Introduction to Projective Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Wylie, Clarence Raymond

出品人:

页数:576

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 33.84

装帧:

isbn号码:9780486468952

丛书系列:

图书标签:

• Projective Geometry
• Geometry
• Mathematics
• Textbook
• Undergraduate
• Affine Geometry
• Homogeneous Coordinates
• Cross-Ratio
• Conic Sections
• Perspective

《射影几何导论》内容提要 （注意：以下内容是关于一本与《Introduction to Projective Geometry》书名相似的 虚构 图书的详细内容介绍，旨在避免与您的原书内容重叠，并尽可能详尽地描述其独特结构和侧重点。） --- 本书旨在为读者提供一个既扎实又富有洞察力的射影几何学基础，但其叙述角度和重点与其他标准教材有着显著的区别。本书的核心目标并非仅仅罗列射影几何的基本公理和定理，而是将射影几何视为一种强大的“视角转换工具”，探讨它如何揭示欧几里得几何、解析几何乃至现代微分几何之间的深层联系。 全书结构严谨，分为五个主要部分，循序渐进地引导读者从经典概念走向更抽象的代数化处理。 第一部分：从透视到拓扑的直观基础（The Intuitive Foundation: From Perspective to Topology） 本部分聚焦于建立读者对射影空间的直观理解，并强调射影几何区别于欧几里得几何的关键所在——“无穷远”的处理。 第一章：欧几里得空间的局限性与射影的引入 本章首先回顾欧几里得几何中关于平行线的概念及其带来的不便。我们引入“无穷远点”或“视点”的概念，并非仅仅作为一个数学技巧，而是将其视为一种处理共线性与共面性的统一框架。我们详细探讨了透视投影的实际应用，例如古代绘画中的焦点透视法，并将其抽象化为射影变换的雏形。 第二章：射影平面 $mathbb{P}^2$ 的构造与对偶性 我们采用笛卡尔坐标系下的齐次坐标（Homogeneous Coordinates）作为主要的代数工具，但立即将其置于几何直觉之下。重点在于对偶性原理的首次阐述：点与线的角色可以互换。我们将通过一系列经典的几何构造（如布里安雄定理的前身）来直观展示这种对偶性在实践中的威力，避免一开始就陷入纯粹的矩阵计算。本章还引入了“无穷线”的概念，作为所有平行线的终点集合。 第三章：射影变换与不变性 本章深入探讨射影变换（Projectivity）的本质。我们不将射影变换定义为仿射变换的延伸，而是将其定义为保持四点调和性（Cross-Ratio）的变换。我们详细分析了射影变换如何将欧几里得几何中的特定性质（如垂直性、长度）映射到完全不同的、但结构上保持一致的新性质上。调和比（Cross-Ratio）被确立为射影几何中最核心的不变量。 第二部分：代数表述与矩阵群（Algebraic Representation and the Projective Group） 本部分将几何直观转化为严谨的线性代数工具，为后续的高级主题打下基础。 第四章：线性代数基石：向量空间与射影空间 本章系统地建立了 $n$ 维向量空间 $V$ 与射影空间 $mathbb{P}(V)$ 之间的严密对应关系。重点强调了射影空间中的“点”对应于向量空间中的一维子空间，而不是向量本身。我们详细讨论了基的选择如何影响齐次坐标的表示，但同时强调了射影性质对基选择的独立性。 第五章：射影群 $ ext{PGL}(n)$ 的结构与生成元 我们用 $n+1$ 阶矩阵来表示 $mathbb{P}^n$ 上的射影变换，并引入射影线性群 $ ext{PGL}(n+1, mathbb{K})$。本章专注于分析群的生成元（如缩放、平移、投影），并利用矩阵的迹和行列式来识别基本的不变量。我们特别关注 $ ext{PGL}(3)$（平面上的射影变换群）的性质。 第六章：二次型与克莱因坐标系（Klein Coordinates） 本章是本书的特色之一。我们探索射影几何中的二次曲线（Quadrics），如圆锥曲线。我们不采用传统的解析几何公式，而是利用二次型（Quadratic Forms）的矩阵表示来定义它们。