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出版者:

作者:Tourlakis, George

出品人:

页数:294

译者:

出版时间:2008-9

价格:846.00元

装帧:

isbn号码:9780470280744

丛书系列:

图书标签:

• 数学逻辑
• 逻辑学
• 数理逻辑
• 集合论
• 模型论
• 证明论
• 递归论
• 元数学
• 形式系统
• 逻辑哲学

逻辑的基石：一窥形式系统的深邃世界 图书名称：《形式系统与证明理论导论》 作者： [此处应为作者名，为保持简洁，此处留空] 出版社： [此处应为出版社名，为保持简洁，此处留空] --- 导言：超越日常推理的严谨疆界 本书旨在为读者构建一个坚实的基础，用以理解和操作那些构成现代数学、计算机科学乃至哲学核心的抽象结构——形式系统 (Formal Systems)。我们并非聚焦于数学逻辑的历史沿革或其在特定学科（如集合论或可计算性理论）中的应用，而是深入探究这些系统的内在机制、构建蓝图以及推理的本质。 许多入门读物往往将逻辑视为一套工具，用于验证既有论断的对错。然而，本书的视角更为根本：我们将逻辑视为一种构造性科学，研究如何将人类的直觉推理过程，转化为可以被机器精确处理、符号化的严密机器。我们关注的重点是如何定义一个语言（语法）、如何赋予其意义（语义），以及如何通过一套明确的规则集来推导出新的真理（证明论）。 第一部分：形式语言的构建与精确化 形式系统的基石在于其语言的精确性。日常语言的模糊性在科学探索中是致命的。因此，本卷首先致力于形式语言的代数化描述。 第一章：符号与结构——字母表、词项与公式 我们将从最基础的元素——字母表 (Alphabet) 开始，定义一组有限的、无歧义的符号集。随后，通过递归定义 (Recursive Definitions) 的强大工具，我们构造出词项 (Terms)，即我们在系统中可以谈论的对象。例如，在算术系统中，我们如何定义“$s(0)$”或更复杂的表达式。 更关键的是良构公式 (Well-Formed Formulas, WFFs) 的定义。这不仅涉及逻辑连接词（如 $land, lor, eg, ightarrow$）的正确放置，还包括对量词 ($forall, exists$) 的约束规则。本章会详细探讨如何使用上下文无关文法的思想来形式化这一过程，确保任何一个被接受的公式都是语法上完全正确的，从而排除任何语义上的含糊不清。 第二章：逻辑的骨架——公理与推理规则 一旦语言被固定，下一步就是定义系统“允许”我们做什么。我们将系统地介绍两种核心的构建方式：公理化方法和自然演绎方法。 1. 公理体系 (Axiomatic Systems)： 我们将严格界定公理 (Axioms)——那些无需证明的初始断言。随后，我们深入分析推理规则 (Rules of Inference)，特别是经典的分离规则 (Modus Ponens)。本章将侧重于形式化证明的序列：一个证明是如何从公理出发，一步步应用推理规则，最终导向一个结论的流程。我们将探讨证明树的结构，并明确定义“可证性” $vdash$ 的含义。 2. 自然演绎系统 (Natural Deduction)： 与纯粹的公理系统不同，自然演绎系统模仿人类的直觉推理过程，为每个连接词和量词提供引入 (Introduction) 和消除 (Elimination) 规则。我们将详尽分析这些规则的对偶性与对称性，展示如何构建简洁而完备的证明结构，避免不必要的繁琐步骤。 第二部分：语境与真值——语义的维度 形式系统仅仅是符号的操纵，其意义（语义）的赋予是其价值所在。本部分将脱离纯粹的句法操作，引入对真值和模型的研究。 第三章：命题逻辑的语义 我们从最基础的命题演算 (Propositional Calculus) 入手。本章的核心是真值函数 (Truth Functions) 的概念。我们将使用真值表 (Truth Tables) 来系统地分析所有可能的赋值组合，从而定义重言式 (Tautologies)、矛盾式 (Contradictions) 和可满足式 (Satisfiable Formulas)。 更进一步，我们将探讨语义的等价性：两个公式在所有解释下具有相同的真值，即它们是逻辑等价 (Logically Equivalent) 的。本章将为后续更复杂的谓词逻辑打下理解“解释”和“模型”的基础。 第四章：一阶逻辑的解释与模型 一阶逻辑（或称谓词逻辑）引入了个体、谓词和函数符号，极大地增强了系统的表达能力。语义的复杂度也随之增加。 我们将精确定义结构 (Structures) 或模型 (Models)：它们是用于解释形式语言的非空论域（Domain）以及符号的指派（Interpretations）。我们会系统地定义赋值 (Assignments)，以及如何递归地确定一个特定模型下，一个复杂公式的真值。例如，$forall x P(x)$ 在模型 $mathcal{M}$ 下为真，意味着对于论域中的每一个元素 $d$，将 $x$ 赋值为 $d$ 后，$P(x)$ 成立。 本章的重点在于建立有效性 (Validity) 的概念：一个公式是有效公式 (Valid Formula)，当且仅当它在所有可能的模型中都为真。 第三部分：系统的完备性与可靠性 形式系统的最高追求是确保其推理机制能够精确地捕捉所有我们直觉上认为“应该”成立的真理，不多也不少。这便是可靠性 (Soundness) 和完备性 (Completeness)。 第五章：可靠性——证明不产生谬误 可靠性关注的是“证明”与“真理”的关系。一个系统是可靠的，意味着：如果一个公式可以被证明（$Gamma vdash varphi$），那么它必然是有效的（在所有模型中都成立，$Gamma models varphi$）。 本章将通过归纳法，对分离规则和公理（或自然演绎规则）进行严格的可靠性证明。我们将展示，通过一个有效的推理规则得出的结论，其真值必然与其前提保持一致。 第六章：完备性——捕捉所有真理 完备性是形式系统的“威力”的体现：如果一个公式是有效的（在所有模型中都为真），那么它必然可以被证明（$Gamma models varphi Rightarrow Gamma vdash varphi$）。 对于命题逻辑，完备性可通过规范型 (Normal Forms) 来证明。然而，对于一阶逻辑而言，完备性证明（通常追溯到哥德尔的完备性定理）更为复杂，涉及极大一致集 (Maximal Consistent Sets) 的构造以及对这些集合进行“嵌入”到某个特定模型中的过程。本书将详述这一关键的构造性步骤，展示如何从一个不可证的公式出发，构建出一个“反例模型”。 结语：超越一阶逻辑的视野 本书的范围聚焦于构建形式推理的坚固框架。通过对语法、语义以及系统性质的深入剖析，读者将获得理解更高级逻辑系统（如高阶逻辑、模态逻辑）所必需的方法论。我们严格地定义了“证明是什么”、“什么是真理”，以及两者如何相互关联，为任何希望在抽象结构中进行精确探索的人奠定了不可动摇的逻辑基石。 --- 本书特色： 强调构造性证明： 详细展示如何通过递归定义和归纳法构建证明。 区分句法与语义： 清晰界定 $vdash$（可证性）与 $models$（有效性）之间的区别及其联系。 系统化的规则分析： 对自然演绎和公理系统的推理规则进行并列比较和深入剖析。 聚焦核心定理： 将可靠性和完备性作为系统设计的核心目标进行严格论证。

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