Exactly Solved Models pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Not Available (NA)

出品人:

页数:640

译者:

出版时间:2009-3

价格:$ 198.00

装帧:

isbn号码:9789812813886

丛书系列:

图书标签:

• 物理学
• 数学物理
• 量子力学
• 统计力学
• 凝聚态物理
• 精确解
• 模型
• 理论物理
• 可解模型
• 高等教育

《完美解析：数学模型在自然科学与工程中的应用》 图书简介 本书旨在深入探讨在自然科学与工程领域中，如何构建、分析和应用精确可解（Exactly Solved）的数学模型。我们聚焦于那些在理论上或实践中，能够通过严格的解析方法求得精确解的模型，这些模型为理解复杂系统的基本机制提供了无可替代的基石。不同于依赖数值逼近或统计推断的方法，本书强调解析解在揭示系统内在联系和行为边界方面的独特优势。 本书内容涵盖了从基础理论到前沿应用的广泛领域，共分为六个主要部分，旨在为物理学、材料科学、生物物理学以及高级工程领域的学生、研究人员和从业者提供一个全面的学习框架。 --- 第一部分：解析建模的理论基础与工具 本部分奠定了精确求解模型所需的数学基础，重点在于那些允许构造封闭形式解的微分方程和积分方程理论。 第一章：线性与非线性微分方程的解析求解 本章系统回顾了常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的经典求解技术。重点在于分离变量法、积分因子法以及拉普拉斯/傅里叶变换在求解特定边界条件下的线性方程中的应用。对于非线性方程，我们引入了李群不变性分析的基本概念，展示如何通过对称性搜索特定的解析解族，例如Darboux 变换在某些可积系统中的应用。特别地，我们将详细分析高阶线性常微分方程的幂级数解法及其在特殊函数（如贝塞尔函数、勒让德多项式）生成过程中的作用。 第二章：特殊函数与积分变换在物理模型中的角色 特殊函数是解析解的“语言”。本章深入探讨了超几何函数、柱函数（Bessel Functions）及其在波动方程、扩散方程、热传导问题边界值求解中的具体应用。我们详细推导了格林函数（Green's Functions）的构造过程，并展示如何利用它将复杂的非齐次微分方程转化为形式简单的积分方程，从而实现精确解的构建。本章还包含对傅里叶-贝塞尔级数在圆柱和球坐标系中解析边界值问题求解的细致阐述。 第三章：可积系统与守恒定律 本部分探讨了那些具有足够多守恒量，从而可以被完全求解的系统。我们将介绍哈密顿力学框架下，保守系统的相空间分析方法。对于某些一维非线性波动问题，我们将引入反散射变换（Inverse Scattering Transform, IST）的初步概念，展示如何通过特定的线性变换来精确求解Korteweg-de Vries (KdV) 方程等经典的非线性演化方程。 --- 第二部分：连续介质力学中的精确模型 本部分侧重于经典和现代连续介质理论中可解析处理的理想化模型。 第四章：理想流体与伯努利原理的解析构造 本章专注于欧拉方程在特定（如定常、不可压缩、无旋）条件下的解析简化。我们将详细推导伯努利方程的严格几何意义，并应用于翼型理论的早期模型，如二维不可压缩流动的拉普拉斯方程求解，包括使用共形映射（如霍夫曼映射）来精确描绘流线和压力分布。 第五章：线弹性与薄膜理论的精确解 针对小变形理论，本章分析了平面应力/平面应变问题，通过应力函数（Airy Stress Function）将平衡方程转化为双调和方程，并演示了如何利用复变函数方法（如Kolos-Muskhelishvili方法）精确求解带孔或裂纹的二维弹性体问题。此外，我们还将探讨悬臂梁的欧拉-伯努利梁理论的精确解析解的推导，重点在于特征值问题和模态分析。 --- 第三部分：量子力学与统计物理的基石模型 本部分关注那些作为理论基石，其薛定谔方程或玻尔兹曼方程具有已知解析解的理想化系统。 第六章：一维量子势阱与势垒的精确解 本章详述了量子力学中最基础的定态问题。我们将严格求解无限深势阱、有限深势阱的本征能量和波函数。随后，我们将分析三角势垒（矩形势垒）的透射和反射系数的精确计算，这是量子隧穿效应最直观的解析体现。 第七章：简谐振子与氢原子——特殊函数的回归 本章深入研究一维量子谐振子的解析解，展示了如何通过Frobenius 级数法得到能量的量子化，并与厄米特多项式的性质联系起来。随后，我们将概述三维库仑势（氢原子）问题的分离变量求解过程，解释勒让德多项式和拉盖尔多项式如何构成角向和径向波函数的解析表达。 第八章：理想气体与玻尔兹曼方程的解析逼近 在统计物理层面，本章分析了理想气体的运动学描述。我们将讨论玻尔兹曼方程在零阶（Navier-Stokes方程的推导）和一阶（Chapman-Enskog 展开的初始步骤）的解析解析。重点在于对麦克斯韦速率分布的严格推导，以及在稀薄气体动力学中，如何通过Knudsen 数的尺度分析来确定适用解析模型的范围。 --- 第四部分：波动与传播的解析框架 本部分聚焦于描述波现象和场论的核心方程的解析求解技术。 第九章：亥姆霍兹方程的解析边界值问题 本章处理谐波（稳态）波动问题，即亥姆霍兹方程。我们将详细展示在不同几何构型（平面、圆柱、球坐标系）下，如何利用分离变量法构造本征值问题的解析解。特别地，本章将分析均匀介质中点源辐射问题的格林函数解，及其与球面波展开的关系。 第十章：一维非线性波动方程的精确解 本章将超越线性波动方程，探讨如简单波解（Simple Wave Solutions）和自相聚焦解在Burgers 方程（作为守恒律的简化模型）中的应用。我们将分析这些精确解如何展示出激波的自然形成过程，无需依赖数值方法。 --- 第五部分：晶格动力学与离散模型 本部分将视角从连续体转移到原子或离散结构，探讨晶格振动等可精确解析的问题。 第十一章：一维晶格的色散关系 本章分析周期性边界条件下，一维原子链的纵向和横向振动。通过将平衡方程转化为离散差分方程，并应用Floquet 理论或Bloch 定理的原理，我们将严格推导出色散关系（频率 $omega$ 与波数 $k$ 的关系），并解释布里渊区的物理意义。 第十二章：皮克定理与格点上的计数问题 在离散几何分析中，本章引入皮克定理（Pick's Theorem），该定理提供了一种计算任意多边形面积的解析公式，其顶点位于格点上。我们将展示此定理如何应用于简单的二维晶格问题和离散面积估计，作为解析方法在离散几何中的一个精确范例。 --- 第六部分：模型的检验、限制与未来方向 本部分探讨精确解的局限性，以及如何将这些精确模型作为数值方法的基准。 第十三章：解析解的局限性与渐近分析 本章讨论了何时解析解变得不可行（例如，高度非线性和高维问题）。我们将介绍WKB 近似法和鞍点法（Method of Steepest Descent）等高级渐近技术，这些方法在不提供完整解析函数的情况下，仍然可以导出在特定参数极限下精确解的渐近形式。 第十四章：精确模型作为数值验证的标准 本章强调了精确可解模型在工程验证中的关键作用。它论述了如何利用本卷中推导的解析解（如简谐振子的能量本征值或均匀梁的挠度公式）作为有限元法 (FEM) 或有限差分法 (FDM) 的严格基准测试案例，从而确保数值算法的准确性和可靠性。 --- 本书的特点在于其对数学严谨性的坚持，每一个结论都建立在清晰的解析推导之上，为读者提供了理解复杂物理现象背后的简洁、精确的数学结构。通过系统学习这些经典模型，读者将能够更好地把握科学规律的本质，避免过度依赖近似方法的局限性。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