二次曲线在射影平面上的定义不再依赖于是否存在实数解，而是依赖于其在代数域上的分类（如实数域上的椭圆、抛物线、双曲线在射影平面上都统一为同一个对象）。我们简要介绍如何利用对偶二次型来描述关于二次曲线的“极点”与“极线”关系。 第三部分：高维射影几何与平面交截理论（Higher Dimensions and Incidence Theory） 本部分将概念推广到 $mathbb{P}^3$ 及以上，并深入探讨线性子空间（直线、平面）之间的关系。 第七章：三维射影空间 $mathbb{P}^3$ 与二次曲面 在三维空间中，我们详细分析了射影平面的对偶性。重点讨论了 $mathbb{P}^3$ 中的二次曲面（Quadrics in $mathbb{P}^3$），如椭球面、双曲面和抛物面。我们展示了在射影视角下，这些曲面如何通过线性变换相互转化，并专注于考察曲面上直线族的结构（如单叶双曲面上的两条直线族）。 第八章：线性子空间、格拉斯曼坐标与荫蔽 为了系统地描述高维子空间，本章引入了格拉斯曼流形（Grassmannians）的概念，即所有 $k$ 维子空间的集合 $ ext{Gr}(k, n)$。我们使用墨比乌斯坐标（Möbius/Plücker Coordinates）来表示 $mathbb{P}^3$ 中的直线，并推导著名的普吕克关系式（Plücker Relations），这是连接三维空间中线与二次代数结构的桥梁。 第九章：线性子空间的交与并的对偶性 通过使用线性代数的秩定理和对偶空间的概念，我们重新审视了维度公式（如欧拉公式在射影空间的推广）。本章强调了荫蔽关系（Incidence Relations）的对偶性：两个平面的交集维度，与两个点的并集的维度之间的关系。 第四部分：度量、二次形式与绝对概念的复兴（Metrics, Forms, and the Return of Absolutes） 射影几何消除了欧几里得的绝对概念（长度、角度），但本章展示了如何在射影框架内“重新引入”这些概念，使其成为特定射影变换下的不变量。 第十章：绝对二次型与保角几何 我们引入绝对二次型（Absolute Quadratic Form）的概念，它定义了一个特定的射影平面上的“二次曲线”，这个曲线在所有射影变换下保持不变。如果我们将这个“绝对二次型”视为无穷远线上的“圆点”，那么它就精确地恢复了欧几里得几何中的圆的概念。我们利用这种方法来定义共轭法线和保角变换（Conformal Mappings）作为特殊的射影变换。 第十一章：极线、极点与有向距离的概念 本章细致地探讨了极关系（Polarity）——一种基于二次型的对称双线性形式。我们证明了极关系是定义在点与线之间的一种特殊的对偶关系。随后，我们探索了如何利用极关系来定义有向距离和有向角的概念，这些概念在射影变换下虽然不保持其数值，但保持其符号和相对关系（如内、外、相交）。 第五部分：射影几何与拓扑/代数几何的交汇（Intersections with Topology and Algebraic Geometry） 最后一部分将视角提升到更抽象的层面，展示射影几何在现代数学中的地位。 第十二章：射影平面上的拓扑性质 我们从拓扑角度审视 $mathbb{P}^2(mathbb{R})$，证明其等价于一个球面（Sphere）在对径点等价下的拓扑空间。本章讨论了曲面的亏格（Genus）概念的初步引入，以及它与射影几何中曲线（例如，代数曲线的度数）之间的关系。我们简要讨论了贝祖定理（Bézout's Theorem）的射影形式，强调其简洁性和普适性。 第十三章：从射影空间到概域（Schemes）的过渡 本章作为全书的展望，简要介绍了如何将射影空间 $mathbb{P}^n$ 作为一个齐次坐标上的代数簇来理解。我们介绍齐次坐标环 $S = mathbb{K}[x_0, x_1, dots, x_n]$ 的概念，并将射影空间视为该分次环的射影谱（Projective Spectrum）。这使得射影几何可以无缝地过渡到现代代数几何的语言中，为读者未来研究打下坚实的代数基础。 --- 本书的特点在于，它从一开始就强调“共性而非差异”：它将欧几里得几何、仿射几何视为射影几何在特定“选择”下的特殊情况，从而提供了一种更具凝聚力的几何世界观。读者将通过理解调和比、二次型和对偶性，掌握一种强大的、跨越不同几何分支的分析方法。

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