Accuracy and Stability of Numberical Algorithms pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Higham, Nicholas J.

出品人:

页数:0

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出版时间:

价格:65

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isbn号码:9780898713558

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• 数值分析
• 数值算法
• 科学计算
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• 精度
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• 数学软件
• 算法分析
• 数值线性代数

好的，这是一份关于一本名为《Accuracy and Stability of Numerical Algorithms》之外的，内容翔实且详尽的图书简介，字数约为1500字： --- 《高维数据分析与拓扑学应用：从黎曼几何到机器学习的桥梁》 作者： [此处可留空或填写虚构作者名] 出版社： [此处可留空或填写虚构出版社名] 书籍简介 本书深入探讨了现代数据科学领域中一个至关重要的交叉点：如何利用高维拓扑学工具来理解和分析复杂、高维数据集的内在结构。在当今数据爆炸的时代，传统线性方法和基于欧几里得度量的分析工具在处理非线性、流形结构的数据时显得力不从心。《高维数据分析与拓扑学应用》旨在提供一套全新的、基于几何和拓扑视角的分析框架，帮助研究人员和从业者揭示隐藏在海量数据背后的“形状”与“连接性”。 核心主题与结构 本书共分为六大部分，层层递进，从基础理论到前沿应用，构建了一个完整的知识体系。 第一部分：高维几何与拓扑学基础 本部分为后续深入分析奠定了坚实的数学基础。我们将首先回顾黎曼几何的基本概念，包括流形、切空间、测地线和曲率。重点阐述如何将这些概念从经典的三维空间推广到任意维度的抽象流形上。随后，引入代数拓扑学的基本工具，特别是同调论和持续同调（Persistent Homology）。我们详细介绍了链复形、边界算子以及如何利用这些工具来捕捉数据的“洞”和“连通性”。这一部分的目标是使读者建立起对数据内在拓扑结构的直观理解，认识到数据点并非随机分布，而是倾向于嵌入在低维流形中。 第二部分：持续同调理论与计算实践 持续同调是本书的理论核心之一。我们不仅介绍了其数学定义，更强调了其在数据分析中的实际意义。详细解释了过滤（Filtration）的概念，以及如何构建数据点的过滤邻域（如 $epsilon$-邻域、Rips复形或Čech复形）。本书详细推导了持续同调群的计算方法，并引入了重要的“持续条形图”（Persistence Barcode）作为数据拓扑特征的直观表示。我们探讨了如何根据条形图的长度来判断拓扑特征的显著性，以及如何处理高维数据中的计算挑战，如维数灾难。 第三部分：拓扑数据分析（TDA）的算法设计与性能评估 本部分转向算法层面，探讨如何高效地实现持续同调计算。我们将对比不同的复形构建方法（如Vietoris-Rips vs. Alpha Complex），并分析其在计算复杂度和几何信息保持度上的权衡。此外，本书深入探讨了拓扑特征的后处理方法，包括如何将拓扑特征转化为可用于机器学习模型的向量表示（如Persistence Images或Persistence Landscapes）。我们还讨论了评估拓扑特征稳定性的技术，以及如何通过统计推断来确定哪些拓扑特征是数据生成过程的真正反映，而非噪声所致。 第四部分：黎曼几何在数据嵌入中的应用 在数据分析中，往往需要将高维数据映射到更低维、更具结构性的空间中进行可视化或处理。本部分聚焦于黎曼几何视角下的数据嵌入。我们探讨了测地线距离（Geodesic Distance）在流形学习中的重要性，并将其与传统的欧几里得距离进行对比。重点介绍了如Isomap、LLE（局部线性嵌入）等经典算法背后的几何原理，并扩展到基于张量场和平移不变性的现代嵌入技术。通过实例展示，如何利用曲率信息来量化数据集中特定区域的“扭曲”程度，从而指导特征工程。 第五部分：拓扑学方法在特定领域的数据建模 本书的价值在于其广泛的应用潜力。本部分通过详实的案例研究，展示了拓扑数据分析如何革新多个领域的研究范式： 1. 生物信息学与医学影像： 如何利用持续同调分析基因表达数据、蛋白质折叠构象，或在MRI/CT扫描中识别肿瘤或病变区域的非线性边界结构。 2. 金融时间序列分析： 将高频交易数据视为多变量时间序列，利用拓扑方法捕捉市场状态的突变点和长期依赖关系，超越了传统的自回归模型。 3. 复杂网络分析： 深入研究社交网络或信息传播网络中的社区结构和桥接点，使用拓扑特征来区分不同类型的网络结构（如小世界网络与无标度网络）。 第六部分：前沿展望与挑战 在最后一部分，我们展望了拓扑数据分析和高维几何方法的未来发展方向。这包括： 动态拓扑： 如何处理随时间演化的数据集，即“时间序列的持续同调”。 深度学习与拓扑的融合： 探讨如何设计能够内省拓扑特征的神经网络结构（如Topological Neural Networks），或如何利用拓扑结构指导生成模型（如GANs）的学习过程。 可解释性问题： 讨论如何建立连接拓扑特征与模型预测结果的理论桥梁，增强TDA的可解释性。 本书特色 本书的最大特色在于其深度融合了抽象的数学理论与尖端的计算实践。我们不仅提供了清晰的数学推导，还辅以大量的算法伪代码和基于Python/Julia的开源库（如Gudhi, TopoPy）示例，确保读者能够将理论知识迅速应用于实际高维数据集的分析中。目标读者包括但不限于：应用数学家、计算机科学家、数据分析师、物理学家以及对非线性复杂系统建模感兴趣的研究人员。通过系统学习本书内容，读者将能够掌握一种强大的、以几何和拓扑为核心的数据洞察工具箱。

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