Simple integrals of the second kind 3.On the number of independent simple integrals of the first and of the second kind attached to a surface of irregularity q.The fundamental theorem 4.The normal functions of POINCARIE 5.The existence theorem of LEFSCHETZ-PoINCARE 6.Reducible integrals.Theorem of POINCARE 7.Miscellaneous applications of the existence theorem 8.Double integrals of the first kind.Theorem of HODGE 9.Residues of double integrals and the reduction of the double integrals of the second kind 10.Normal double integrals and the determination of the number of independent double integrals of the second kindAppendix to Chapter VII by DAVID MUMFORDChapter VIII.Branch Curves of Multiple Planes and Continuous Systems of Plane Algebraic Curves 1.The problem of existence of algebraic functions of two variables 2.Properties of the fundamental group G 3.The irregularity of cyclic multiple planes 4.Complete continuous systems of plane curves with d nodes 5.Continuous systems of plane algebraic curves with nodes and cuspsAppendix 1 to Chapter VIII by SHREERAM SHANKAR ABHYANKARAppendix 2 to Chapter VIII by DAVID MUMFORDAppendix A.Series of Equivalence 1.Equivalence between sets of points 2.Series of equivalence 3.Invariant series of equivalence 4.Topological and transcendental properties of series of equivalence 5.(Added in 2nd edition, by D.MUMFORD)Appendix B.Correspondences between Algebraic Varieties 1.The fixed point formula of LEFSCHETZ 2.The transcendental equations and the rank of a correspondence 3.The case of two coincident varieties.Correspondences with valence 4.The principle of correspondence of ZEUTHEN-SEVERIBibliographySupplementary Bibliography for Second EditionIndex
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