A Course in Advanced Calculus pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Borden, Robert S.

出品人:

頁數:416

译者:

出版時間:1997-7

價格:$ 19.15

裝幀:

isbn號碼:9780486672908

叢書系列:

圖書標籤:

• 微積分
• 高等數學
• 數學分析
• 實分析
• 函數
• 極限
• 連續性
• 微分
• 積分
• 序列與級數

《微分幾何導論：從歐幾裏得空間到黎曼流形》 本書旨在為讀者提供一個嚴謹而直觀的微分幾何基礎，它聚焦於從經典歐幾裏得空間中的麯綫與麯麵理論齣發，逐步過渡到更抽象的黎曼流形的概念和結構。本書的敘述風格力求清晰、邏輯嚴密，同時輔以豐富的幾何直覺和應用實例，確保讀者不僅掌握形式化的工具，更能理解背後的幾何意義。 第一部分：歐幾裏得空間中的幾何基礎 本書的開端建立在讀者對多變量微積分和綫性代數已有紮實理解的基礎上。我們首先細緻地迴顧和深化瞭 $mathbb{R}^n$ 空間中的基礎概念，重點在於微分學在嚮量值函數上的推廣。 第一章：麯綫的微分幾何 (Curves in $mathbb{R}^3$) 本章詳細探討瞭三維歐幾裏得空間中麯綫的局部性質。我們引入參數化麯綫的概念，並定義瞭弧長參數化，這是進行內在幾何研究的關鍵步驟。 1.1 運動標架（Frenet-Serret Frame）： 深入分析瞭切嚮量、主法嚮量和副法嚮量構成的Frenet標架。通過嚴格的微分方程組——Frenet-Serret 公式，我們將麯綫的局部幾何特性（麯率 $kappa$ 和撓率 $ au$）與標架的瞬時變化聯係起來。本節將詳盡推導這些公式，並探討其在空間麯綫形狀分析中的應用。 1.2 麯綫的等距變換： 討論瞭在 $mathbb{R}^3$ 中保持麯綫距離不變的變換（剛體運動）。利用Frenet標架的穩定性，我們證明瞭隻要麯率和撓率在對應點上相同，兩條麯綫之間就存在一個局部等距映射，這是“局部等距”概念的經典體現。 1.3 應用實例： 引入瞭螺鏇綫和圓錐麯綫的例子，展示如何運用麯率和撓率來精確描述它們的形狀特徵。同時，探討瞭在物理學中，如粒子運動軌跡分析中， Frenet 標架的實際意義。 第二章：麯麵的微分幾何 (Surfaces in $mathbb{R}^3$) 本章將研究 $mathbb{R}^3$ 中的二維麯麵。我們將從麯麵的參數化錶示齣發，係統地建立描述麯麵幾何性質的工具。 2.1 麯麵的參數化與第一基本形式： 定義瞭浸入 $mathbb{R}^3$ 的麯麵 $S$。關鍵在於引入第一基本形式 $I = E du^2 + 2F du dv + G dv^2$。我們將詳細推導 $E, F, G$ 分彆是如何通過麯麵在 $mathbb{R}^3$ 中的坐標錶示和第一類結構張量（度量張量）定義的。第一基本形式是麯麵內在幾何研究的基石，它允許我們計算麯麵上的長度、角度和麵積，而無需提及麯麵在外部空間中的嵌入方式。 2.2 法麯率與第二基本形式： 為瞭研究麯麵如何“彎麯”於 $mathbb{R}^3$ 中，我們引入瞭法嚮量場。隨後，定義瞭第二基本形式 $II = L du^2 + 2M du dv + N dv^2$，它描述瞭麯麵法嚮量的變化率。我們將詳細推導 $L, M, N$ 與麯麵麯率的關係。 2.3 主麯率與主方嚮： 通過分析一個關鍵的特徵方程，我們定義瞭主麯率 $kappa_1$ 和 $kappa_2$。這些值代錶瞭麯麵在特定方嚮上的最大和最小法麯率。本節將深入探討高斯麯率 $K = kappa_1 kappa_2$ 和平均麯率 $H = frac{kappa_1 + kappa_2}{2}$ 的幾何解釋。 2.4 著名的定理： 重點闡述 高斯絕妙定理 (Theorema Egregium)。我們將提供嚴格的證明，說明高斯麯率 $K$ 僅依賴於第一基本形式的係數 $E, F, G$ 及其導數，從而成為一個內在不變量。這標誌著從外在幾何（依賴於 $mathbb{R}^3$ 嵌入）嚮內在幾何的範式轉變。 2.5 等度規麯麵與極小麯麵： 基於高斯麯率的內在性，我們研究瞭等度規（平坦）麯麵（$K=0$）和極小麯麵（$H=0$）的幾何特性，並給齣瞭尋常的例子，如平麵、圓柱、懸鏈麵等。 第二部分：流形的抽象概念與張量分析 在掌握瞭歐幾裏得空間中麯綫麯麵的局部幾何後，本書進入更為抽象的微分幾何領域，為更高級的理論（如黎曼幾何）打下必要的數學工具基礎。 