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出版者:

作者:Akst, Geoffrey/ Bragg, Sadie

出品人:

页数:624

译者:

出版时间:2007-12

价格:$ 194.36

装帧:

isbn号码:9780321500113

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 基础数学
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• 数学教材
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• 算术

深入探索数学的基石：纯粹逻辑与严谨证明的殿堂 书名：Foundations of Pure Logic and Rigorous Proof 简介： 本书旨在为读者构建一个坚实、无懈可击的数学理论基础，专注于纯粹逻辑的内在结构与数学证明的严谨性。我们摒弃了对具体应用领域的探讨，转而深入探究数学家赖以构建整个知识体系的底层语言和方法论。本书的目标受众是那些渴望超越应用技巧，真正理解“为什么”数学是如此确定和可靠的读者——无论是数学系学生、哲学专业人士，还是任何对形式系统和逻辑推理抱有深刻好奇心的人。 本书的结构设计遵循从最基本的构建单元到复杂理论推导的递进路径。我们相信，唯有掌握了最原始的逻辑工具，才能有效地驾驭高等数学的宏伟殿堂。 第一部分：命题逻辑与谓词逻辑的精炼提纯 (The Essence of Propositional and Predicate Logic) 第一部分致力于对经典逻辑系统进行彻底的剖析和形式化。我们首先从最简单的元素——命题（Propositions）开始，详细考察它们的真值条件和连接词（如“且”、“或”、“非”、“蕴含”）。重点在于构建真值表、理解逻辑等价性，并掌握使用范式（如合取范式 CNF 和析取范式 DNF）简化复杂表达式的技术。这里的讨论是纯粹的代数操作，不涉及任何现实世界的映射。 随后，我们将进入一阶谓词逻辑（First-Order Predicate Logic, FOL）的世界。这部分是本书的核心基石之一。我们详细定义了语言的语法（符号、项、公式）和语义（解释、满足）。重点在于理解量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的精确含义及其在复杂结构中的作用。我们将探讨如何形式化地表达自然语言中的复杂陈述，并严格区分自由变量和约束变量的概念。 本部分一个关键的侧重是一致性与完备性的初步探讨。我们将引入自然演绎系统（Natural Deduction）和序列演算（Sequent Calculus）作为主要的证明工具。读者将学习如何通过步步为营的规则推导来证明一个公式是可证的，而不是依赖于直觉或经验。我们将严格区分有效性（Validity，在所有模型中都为真）和可证性（Provability，可以在公理系统中推导出来）之间的深刻联系。 第二部分：集合论的公理化基础 (Axiomatization of Set Theory) 数学的整个结构都建立在集合论之上。本书选择 Zermelo-Fraenkel 集合论（ZF）作为我们的基础框架，并可选地引入选择公理（ZFC）。我们不会将集合论视为一种描述世界的工具，而是将其视为一个自洽的形式系统。 本部分将从最基础的公理出发，系统地构建集合的层次结构。我们将详细审查构造性公理（如空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理）和分离公理的内在逻辑。对替换公理（Schema of Replacement）的深入分析，是理解为什么 ZF 能够支持比朴素集合论更强大的结构的关键。 关于基数（Cardinality）和序数（Ordinality）的讨论将完全基于公理系统内部的结构。我们将严格定义良序（Well-Ordering）和超限归纳法（Transfinite Induction），并证明这些概念如何从选择公理中自然流出。对于康托尔定理（Cantor's Theorem）和对角线论法的讨论，将着重于其在证明集合大小不可比性上的逻辑力量，而非其在可计算性理论中的应用。 第三部分：形式系统与证明的元理论 (Metatheory of Formal Systems) 第三部分将提升视角，从系统内部的证明（内指）转向对系统本身的分析（元指）。这是本书哲学和逻辑深度最集中的部分。 我们将详细研究证明论（Proof Theory），重点分析形式系统的结构特性： 1. 一致性（Consistency）： 如何证明一个系统不会导出矛盾（即 $P land eg P$）。我们将介绍哥德尔的第二不完备定理（不直接证明，但会阐述其对形式系统的限制），并讨论证明一致性的技术难度。 2. 健全性（Soundness）： 证明系统内所有可证的语句在语义上都是真的。 3. 完备性（Completeness）： 证明所有语义上为真的语句都可以在系统中被推导出来。我们将深入探讨哥德尔完备性定理（对于 FOL）。 随后，我们将转向递归论（Recursion Theory）的逻辑基础。我们引入图灵机（Turing Machine）和 $mu$-递归函数（Primitive Recursive and $mu$-Recursive Functions）作为“可计算性”的精确定义。这里的重点不是算法设计，而是如何使用这些形式模型来定义可判定性（Decidability）和可枚举性（Enumerability）。我们将严谨地证明停机问题（Halting Problem）的不可判定性，将其视为形式系统能力边界的一个不可逾越的界限。 第四部分：一阶逻辑的扩展与局限 (Expansions and Limitations of First-Order Logic) 在巩固了 FOL 的基础后，本书探讨了超越标准一阶逻辑的尝试，并清晰地勾勒出这些尝试的局限性。 我们将简要介绍二阶逻辑（Second-Order Logic），并将其与一阶逻辑进行对比，特别是关于范畴性（Categoricity）的讨论。读者将理解为什么一阶逻辑能被完备系统化，而二阶逻辑因其表达力更强而丧失了完整性定理。 此外，本部分将介绍模态逻辑（Modal Logic）的基本框架，作为处理“必然性”和“可能性”这些非经典模态的工具。我们将使用 Kripke 语义（Kripke Semantics）来解释这些系统的有效性和一致性，重点关注 S4 和 S5 系统的区别，将其视为对知识和信念的抽象逻辑建模。 总结： 《Foundations of Pure Logic and Rigorous Proof》不是一本教授如何解题的书，而是一本关于“如何思考”和“如何确定”的书。它剥离了所有应用层面的装饰，直面数学思维的本质——一套由精确的公理和无懈可击的推理规则构成的形式化结构。通过本书的研习，读者将获得一种罕见的、对数学确定性及其内在限制的深刻理解。

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