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出版者:

作者:Barnett, Raymond A./ Ziegler, Michael R./ Byleen, Karl E.

出品人:

页数:1044

译者:

出版时间:2007-2

价格:$ 205.66

装帧:

isbn号码:9780073312644

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Trigonometry
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
• Graphs
• Algebra

《微积分精要：理论与应用》 内容简介 本书旨在为读者提供一套全面且深入的微积分学习体验，涵盖了从基础概念到高等应用的各个层面。本书严格遵循严谨的数学逻辑，同时注重理论与实际问题的结合，力求使学习者不仅掌握计算技巧，更能理解微积分背后的深刻思想。 本书内容结构清晰，循序渐进，共分为六个主要部分，共二十章，确保了学习路径的连贯性和完整性。 --- 第一部分：函数、极限与连续性（基础奠基） 第一章：预备知识与函数回顾 本章首先对读者已有的代数、三角函数知识进行系统回顾和巩固，特别强调函数在数学建模中的核心作用。详细讨论了函数的分类（多项式、有理函数、三角函数、指数函数、对数函数），函数的变换、合成与反函数。重点介绍了三角函数的周期性、奇偶性及其在平面几何和物理模型中的应用。本章为后续极限与导数的学习打下坚实的代数基础。 第二章：极限的直观理解与严格定义 极限是微积分的基石。本章从直观的图像和数列的趋势入手，引导读者理解“无限接近”的概念。随后，我们将引入$varepsilon-delta$定义，这是理解和证明极限性质的关键工具。详细分析了极限的代数运算规则、单侧极限、以及无穷大极限。特别关注了“极限不存在”的情况及其几何意义。 第三章：连续性 本章探讨函数在某一点和某区间上的连续性。通过定义和性质的讨论，引入了介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT），展示了连续函数在区间上的重要保证作用。同时，分析了不连续点的分类（可去、跳跃、无穷不连续），帮助读者区分不同类型的函数行为。 --- 第二部分：导数——瞬时变化率（核心概念） 第四章：导数的概念与几何意义 本章定义了导数作为函数在某点切线斜率的几何意义，并引入了平均变化率和瞬时变化率的概念。通过极限的形式精确定义了导数，并推导了基本函数的导数公式。 第五章：导数的运算法则 详细介绍并证明了导数的加减法、乘法、除法法则。本章的重点在于链式法则（The Chain Rule），这是处理复合函数求导的“万能钥匙”。通过大量实例，展示链式法则在多层复合函数中的应用。 第六章：隐函数求导与相关变化率 讨论了隐函数（变量之间没有明确分离的函数）的求导方法，这在物理学和工程学中至关重要。随后，引入相关变化率（Related Rates）问题，引导学生建立物理量之间的关系式，并通过时间（或某一变量）的导数来求解未知变化率，这是微积分应用的最早体现。 第七章：高阶导数与导数的应用（物理学视角） 本章关注二阶及以上导数的计算及其物理意义——加速度、曲率等。讨论了函数图像的凹凸性（Concavity）和拐点的确定，这与二阶导数紧密相关。 --- 第三部分：导数的应用——优化与形状分析 第八章：函数的极值与最优化问题 本章是导数应用的集中体现。通过费马定理（Fermat’s Theorem）引出局部极值点，并利用一阶和二阶导数检验法来严格确定函数的最大值和最小值。大量篇幅用于解决实际生活中的优化问题，如最大利润、最小成本、最大面积等。 第九章：洛必达法则（L’Hôpital’s Rule） 本章专注于处理不定型的极限问题（如 $0/0$ 和 $infty/infty$）。通过导数知识，系统性地推导并应用洛必达法则，极大地扩展了我们在第二部分对极限的分析能力。 第十章：函数图像的描绘（草图绘制） 整合前述所有关于导数的知识（增减区间、极值、凹凸性、渐近线），指导读者如何精确、系统地描绘任何给定函数的完整图像，实现对函数行为的全面可视化。 --- 第四部分：不定积分与积分学基础 第十一章：反导数与不定积分 本章定义了反导数（或称原函数）的概念，并系统地列举了基本函数的反导数公式。详细介绍了不定积分的性质和积分的常数。 第十二章：积分技巧入门 重点介绍两种最基础且最重要的积分技巧：变量替换法（Substitution Rule），这是对链式法则的逆向应用，以及分部积分法（Integration by Parts），这是对乘积法则的逆向应用。 第十三章：特殊函数的积分 专门处理三角函数、三角代换（用于涉及 $sqrt{a^2-x^2}$ 等形式的积分）、以及对数函数和指数函数的积分。 第十四章：有理函数的积分——部分分式分解 深入探讨了有理函数积分的通用方法——部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）。详细讲解了不同类型的分母因式（线性因子、重根、不可约二次因子）对应的分解步骤。 --- 第五部分：定积分及其应用 第十五章：定积分的定义与黎曼和 本章从面积问题的几何直观出发，严谨地引入定积分的概念，通过黎曼和（Riemann Sums）的极限来定义定积分。讨论了定积分的性质，并引入了上和与下和的概念。 第十六章：微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC） 这是微积分理论体系的核心。本章分为两部分详细阐述FTC：第一部分连接了微分与积分，第二部分提供了计算定积分的实用工具。详细阐述了如何利用反导数高效地计算定积分。 第十七章：定积分的应用——面积、体积与平均值 本章展示定积分在求解几何问题中的强大威力。包括计算平面区域的面积（包括两个曲线之间的面积）、旋转体的体积（圆盘法、圆环法、薄壳法），以及计算函数在区间上的平均值。 --- 第六部分：微分方程与超越函数进阶 第十八章：指数、对数函数的高级处理 虽然基础内容已涉及，本章深入探讨自然指数函数 $e^x$ 和自然对数函数 $ln(x)$ 的更深层次性质，包括其泰勒级数展开的初步概念，以及它们在求解简单微分方程中的应用。 第十九章：初等微分方程 引入可分离变量的微分方程模型，展示如何利用不定积分技术求解一阶常微分方程。这为学生在物理和经济学中建立动态模型提供了基础工具。 第二十章：超函数与反常积分（Improper Integrals） 讨论积分区间是无限的（如 $[a, infty)$）或被积函数在区间内有无穷不连续点的情况。通过极限来定义反常积分，并判断其收敛性或发散性，是积分理论的延伸和拓展。 --- 本书特点： 1. 概念优先，计算为辅： 每一个计算技巧的引入都伴随着对其几何或物理意义的深刻解释。 2. 丰富的图示材料： 超过500幅精心绘制的图形，辅助读者理解极限、导数、积分的动态过程。 3. 应用导向的习题设计： 习题难度梯度合理，包含大量的建模应用题，涉及物理学、经济学、生物学等领域，培养读者利用数学工具解决实际问题的能力。 4. 严谨的证明体系： 所有重要定理均提供详细的证明思路或完整证明，适合希望深入理解理论体系的读者。 本书适合作为大学理工科、经济学、计算机科学专业学生微积分课程的第一本教材，或供自学者打下坚实高等数学基础使用。

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