A Course on Geometric Group Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Mathematical Society of Japan

作者:Bowditch Brian H

出品人:

页数:104

译者:

出版时间:2006-7-31

价格:GBP 12.00

装帧:Paperback

isbn号码:9784931469358

丛书系列:

图书标签:

几何群论
群论
拓扑学
数学
几何
代数拓扑
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低维拓扑
数学研究

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具体描述

This volume is intended as a self-contained introduction to the basic notions of geometric group theory, the main ideas being illustrated with various examples and exercises. One goal is to establish the foundations of the theory of hyperbolic groups. There is a brief discussion of classical hyperbolic geometry, with a view to motivating and illustrating this. The notes are based on a course given by the author at the Tokyo Institute of Technology, intended for fourth year undergraduates and graduate students, and could form the basis of a similar course elsewhere. Many references to more sophisticated material are given, and the work concludes with a discussion of various areas of recent and current research.

《几何群论导论》作者：欧文·琼斯 (Owen Jones) 出版社：环球学术出版社出版年份： 2023 --- 书籍简介《几何群论导论》是一本深入浅出、内容详实的教材，旨在为数学系高年级本科生和研究生提供进入几何群论这一迷人领域的坚实基础。本书的独特之处在于，它巧妙地将代数、拓扑学和几何学的核心概念融为一体，构建了一个清晰、直观的学习路径，帮助读者理解群的结构如何通过其作用于几何空间来揭示深刻的代数性质。目标读者与定位本书面向已具备扎实群论基础（例如，熟悉群的同态、正规子群、商群、自由群、有限生成群的基本概念）以及拓扑学基础（了解基本拓扑空间、连续映射、基本群等概念）的读者。它并非对已有知识的简单复述，而是致力于构建一座桥梁，使抽象的群结构具象化，从而实现对群论更深层次的理解。本书的结构设计使其既适合作为一学期或两学期的课程教材，也适合有志于几何群论研究的自学者。核心内容与章节概述全书共分十二章，循序渐进地引导读者进入几何群论的殿堂。第一部分：基础概念的重塑与连接 (第 1-3 章) 第 1 章：群的几何视角本章首先回顾了群论的几个关键概念，如生成元、关系式。随后，引入了群作用（Group Action）在几何上的直观体现，特别是黎曼几何中度量空间的引入。讨论了 Cayley 图作为群的第一个“几何化”的载体。Cayley 图不仅仅是代数结构的图形表示，它更是一个具有度量结构的图，我们在此讨论了图的几何性质（如直径、半径）如何反映群的代数性质（如生成集的规模、词长）。第 2 章：度量空间与几何拓扑本章是几何化的关键步骤。详细介绍了度量空间（Metric Spaces）的定义、完备性、紧致性和局部紧致性。将这些拓扑概念应用于群的 Cayley 图，重点探讨了群作用在度量空间上的保持距离（Isometry）的性质。引入了群的测地性质（Geodesic Property）的初步讨论，为后续关于双曲群的分析做铺垫。第 3 章：遍历群作用与不动点定理本章深入探讨了群作用的代数与拓扑交互。讨论了群在拓扑空间上的连续作用，并引入了不动点理论在群作用分析中的应用。特别是，介绍了群作用在向量空间上时，Poincaré-Bohl定理的群论版本，强调了稳定子群（Stabilizer）和轨道（Orbit）的几何意义。第二部分：双曲几何的引入 (第 4-7 章) 第 4 章：几何群论的基石——双曲群本章是本书的核心。正式引入了 Gromov 的 $delta$-双曲性概念。作者避免了从复杂的测地三角学定义入手，而是首先从群论角度，基于 Gromov 乘积 (Gromov Product) 来定义双曲性。详细阐述了双曲群的几个关键特征：词长的指数增长、有限生成群的子群结构、以及其 Cayley 图的“树状”近似。第 5 章：测地线与最短路径深入探讨双曲空间中的测地线。讨论了双曲空间中测地线的唯一性、延伸性及其对群作用的约束。本章通过解析群中的“短词”（Short Words）与 Cayley 图中的最短路径之间的关系，展示了代数关系式在双曲空间中如何被“膨胀”。第 6 章：边界的结构：Gromov 边界这是连接群与几何空间的另一关键点。详细介绍了 Gromov 边界 $partial G$ 的构造和拓扑性质。阐明了 $partial G$ 作为一个紧致度量空间的结构，以及群 $G$ 的作用如何在这个边界上诱导出离散的群作用。讨论了 $partial G$ 的拓扑维度如何与群的增长性相关联。第 7 章：基本群与几何流形本章将群论提升到更高的拓扑层面，讨论了基本群（Fundamental Group）作为几何对象的表示。探讨了将双曲群嵌入到流形（如双曲流形）的边界处的拓扑构造，强调了群的表示与空间的几何结构之间的同构关系。第三部分：高级主题与应用 (第 8-12 章) 第 8 章：自动机与上下文无关群转向计算复杂性。讨论了自动机理论（Automata Theory）在识别群元素中的应用，特别是针对有限展示群。介绍了自动机的概念及其在判断群是否为自动群（Automatic Groups）中的作用。第 9 章：分层结构与群的分解本书探讨了群的分解理论。重点分析了有限生成群的分解，如扭曲积（Wreath Product）和自由积（Free Product）。展示了如何通过分解一个群来理解其复杂的几何结构，特别是关于“非平凡自由积”中双曲性的继承性。第 10 章：刚性与共轭性引入了刚性（Rigidity）的概念，讨论了某些群结构是否能唯一确定其所作用的几何空间。重点讨论了 Mostow 刚性定理的群论版本，以及在低维流形中，基本群如何强力地编码了流形的几何信息。第 11 章：近似有限生成群超越有限生成群的范畴，介绍了近似有限生成（Approximately Finitely Generated, AFG）群。讨论了这些群在群同调（Group Cohomology）和 $L^2$ 不变量中的重要性，展示了它们在研究无限群方面的计算优势。第 12 章：前沿展望与开放问题本章简要概述了几何群论在解析数论、动力系统和几何动力学中的最新应用。最后，列举了几个当前活跃的研究方向和未解决的问题，鼓励读者继续深入探索。本书的特色 1. 几何直观优先：每一条代数定理的引入，都伴随着对 Cayley 图、测地线或双曲空间模型的几何解释。 2. 平衡性：严格的代数定义与直观的几何图像保持了完美的平衡，避免了纯代数教材的晦涩和纯拓扑教材的缺乏严谨性。 3. 丰富的例证：包含大量关于自由群、有限群、海森堡群等经典群的详细例子，帮助读者检验和内化理论。 4. 练习与挑战：每章末尾附有难度递增的练习题，从概念巩固到研究性问题的初步探讨，确保读者能够主动掌握知识。通过《几何群论导论》，读者将不仅掌握这门学科的工具和技术，更重要的是，将学会如何“看见”群的几何形状，从而开启一个全新的数学视角。