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作者:Not Available (NA)

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页数:320

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价格:146.00元

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isbn号码:9780395985359

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• 数学
• 小学数学
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• 教育

好的，以下是一本不含《Houghton Mifflin Math Steps》内容的图书简介，力求详细且自然流畅，以一本面向中学生的高阶数学探究读物为蓝本进行创作： --- 远征：解析几何与拓扑的交汇点 作者：【虚构作者名，例如：艾略特·文森特 & 莉娜·陈】 出版社：【虚构出版社名，例如：蓝珀科学文库】 --- 内容简介 《远征：解析几何与拓扑的交汇点》并非一本传统的教科书，而是一部为那些渴望超越标准代数与微积分框架，深入探索数学结构本质的求知者准备的“航海图”。本书旨在搭建一座坚实的桥梁，连接二十世纪数学的两大核心支柱——精确严谨的微分几何（解析几何的现代延伸）与直观灵活的基础拓扑学。 我们的旅程始于对“空间”的重新定义。传统的欧几里得几何在三维空间中表现出色，但当我们将视角扩展到高维、非线性和弯曲空间时，就需要更强大的工具。《远征》的第一部分，“重塑维度：从向量场到流形概念的萌芽”，将带领读者从经典场的理论出发，逐步引入张量分析的基础概念。我们不会止步于坐标变换的机械计算，而是深入探讨坐标无关的物理描述——如何用外微分的形式语言来描述保守场和环流，为日后理解黎曼几何打下坚实的基础。 第一篇章：解析的深化——弯曲空间中的度量与结构 本篇的重点在于将解析几何的精确性提升到现代数学的层次。我们细致地剖析了微分形式（Differential Forms）的威力。从法拉第的电磁场描述到热力学的熵流，读者将看到如何用楔积（Wedge Product）和德拉姆上同调（De Rham Cohomology）的雏形来统一看似无关的物理定律。 书中用大量的几何直觉辅助严谨的代数推导，阐述了度量张量（Metric Tensor）的角色——它如何赋予空间“长度”和“角度”的概念，即使是在一个完全弯曲的菲德曼空间或一个球面几何中。我们详细讲解了测地线方程（Geodesics Equation）的推导，并用一个专门的章节探讨了经典力学中的拉格朗日力学如何天然地映射到这种基于微分结构的框架中。这里的解析，是关于“变化率”和“结构保持”的深刻解析，而非单纯的求导计算。 第二篇章：拓扑的直觉——不变性与连续性的魔力 如果说解析几何关注的是“度量”和“局部结构”，那么拓扑学关注的就是“不变性”和“整体形态”。《远征》的第二篇章，“形态的哲学：从同胚到基本群的初探”，旨在培养读者对拓扑直觉的敏感度。 我们从最直观的概念入手：连续映射与紧致性（Compactness）。通过对“甜甜圈”和“咖啡杯”的经典拓扑等价性讨论，我们确立了拓扑空间的定义。随后，本书转向了更具区分度的拓扑不变量。 基本群（Fundamental Group）是本篇的核心。我们详细解释了如何通过“闭合回路”的概念来区分不同拓扑空间——例如，为什么在平面上可以收缩一根绳子，但在一个圆环（或甜甜圈表面）上，缠绕圆环的绳子就不能轻易缩成一个点。此部分使用了大量的图示和步进式推理，旨在让读者真正理解“拓扑等价”（Homeomorphism）的含义：一种“不撕裂、不粘合”的形变。 第三篇章：交汇点——几何化与结构的统一 本书最富挑战性，也最具启发性的部分在于第三篇章，“几何的拓扑化：曲率与连接的共鸣”。在这里，解析的精确性被用来量化拓扑的不变性。 我们探讨了高斯曲率（Gaussian Curvature）的概念如何通过高斯-邦内特定理（Gauss-Bonnet Theorem）与一个封闭曲面的拓扑不变量——欧拉示性数（Euler Characteristic）紧密联系起来。这是一个令人震撼的洞见：一个纯粹基于局部微积分的量，其积分结果却是一个整体的、与拓扑形态固定的数字。 此外，本书还触及了黎曼流形的入门概念，展示了如何将向量场、微分形式和度量结构“粘合”在一个抽象的拓扑空间之上，从而构造出我们研究广义相对论和现代几何所需的精确模型。我们探讨了“连接”（Connection）如何定义物体在弯曲空间中“平行移动”的方式，以及这如何导致了曲率张量的产生。 目标读者与本书特点 《远征》假定读者已经熟练掌握了单变量和多变量微积分（包括基础的线性代数和微分方程），并具备扎实的代数思维基础。 本书的特点在于： 1. 强调几何直觉： 复杂的代数运算总是伴随着清晰的几何图像和物理类比，避免了纯粹形式主义的枯燥。 2. 侧重概念而非计算： 虽然涉及计算，但重点在于理解计算背后的数学原理和结构意义。 3. 内容前沿性： 本书在介绍基础知识的同时，自然地导向了微分几何、广义相对论、乃至数学物理中需要用到的核心概念。 《远征》是献给那些不满足于“如何算”而渴望探究“为何如此”的下一代数学家、物理学家和工程师的。它邀请读者踏上一次深入结构本质的旅程，去体验解析的严谨与拓扑的自由如何在数学的最高殿堂中交相辉映。准备好迎接一场智力上的远征吧。 --- 页数： 680页 开本： 16开精装 ISBN： 【虚构ISBN】 建议零售价： ¥188.00

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