Algebraic Cycles, Sheaves, Shtukas, and Moduli pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Pragacz, Piotr 编

出品人:

页数:236

译者:

出版时间:

价格:$ 179.67

装帧:

isbn号码:9783764385361

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Algebraic geometry
• Sheaf theory
• Moduli spaces
• Shtukas
• Algebraic cycles
• Arithmetic geometry
• Representation theory
• Derived categories
• Mixed Hodge modules
• L-functions

范畴论、K理论与代数几何的交汇 本书深入探讨了现代数学中几个核心领域的交叉点：范畴论（Category Theory）、代数K理论（Algebraic K-theory）以及精细的代数几何构造。全书旨在为读者构建一个从基础公理化结构到尖端研究主题的完整图景，尤其侧重于那些难以用传统几何语言精确描述的内在结构。 第一部分：基础结构与范畴的视角 本部分首先奠定了坚实的范畴论基础，但重点并非停留在基础定义上，而是将其立即应用于代数环境中。我们从预加法范畴（Preadditive Categories）和链复形（Chain Complexes）的范畴出发，构建导出范畴（Derived Categories）。 第一章：范畴的内涵与外延 这一章详细考察了具有特定极限和上极限性质的范畴，特别是阿贝尔范畴（Abelian Categories）。我们引入了导出范畴 $D(mathcal{A})$ 的精确构造，作为短正合列在范畴间的“完备化”。重点分析了三角范畴（Triangulated Categories）的结构，包括其平移子（distinguished triangles）的唯一性与性质。对于代数几何背景下的读者，我们会将这些概念具体化到层（Sheaves）的范畴 $ ext{Sh}(X)$ 上，并定义其导出范畴 $D(X)$。 第二章：函子、自然变换与导出函子 本章的核心是将传统函子（如张量积 $otimes$ 和 $ ext{Hom}$）推广到导出设置。我们详细讨论了正向导出函子 ($mathbb{R}F$) 和反向导出函子 ($mathbb{L}F$) 的构造，并严格论证了它们存在的唯一性（在适当的同构意义下）。特别关注了导出张量积 $overset{mathbb{L}}{otimes}$ 在张量范畴中的作用，以及它如何解决传统张量积在非平坦背景下的局限性。此外，还引入了全不变量（Universal Properties）在定义导出结构中的作用。 第二部分：代数K理论的公理化构建 代数K理论作为衡量“缺失的循环”或“不可逆张量”的代数不变量，其定义依赖于一系列强有力的公理。本书采取了比早期构造更现代、更本质的视角，将K理论视为某一特定范畴上的一个特定函子。 第三章：K0与群的构造 本章从稳定的同构类开始，引入了群 $K_0(R)$ 的标准定义，其中 $R$ 是一个环。我们详尽地分析了射影模（Projective Modules）的范畴 $ ext{Proj}(R)$ 及其格鲁滕迪克群（Grothendieck Group）的构造。关键在于，我们展示了如何通过范畴的“不变量”来重构出K理论的代数意义，即通过内射极限（Inductive Limits）来处理无限生成的情况。 第四章：Milnor K理论与Quillen正合序列 这是本书中理论复杂度最高的章节之一。我们首先回顾了Milnor K理论 $K^M_(R)$ 的构造，它基于张量代数上的自由链复形。核心论点是Quillen证明的同构 $K_(R) cong K^M_(R)$。我们详细推导了导致这一同构的关键技术，特别是Suslin林（Suslin Chains）和多项式环上的K理论性质。我们将利用第二部分导出的技术，理解这些同构是如何在导出范畴的层面得以体现的。 第五章：高阶K理论与层论的连接 在高阶K理论 $K_n(R)$ 中，我们转向使用Waldhausen构造，该构造直接将K理论定义为某一特定拓扑空间（或者更准确地说，一个$Omega$-谱）的基本群。我们将Waldhausen范畴 $wmathcal{A}$（由链复形的弱等价性给出）与适当的拓扑空间联系起来，并利用拓扑K理论的工具来理解代数K理论的截断性质。 第三部分：模空间与几何对象上的K理论 在理解了抽象K理论之后，本书转向代数几何的核心领域，探讨K理论如何应用于几何对象，特别是模空间（Moduli Spaces）。 第六章：局部完备化与导出的代数空间 传统上，模空间被视为环或方案的谱。本章引入了局部完备化空间（Locally Complete Spaces）的概念，这是一种比Scholze的完美流形（Perfect Manifolds）更灵活的构造，用于处理代数簇上的奇异点。我们利用导出范畴来定义这些空间上的导出的层（Derived Sheaves）和导出的向量丛（Derived Vector Bunds）。 第七章：模空间上的Chern类与截面 向量丛的Chern类是K理论连接拓扑和几何的桥梁。本章侧重于Grothendieck-Riemann-Roch (GRR) 定理的导出版本。我们首先在光滑流形上回顾GRR定理，然后将其推广到更一般的奇点情形，这需要更精细的工具，比如Deformation Quantization的某些方面，以及在特定拓扑局部化下对陈-西蒙斯（Chern-Simons）理论的类比。 第八章：Sheaf理论与K理论的频谱 本章探讨了K理论与Schubert层（Schubert Sheaves）的深刻联系。我们分析了在光滑射影簇 $X$ 上，如何通过K理论的截面环 $K(X)$ 与上同调环 $H^(X)$ 之间的关系来理解其几何结构。特别是，我们将讨论如何利用谱序列（Spectral Sequences）将较低维度的K理论信息提升到更高维度的导出结构中。重点考察了局部上同调（Local Cohomology）与K理论截面之间的非平凡关系。 总结 本书不依赖于对特定几何对象（如椭圆曲线或Calabi-Yau流形）的深入研究，而是着重于工具和框架。它为读者提供了处理非交换几何、奇异代数结构以及高阶不变量的数学语言。通过范畴论的视角，将看似分离的领域——K理论的代数构造与代数几何的层理论——统一在一个强大的导出框架之下。读者将掌握利用导出范畴的工具来解构复杂模空间的内在结构，为进阶研究打下坚实的基础。

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