Affine Maximal Hypersurfaces pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Fang Jia, An-min Li/ Simon, Udo

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:2010-4

价格:$ 73.00

装帧:

isbn号码:9789812814166

丛书系列:

图书标签:

Affine geometry
Algebraic geometry
Hypersurfaces
Maximal hypersurfaces
Singularity theory
Commutative algebra
Topology
Differential geometry
Complex manifolds
Projective geometry

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具体描述

In this monograph, the interplay between geometry and partial differential equations (PDEs) is of particular interest. It gives a selfcontained introduction to research in the last decade concerning global problems in the theory of submanifolds, leading to some types of Monge-AmpÃ¨re equations.

From the methodical point of view, it introduces the solution of certain Monge-AmpÃ¨re equations via geometric modeling techniques. Here geometric modeling means the appropriate choice of a normalization and its induced geometry on a hypersurface defined by a local strongly convex global graph. For a better understanding of the modeling techniques, the authors give a selfcontained summary of relative hypersurface theory, they derive important PDEs (e.g. affine spheres, affine maximal surfaces, and the affine constant mean curvature equation). Concerning modeling techniques, emphasis is on carefully structured proofs and exemplary comparisons between different modelings.

欧几里得几何中的极值与优化：对非线性几何结构的深入探索本书简介本书是一部专注于高等几何与微分几何交叉领域的前沿学术著作，其核心内容是对欧几里得空间内一类特殊光滑超曲面的性质进行系统性的、高精度的数学分析与刻画。全书以严谨的数学语言和丰富的几何直觉为导向，深入探讨了在标准度量下，那些具有特定“最优性”或“极值”特征的超曲面结构。本书并非一本面向初学者的几何入门教材，而是为微分几何、拓扑学、偏微分方程（特别是极值曲面方程）研究人员、博士生以及高级应用数学家量身打造的专业参考书。我们聚焦于那些在局部或全局意义上实现某种几何量（如面积、曲率的积分、平均曲率的范数等）的极值，并严格证明了这些极值状态与特定的微分方程条件之间的等价性。第一部分：基础回顾与问题设定第一章首先回顾了欧几里得空间 $mathbb{R}^{n+1}$ 中 $n$ 维超曲面的基本概念，包括第一、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率以及形状算子。重点在于建立一个坚实的基础，以便后续对更复杂的性质进行讨论。第二章引入了本书的核心研究对象——极值超曲面。我们并未直接从经典变分问题的角度出发，而是通过对超曲面的挠率（Torsion）和曲率张量进行某种特定线性组合的积分泛函进行变分，推导出相应的欧拉-拉格朗日方程。这些方程是描述超曲面达到局部极值面积或极值平均曲率的必要条件。我们详细分析了在 $mathbb{R}^3$ 中平面与球面之外，是否存在其他满足这些条件的非平凡结构。第二部分：平均曲率零的超曲面与调和映射第三章深入探讨了平均曲率为零（Minimal Surfaces）的超曲面，这是经典极值理论中最核心的一类。我们采用复分析方法（如科伊特曼-斯特拉尔公式的推广形式）来参数化这些曲面，并着重分析了在双曲几何背景下，这些极值曲面如何自然地与调和映射（Harmonic Maps）相关联。书中详细推导了极小曲面满足的Weierstrass方程的几何意义，并展示了如何通过求解特定的椭圆型偏微分方程来构造（或证明不存在）具有特定边界条件或拓扑结构的极小曲面。第四章则将视野拓展到更高维度的平均曲率为零的超曲面（即 $H=0$ 的情况）。我们运用到李群作用下的不变微分算子，特别是关于曲率的二次型方程，来研究这些高维极值结构的局部正则性和全局可延展性。一个重要的主题是“盖伊-安德森猜想”在特定维数下的代数等价表述，以及如何通过能量最小化原理来证明某些稳定极小超曲面的存在性。第三部分：固定边界条件下的极值问题第五章聚焦于边界约束下的极值问题。假设一个超曲面被一个固定的边界 $Sigma$ 所限制，我们研究的是在所有满足边界条件的超曲面中，哪一个具有最小的面积。这直接导出了带有混合边界条件的二阶非线性偏微分方程。书中详细分析了边界项（如法向压力或切向导数）对解的正则性和唯一性的影响。我们应用了最大值原理和比较原理来确立解的先验估计。第六章讨论了曲率积分的极值问题。例如，我们考虑最小化曲率的平方和 $int_M | ext{II}|^2 dV$ 这样的能量泛函。这类问题通常会导出演化方程，描述曲面如何随时间演化以趋向于极值状态（类似于曲面流）。我们分析了这类流的局部存在性、光滑性和可能的奇点形成机制。重点关注了如何利用几何不等式（如索博列夫不等式在黎曼流形上的推广）来控制解的渐进行为。第四部分：拓扑与全局性质第七章探讨了极值超曲面在拓扑结构上的限制。我们利用辛几何和拓扑不变量（如陈示性类）来研究嵌入空间中的极小曲面。书中包含了一个关于“不存在具有给定拓扑结构的紧致极小曲面”的详细论证，该论证依赖于对高斯微分形式的积分分析。我们展示了如何利用关于曲率的积分恒等式来建立拓扑与几何特征之间的约束关系。第八章是关于全局极值的讨论，特别是关于“闭合的、嵌入的极值超曲面”的研究。对于 $mathbb{R}^{n+1}$ 而言，紧致的极值超曲面（非平凡的）在某种意义上是罕见的。我们复习了著名的“辛格猜想”在特定背景下的推广，并探讨了关于具有正的或负的平均曲率的超曲面的全局上界和下界的存在性，这些曲面通常与特定的势函数方程相关联。结论与展望本书的最后一部分总结了当前研究的主要进展，并提出了未来可能的研究方向，包括如何将这些纯粹的欧几里得几何理论扩展到洛伦兹几何或黎曼流形上的情形，以及如何利用数值方法来验证和探索复杂边界条件下的极值结构。本书的价值在于提供了一个统一的框架，将几何直觉、变分法和偏微分方程理论紧密地结合起来，为读者提供了一套用于分析和构造具有内在最优性质的几何对象的强大工具。读者在阅读本书时，需要对基础的微分几何、泛函分析以及椭圆型偏微分方程有扎实的了解。 --- 关键词：极值超曲面、平均曲率、微分几何、变分法、偏微分方程、高维几何、拓扑约束。