Nonlinear Waves and Solitons on Contours and Closed Surfaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Ludu, Andrei

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页数:0

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价格:119

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isbn号码:9783540728726

丛书系列:

图书标签:

• Nonlinear waves
• Solitons
• Contour dynamics
• Surface waves
• Geometric optics
• Integrable systems
• Mathematical physics
• Applied mathematics
• Fluid dynamics
• Plasma physics

线性与非线性动力学在复杂几何上的应用：理论与实践 图书名称： 线性与非线性动力学在复杂几何上的应用：理论与实践 (Linear and Nonlinear Dynamics on Complex Geometries: Theory and Practice) 图书简介： 本书深入探讨了在非欧几里得、弯曲、以及拓扑结构复杂的几何背景下，线性与非线性动力学系统的数学建模、理论分析与数值模拟方法。它旨在为物理学、工程学、几何分析以及应用数学领域的专业人士和高级研究生提供一个全面的视角，理解如何在非平坦空间中处理波的传播、场的演化以及复杂系统的稳定性问题。 第一部分：弯曲空间中的场论基础与微分几何 本书的开篇部分侧重于建立分析波现象和动力学系统所需的数学工具箱，重点关注微分几何的概念如何嵌入到动力学方程的构建中。 第一章：黎曼流形上的分析工具 本章详细介绍了黎曼几何的基础概念，包括黎曼度量、协变导数、黎曼曲率张量、测地线方程以及曲率的各种不变量。我们将探讨如何将传统的偏微分方程（如波动方程、扩散方程）推广到任意光滑的黎曼流形上，引入共变导数和拉普拉斯-贝特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）。重点讨论该算子在弯曲空间中特征值问题（如拉普拉斯谱）的物理意义，特别是与几何形状和拓扑结构之间的关系。 第二章：几何背景下的线性波动方程 本章专注于在固定曲率流形上线性波动方程的解法和性质。我们将分析时空曲率如何影响波的传播速度、色散关系以及能量的守恒与耗散。讨论诸如球坐标系下的声波传播、双曲面上的薛定谔方程解的渐近行为。特别关注波在具有边界或奇异点（如锥形奇点）的几何体上的散射理论和模式分析。 第三章：几何约束下的线性系统 本章转向描述约束在特定曲面上（如球面、环面）的线性振动模式和本征值问题。这包括分析膜在非均匀曲面上的振动，以及在具有拓扑边界的结构中的格林函数理论。对费曼-卡茨公式在弯曲空间中的推广进行了深入探讨，连接了量子力学和经典随机过程的几何视角。 第二部分：非线性动力学在复杂介质中的建模与分析 第二部分的核心是将第一部分的几何框架扩展到非线性领域，重点关注在曲面上出现的非线性效应，如自聚焦、孤立波的形成与演化，以及系统在非平坦背景下的稳定性分析。 第四章：弯曲空间中的非线性演化方程 本章聚焦于在黎曼流形上推导和分析典型的非线性偏微分方程（PDEs），特别是非线性薛定谔方程（NLS）和 Korteweg–de Vries (KdV) 方程的几何变体。讨论度量张量如何耦合到非线性项中，影响波的非线性相互作用。分析这些方程在球对称、圆柱对称以及更一般的曲面上的精确解和近似解的存在性与唯一性。 第五章：几何背景下的激波与不连续解 本章探讨在具有内在曲率的介质中，激波（Shock Waves）和不连续解的形成与传播。重点分析广义的欧拉方程和粘性流体方程在弯曲坐标系下的表现。讨论黎曼不变量在曲面上的演化，以及如何利用几何方法来确定激波的Hugoniot条件和Rankine-Hugoniot条件在非欧几里得框架下的精确形式。 第六章：拓扑对非线性模式的限制 本章专门研究拓扑结构（如环面、莫比乌斯带、克莱因瓶）对非线性模式的影响。重点讨论拓扑不变量如何限制了平面波解的存在，以及如何促进特定类型的局域化模式（如扭结、畴壁）的形成。对非线性振荡器在具有非零拓扑荷的几何结构上的动力学分支和混沌行为进行了深入的相空间分析。 第三部分：数值方法与复杂几何的计算挑战 第三部分将理论分析与实际计算相结合，讨论在处理具有复杂边界和曲率的系统时所面临的计算挑战和先进的数值技术。 第七章：基于网格的方法与几何适应性 本章详细介绍了在弯曲流形上求解动力学方程的网格生成技术。讨论有限差分法、有限元法（FEM）以及有限体积法（FVM）如何适应非均匀网格和高曲率区域。重点分析如何构建满足几何兼容性的离散化格式，以确保能量守恒和局部解的精度。特别是对使用拉普拉斯-贝特拉米算子离散化方案的稳定性要求进行了严格的探讨。 第八章：基于网格无关的方法：谱方法与扩张理论 本章介绍在规则几何体（如球面、环面）上应用切片谱方法（Spectral Slicing Methods）和泰勒级数扩张的优势。讨论如何利用固有函数的正交性来高效地求解本征值问题和初值问题。对于非规则或可变形的几何体，本章也介绍了基于流形上的张量场表示的浸入式（Immersed Interface）方法，以及如何处理流形随时间演化的刚性和平滑性问题。 第九章：随机动力学与几何涨落 本章引入了随机力学，分析在存在几何噪声（如表面粗糙度引起的随机涨落）时，动力学系统（特别是线性振动和非线性反应堆）的行为。讨论如何使用几何朗之万方程来描述场在随机曲面上的布朗运动，以及如何通过蒙特卡洛模拟来计算几何参数对平均响应和系统稳定性的影响。 结论与展望： 本书的最后部分总结了在复杂几何背景下研究线性与非线性动力学的核心挑战，并展望了该领域未来的研究方向，特别是在拓扑绝缘体、软物质物理学中的几何弹性、以及基于曲面结构的通信网络建模等前沿应用。 本书力求严谨的数学推导与清晰的物理图像相结合，适合于对空间几何性质如何深刻影响物理现象抱有浓厚兴趣的科研人员和学生使用。它强调了理解几何约束与动力学行为之间内在联系的重要性，为处理现实世界中普遍存在的弯曲和非均匀系统提供了坚实的理论和计算基础。

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