Singular Integrals and Related Topics pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Yan, Dunyan

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:

价格:$ 91.53

装帧:

isbn号码:9789812706232

丛书系列:

图书标签:

Singular Integrals
Harmonic Analysis
Real Analysis
Complex Analysis
Functional Analysis
Operator Theory
Partial Differential Equations
Mathematical Physics
Potential Theory
Boundary Value Problems

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具体描述

This book introduces some important progress in the theory of Calderon-Zygmund singular integrals, oscillatory singular integrals, and Littlewood-Paley theory over the last decade. It includes some important research results by the authors and their cooperators, such as singular integrals with rough kernels on Block spaces and Hardy spaces, the criterion on boundedness of oscillatory singular integrals, and boundedness of the rough Marcinkiewicz integrals. These results have frequently been cited in many published papers.

经典数学著作：探索实分析的深层结构本书深入探讨了现代数学分析领域中一系列至关重要且具有深远影响的主题，旨在为研究人员和高阶学生提供一个坚实而全面的理论基础。全书结构严谨，内容涵盖了从经典调和分析到现代测度论的多个核心分支，尤其侧重于傅里叶分析在处理非光滑函数时的局限性以及随之而来的泛函方法的发展。第一部分：测度论与泛函分析的基石本书的开篇部分，首先为后续的深入讨论奠定了必要的分析基础。我们详尽地回顾并扩展了勒贝格测度理论，这不仅仅是作为积分理论的工具，更是理解函数空间结构的关键。在此基础上，我们构建了标准的$L^p$空间，并详细分析了这些空间在不同拓扑下的性质，包括它们作为巴拿赫空间的完备性。一个关键章节致力于泛函分析的初步。我们引入了拓扑向量空间的概念，这对于理解分布（广义函数）理论至关重要。我们深入探讨了弱收敛和强收敛的区别，并强调了利用对偶空间来研究线性算子性质的重要性。特别是，Hahn-Banach定理和Baire范畴定理的详细证明及其在分析中的应用，为后续处理更抽象的积分算子提供了强大的理论框架。第二部分：傅里叶变换与卷积的理论扩展本书的核心部分聚焦于傅里叶分析在经典框架下的扩展与深化。我们首先回顾了周期函数的傅里叶级数和非周期函数的傅里叶变换，重点分析了这些变换如何将微分方程问题转化为代数问题。然而，我们立即指出了传统傅里叶分析在处理狄拉克函数或具有跳跃不连续性的函数时的局限性。为了克服这些困难，本书引入了Schwartz分布理论。我们精确地定义了分布空间$mathcal{D}'(mathbb{R}^n)$，并阐释了如何通过拓扑极限的方式来定义分布的导数和卷积。这个理论的建立使得对偏微分方程的解，特别是那些系数具有不规则性的方程，进行系统性的研究成为可能。我们详细讨论了Paley-Wiener定理，它揭示了函数在傅里叶域的衰减速度与其在原函数域的光滑性之间的深刻联系。第三部分：核心算子理论：卷积与最大函数本部分的重点转向了在调和分析中起决定性作用的一类算子：卷积算子。我们分析了卷积的性质，特别是它在平滑化过程中的作用。随后，本书进入了本书的理论高潮——对一类具有强大正则化能力的算子进行深入研究。我们详尽地分析了傅里叶乘子（Fourier Multipliers）的理论。基于Hörmander乘子准则，我们精确地确定了哪些函数可以通过傅里叶变换后对傅里叶系数进行乘法运算，从而得到一个有界算子。这直接引导我们进入了对极大值函数的探讨。 Hardy-Littlewood极大值算子是本领域的一个核心工具，它能够衡量一个函数在局部区域内的“平均”行为。我们提供了该算子的详细估计，特别是其在$L^p$空间上的有界性证明。这些估计对于建立更复杂的算子（如积分算子）的有界性是不可或缺的。第四部分：宏观理论：振荡积分与奇异积分算子的基础在奠定了坚实的分析和卷积基础后，本书开始处理更具挑战性的问题，这些问题通常源于椭圆型偏微分方程的解的构造。我们引入了振荡积分（Oscillatory Integrals）的概念，这类积分的被积函数通常包含一个高频振荡的相位函数。这类积分的困难在于，传统的黎曼-勒贝格引理失效，积分值可能不为零，但其估计需要精细的相干性分析。我们考察了Van der Corput引理及其在估计这类积分幅度中的应用。最后，本书的最后几章聚焦于奇异积分算子（Singular Integral Operators）的理论。我们明确定义了Calderón-Zygmund 算子的框架，即那些在 $L^1$ 上不一定有界，但在 $L^2$ 上有界，并且满足特定的核估计条件的算子。我们展示了如何通过T(b)定理和Calderón-Zygmund 分解来证明这些算子在 $L^p$ 空间上的有界性，这是现代调和分析中最强大的工具之一。对这些算子的研究，为理解椭圆方程的边界值问题，如泊松核的积分表示，提供了必要的分析工具。本书的叙述风格旨在清晰且具有几何直观性，同时保持数学推导的严格性，力求让读者不仅掌握定理的结论，更能理解其背后的深刻分析思想。