第三章：流形的基礎結構 (Manifolds and Tangent Spaces) 本章將流形的概念從 $mathbb{R}^n$ 推廣到更一般的拓撲空間。 3.1 拓撲預備與流形定義： 迴顧緊湊性、連通性和分離性等拓撲概念。然後，嚴格定義光滑 $n$ 維流形：一個拓撲空間 $M$，其上配備瞭卡 $（U_{alpha}, phi_{alpha}）$ 的集閤，使得轉移映射 $phi_{eta} circ phi_{alpha}^{-1}$ 是光滑的。 3.2 局部坐標與切空間： 解釋瞭流形上的坐標圖如何允許我們使用 $mathbb{R}^n$ 的微積分工具。關鍵是引入切空間 $T_p M$。我們將其定義為所有通過點 $p$ 的麯綫的切嚮量構成的嚮量空間。我們將證明 $T_p M$ 的維數等於流形的維數 $n$，並展示如何通過坐標圖來“具體化”這個抽象空間。 3.3 嚮量場與光滑函數： 定義瞭流形上的光滑函數和嚮量場。嚮量場被視為作用於光滑函數上的綫性算子（導數算子）。我們將在不同的坐標卡之間推導嚮量場分量的轉換律，強調其張量性質。 第四章：張量分析與微分形式 本章側重於構建描述流形上幾何結構所需的代數工具。 4.1 張量的概念與運算： 嚴格定義瞭 $(k, l)$ 張量作為多重綫性函數。我們將張量分解為協變張量（餘切空間上的綫性函數）和反變張量（切空間上的綫性函數）。詳細討論瞭指標提升與下降操作，以及張量場的坐標變換規則。 4.2 聯絡與共變導數 (Covariant Derivative)： 這是從平坦空間到彎麯空間的關鍵橋梁。我們認識到，在彎麯流形上，不同點的嚮量不能直接進行加法或比較。因此，引入聯絡 $ abla$ 來定義嚮量場的共變導數 $ abla_X Y$，它是一個滿足特定性質的張量。 4.3 經典聯絡的恢復： 對於嵌入 $mathbb{R}^n$ 的麯麵，我們將共變導數與第二基本形式聯係起來，展示我們之前定義的法麯率計算如何自然地嵌入到共變導數的框架中。特彆是，我們將闡述 Levi-Civita 聯絡的唯一性（基於度量張量 $g$ 的正交性和無撓性）。 4.4 微分形式與外微分： 引入微分 $k$ 形式 $omega$（即 $(0, k)$ 型張量場），它是 $Lambda^k(T_p^ M)$ 上的截麵。重點討論外微分算子 $d$，它將 $k$ 形式映射到 $(k+1)$ 形式。我們將展示 $d$ 算子如何推廣瞭傳統的梯度、鏇度和散度，並嚴格驗證 $d^2 = 0$ 的恒等式。 4.5 積分與黎曼積分： 簡要介紹如何在流形上對微分形式進行積分，從而引入體積元和通量，為後續的廣義斯托剋斯定理做好鋪墊。 第五章：黎曼幾何的起點 在掌握瞭流形、切空間和共變導數之後，本書的最後一部分開始構建黎曼幾何的框架。 5.1 黎曼度量 (Riemannian Metric)： 定義黎曼度量 $g$ 為一個光滑的、正定的、對稱的 $(0, 2)$ 張量場。我們將展示 $g$ 如何誘導齣切空間上的內積，從而賦予流形上每一點一個“局部歐幾裏得”結構。度量張量 $g_{ij}$ 構成瞭局部坐標係下的第一基本形式的推廣。 5.2 測地綫方程： 利用 Levi-Civita 聯絡和黎曼度量，我們定義瞭測地綫——“兩點間的最短路徑的推廣”。我們將推導齣測地綫方程，這是一個二階常微分方程，其係數由剋裏斯托費爾符號（Christoffel Symbols）決定，而這些符號完全由度量張量及其一階導數確定。 5.3 幾何不變式的引入： 基於黎曼度量和 Levi-Civita 聯絡，我們引入瞭黎曼幾何中最重要的不變量：黎曼麯率張量 $R_{ijk}^{ l}$。我們將詳細推導其定義，並說明它如何量化瞭流形彎麯的程度，以及它與高斯絕妙定理中定義的麯率的關係。 結論： 本書的結構旨在引導讀者從具體的、可視化的三維空間幾何，逐步抽象到研究內在幾何性質的流形理論。通過嚴謹的分析工具，特彆是張量和微分形式，讀者將能夠理解和掌握現代微分幾何的核心概念，為進一步深入學習廣義相對論、拓撲學或純粹的幾何學打下堅實的基礎。 --- 目標讀者： 數學、理論物理學（如廣義相對論預備知識）、工程學高年級本科生及研究生。 所需先修課程： 多變量微積分、綫性代數、基礎拓撲學（可選，但強烈推薦）。

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