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出版者:

作者:Blitzer, Robert

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:97.29

装帧:

isbn号码:9780131918450

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

探索高等数学的基石：一个关于微积分前沿的深度导航 本书旨在为读者搭建一座坚实的桥梁，使之能够自信、深入地迈入微积分（Calculus）的广阔天地。我们聚焦于那些被视为微积分入门的先决条件，但其本身就构成了一个完整且引人入胜的数学分支的知识体系。这本书不是对微积分概念的直接阐述，而是对那些构成其理论骨架的代数、几何、函数和解析基础的全面梳理与精炼。 第一部分：函数的深度解析与构造 本卷的开篇将带领读者重温并深入理解“函数”这一数学世界的核心构件。我们不再满足于简单地识别输入与输出的关系，而是致力于解构函数的内在结构。 1.1 函数的本质与操作： 我们将详细探讨函数的定义域、值域的精确确定方法，特别是如何处理涉及根式、分式和超越函数时的限制条件。函数运算，如加法、减法、乘法、除法以及复合运算，将被提升到更精细的层次。特别强调复合函数的拆解与构造——一个在微积分中解决复杂问题的关键技巧。我们将通过大量实例，展示如何通过层层嵌套来模拟现实世界中复杂的动态过程。 1.2 经典函数的行为剖析： 对多项式函数（Polynomial Functions）的理解将超越因式分解的层面。我们将深入研究它们的图像特征——端点行为、局部极值点（尽管不使用导数术语）的趋势判断，以及如何通过图示法预测零点的数量和性质。有理函数（Rational Functions）的部分，我们将详细阐述垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线的严谨求法，这是理解函数在无穷远处行为的基础。 1.3 逆转与对称性： 函数的逆运算（Inverse Functions）是微积分中处理反向变化率的重要工具。本书将严格论证一个函数何时存在逆函数（即单射性检验），并提供系统性的代数步骤来求出逆函数。同时，对函数图像的对称性（关于x轴、y轴和原点）的探讨，将为后续图形变换和周期性现象的理解打下基础。 1.4 指数与对数： 这是连接离散增长与连续变化的关键桥梁。我们将细致地探究自然底数 $e$ 的定义——不仅仅是极限意义上的定义，更重要的是它作为“自然增长率”的内涵。对数函数（Logarithmic Functions）将作为指数函数的逆运算被深入研究，重点在于换底公式的实际应用，以及在不同尺度（如pH值、分贝）中的实际建模能力。 第二部分：几何与三角学的解析重构 微积分本质上是动态的几何学。因此，对传统几何和三角函数进行解析化的处理至关重要。 2.1 解析几何的回顾与深化： 抛物线、椭圆和双曲线，即圆锥曲线（Conic Sections），将以其标准方程的形式被重新审视。重点在于“配方”技术，以识别曲线的中心、焦点和离心率。这些几何形状在物理学和工程学中作为路径描述的频率极高，理解其代数表示是至关重要的。 2.2 角度与周期的重新定义： 三角函数（Trigonometric Functions）的讨论将完全脱离直角三角形的限制，转而采用弧度制（Radian Measure）作为基本单位。我们将系统地研究圆周运动中角度的定义，以及正弦、余弦、正切函数的周期性、奇偶性及其图像的精确绘制。 2.3 强大的三角恒等式： 本节将花费大量篇幅处理三角恒等式。这不仅仅是记忆工作，而是理解如何通过这些恒等式（如和差角公式、二倍角公式、半角公式）来简化复杂的三角表达式，这在后续的积分计算中是不可或缺的“代数工具箱”。特别是对毕达哥拉斯恒等式的多角度应用，将得到充分强调。 第三部分：序列、级数与极限的预备思维 虽然本书不直接讲解极限的 $epsilon-delta$ 定义，但我们必须为这种“趋近”的概念做好思维准备。 3.1 序列的动态： 序列（Sequences）被视为函数在自然数集上的特例。我们将探究算术序列和几何序列的通项公式和求和公式。重点是理解当项数 $n$ 趋向无穷大时，序列项的最终归宿——即收敛或发散的直观概念。 3.2 级数的累积效应： 从序列自然延伸到级数（Series）——项的和。我们将分析有限级数的求和方法，并着重于无穷几何级数的收敛条件和求和公式。理解一个无限的累加过程如何能得到一个有限的、确定的值，是理解积分概念的前奏。 3.3 分式与有理表达式的精炼： 最后，本书将回归代数基础，确保读者能熟练处理复杂的分式。我们将系统地介绍多项式长除法和部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）的技术。虽然这在代数中是独立的技巧，但在微积分后续章节中，它是分解复杂有理函数、使其易于求和或积分的关键步骤。 本书的风格是严谨而注重应用的，它要求读者不仅要“会算”，更要“理解”背后的几何意义和逻辑必然性。通过对这些基础概念的扎实掌握，读者将发现自己已经具备了迎接微积分挑战的全部必需的思维框架和技术储备。

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