具体描述
《概率论与随机过程导论》 作者： 约翰·史密斯 (John Smith) 出版社： 环球学术出版社 (Global Academic Press) 出版年份： 2024年 页数： 680页 --- 内容简介 本书旨在为初学者和希望巩固基础的专业人士提供一套全面、深入且直观的概率论与随机过程基础知识。本书的撰写遵循循序渐进的原则，力求在严谨的数学基础上，通过丰富的实例和清晰的解释，帮助读者建立对随机现象的深刻理解。我们避开了过于抽象和晦涩的理论堆砌，而是将重点放在核心概念的构建和实际应用能力的培养上。 全书分为三个主要部分：概率论基础、随机变量与分布、随机过程。 --- 第一部分：概率论基础 (Foundations of Probability) 本部分为后续所有内容打下坚实的数学和概念基础。我们从最基础的集合论和测度论的直观概念入手，避免了复杂的测度论形式化，转而使用更贴近概率思想的框架。 第一章：样本空间与事件 本章详细介绍了随机试验、样本空间、事件的定义及其代数结构。我们强调了事件之间的关系（交集、并集、互补）在理解不确定性中的作用。通过大量的例子，如抛硬币、掷骰子等经典问题，读者将熟悉如何构建和描述一个随机实验的所有可能结果。 第二章：概率的定义与性质 我们从频率学派的直观定义出发，逐步过渡到公理化概率论。重点讲解了概率的五个基本公理，并推导出所有重要的基本性质，如加法公式、德摩根定律在概率空间中的应用。本章特别细致地阐述了条件概率的概念，这是理解随机依赖关系的关键。我们引入了事件的独立性定义，并探讨了独立性与互斥性的区别，这常常是初学者的一个知识盲区。 第三章：联合概率、边际概率与贝叶斯定理 本章深化了对多个事件之间关系的分析。联合概率分布的引入是理解多维随机现象的起点。我们详细介绍了如何计算边际概率分布，并用清晰的图示说明了联合分布与边际分布之间的信息传递关系。 本章的核心是贝叶斯定理。我们不仅展示了其数学公式，更重要的是通过实际案例（如医疗诊断、设备故障检测）来阐释其在信息更新和信念修正中的强大能力。我们确保读者能够区分先验概率、似然函数和后验概率的物理意义。 --- 第二部分：随机变量与分布 (Random Variables and Distributions) 在掌握了事件概率的基本工具后，本部分将焦点转向量化不确定性——随机变量。 第四章：离散型随机变量 本章定义了离散型随机变量及其概率质量函数 (PMF)。我们系统地介绍了最常见和最重要的离散分布： 1. 伯努利分布与二项分布： 成功/失败的独立试验模型。 2. 泊松分布： 描述单位时间内随机事件发生的概率，重点分析其与二项分布的极限关系。 3. 几何分布与负二项分布： 关注首次成功或第$k$次成功所需试验次数的模型。 4. 超几何分布： 无放回抽样情境下的核心模型。 每种分布的介绍都包含其定义、PMF、期望、方差的推导，以及其在实际问题中的应用场景。 第五章：连续型随机变量 本章将概率概念扩展到连续域，引入了概率密度函数 (PDF)。我们详细探讨了连续随机变量的性质，特别是累积分布函数 (CDF) 与 PDF 之间的关系。 核心连续分布包括： 1. 均匀分布 (Uniform Distribution)： 随机性最基础的模型。 2. 指数分布 (Exponential Distribution)： 描述事件发生间隔时间的关键分布，及其“无记忆性”特性。 3. 正态分布 (Normal Distribution)： 统计学中的基石。本章着重解释其参数（均值和方差）的物理含义，并介绍标准正态分布 (Z-score) 的使用方法。 4. 伽马分布与贝塔分布： 作为更复杂应用场景的工具。 第六章：期望、方差与矩 本章专注于量化随机变量的集中趋势和离散程度。我们严格定义了期望（一阶矩）和方差（二阶中心矩），并推导了关于期望和方差的线性性质及乘积性质。此外，我们还介绍了矩母函数 (MGF)，将其作为识别分布和推导高阶矩的有效工具，但其介绍保持在足够直观的层次，不深入其分析性质的复杂性。 第七章：多维随机变量与随机变量的变换 本章处理两个或多个随机变量同时出现的情况。我们定义了联合概率分布（离散和连续情况下的联合PMF和PDF）。重点分析了协方差和相关系数，用以衡量两个变量间的线性关系强度。本章还涵盖了随机变量的函数（如$Y=g(X)$）的分布求解，特别是卷积公式在和的分布计算中的应用。 --- 第三部分：随机过程 (Stochastic Processes) 随机过程是概率论向时间维度和动态系统演化的自然延伸。本部分从静态的随机变量过渡到随时间演化的随机系统。 第八章：随机过程基础与分类 本章引入了随机过程的定义，解释了时间参数集和状态空间的意义。我们根据这些特性对过程进行分类：离散时间/连续时间、离散状态/连续状态。通过对随机序列和随机函数的初步探讨，读者开始建立对动态不确定性的框架认知。 第九章：马尔可夫链 (Markov Chains) 马尔可夫链是离散时间随机过程的基石。本章详细阐述了马尔可夫性（未来只依赖于现在，与过去无关）的直观和数学意义。 1. 一步转移概率矩阵： 如何构建和解释状态转移矩阵。 2. n步转移概率： 通过矩阵乘法计算长期演化。 3. 状态分类： 常返、暂留、瞬态状态的定义与判断。 4. 平稳分布 (Stationary Distribution)： 系统的长期行为预测，包括细致平衡方程的介绍。 本章通过大量的例子（如网页跳转模型、天气变化模型）展示了马尔可夫链在实际建模中的威力。 第十章：泊松过程 (The Poisson Process) 泊松过程是描述事件发生率的连续时间过程。我们从间隔时间服从指数分布和独立增量的两个关键特性出发，定义了标准泊松过程。本章深入探讨了泊松过程的增量性质、复合泊松过程，以及其在排队论和可靠性工程中的初步应用。 第十一章：连续时间马尔可夫链 (Continuous-Time Markov Chains - CTMC) 作为对马尔可夫链的扩展，CTMC 引入了速率（生成元）的概念。本章讲解了如何使用跳转速率矩阵 (Q-matrix) 来描述系统在任意时刻的瞬时变化趋势。我们介绍了 Kolmogorov 前向和后向方程，并将其与离散时间的 $n$ 步转移方程进行对比，从而理解连续时间演化的数学结构。 --- 附录与特色 附录 A：概率论中的微积分回顾： 快速复习必要的积分和级数知识。 附录 B：统计推断的初步展望： 简要介绍大数定律和中心极限定理，作为概率论与统计推断之间的桥梁。 习题设计： 每章末尾均配有难度递增的习题。习题分为“概念检验”和“应用建模”两类，后者要求读者根据实际场景建立概率模型并求解。 语言风格： 采用清晰、严谨但富于启发性的叙述方式，旨在激发读者独立思考，而非仅仅记忆公式。 本书适合作为高等院校理工科、经济学、计算机科学专业本科高年级或研究生初级阶段的教材或参考书。掌握本书内容，读者将能够熟练运用现代概率论工具解决复杂的不确定性问题。
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