Local Methods in Nonlinear Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Alexander D. Bruno

出品人:

页数:348

译者:Coleman, Courtney S.

出版时间:1989-04-05

价格:USD 159.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540189268

丛书系列:

图书标签:

非线性微分方程
局部方法
常微分方程
偏微分方程
数值分析
泛函分析
拓扑度
不动点定理
Bifurcation理论
稳定性分析

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具体描述

《局部方法在非线性微分方程中的应用》本书深入探讨了非线性微分方程领域中多种强大的局部方法。非线性微分方程由于其普遍存在于自然科学、工程技术以及经济学等众多学科的建模过程中，因此其研究一直处于数学界的前沿。然而，与线性方程不同，非线性方程往往缺乏普适性的解析解，这使得开发和应用有效的数值和近似方法成为解决实际问题的关键。本书正是聚焦于这些能够揭示非线性系统局部行为的精妙工具。本书首先从基础理论入手，系统梳理了非线性微分方程的定义、分类以及其在不同领域中的典型应用场景，为读者建立起坚实的学科背景。我们将从最基本的局部性质出发，例如函数和方程在某一点附近的表现，逐步引入更复杂的概念。随后，我们将详细介绍一系列核心的局部方法。其中，泰勒展开方法作为一种经典而基础的工具，将在本书中占据重要地位。我们不仅会介绍其基本原理，还会深入分析如何利用泰勒多项式来近似非线性方程的解，并探讨不同阶数泰勒展开在精度和计算复杂度上的权衡。读者将学习到如何根据问题的具体需求选择合适的展开阶数，以及如何处理截断误差。紧接着，我们将聚焦于摄动法。摄动法是处理带有小参数的非线性方程的利器，其核心思想是将问题分解为已知（零阶）问题和由小参数引起的修正项。本书将详细介绍多种摄动法，包括标准摄动法、多尺度分析法以及奇异摄动法。对于每种方法，我们将通过详实的数学推导和丰富的实例，展示其如何有效地处理非线性项带来的挑战，并提取出系统的渐近行为。读者将理解如何识别问题中的“小参数”，以及如何构建和求解摄动级数。此外，本书还将广泛介绍线性化方法。虽然非线性方程本身难以直接求解，但通过将方程在某个平衡点附近进行线性化，我们可以获得一个近似的线性系统。这个线性系统虽然只反映了原非线性系统在局部区域的行为，但其求解相对容易，并且能够揭示原系统的稳定性等关键动力学特征。本书将详细阐述线性化的具体步骤，包括雅可比矩阵的构建，以及如何通过分析线性化系统的特征值来判断原非线性系统的局部稳定性。我们将探讨不同类型的平衡点（如结点、焦点、鞍点等）及其对应的线性化特征。本书还将重点关注差分方法在局部近似上的应用。尽管差分方法通常被视为数值方法，但其本质是利用函数在邻近点上的值来近似其导数或方程本身。我们将介绍有限差分法，包括不同阶数的向前、向后和中心差分格式，并讨论它们如何应用于求解常微分方程和偏微分方程。本书将分析不同差分格式的精度、稳定性和收敛性，并展示如何利用这些方法来近似非线性方程在特定空间区域或时间段内的局部演化。为了更全面地理解局部方法的适用范围和局限性，本书还将引入不动点迭代法。作为一种直观且易于实现的数值方法，不动点迭代法能够通过不断迭代逼近方程的解。我们将分析不同不动点迭代格式的收敛条件，以及如何通过调整迭代函数来加速收敛。此外，我们还会讨论牛顿迭代法，这是一种基于局部线性化思想的高效求解方法，能够快速收敛到方程的根。本书将深入分析牛顿法及其变种，包括其二次收敛性以及在复杂非线性方程求解中的应用。最后，本书将在理论介绍的基础上，结合大量的案例研究。这些案例将涵盖从基础物理（如摆的非线性振动、流体力学中的某些流动方程）到生物学（如种群动力学模型）、化学（如反应动力学）以及工程学（如控制系统、电路分析）等多个领域的实际问题。通过这些具体的问题，读者将能够更直观地理解各种局部方法的具体操作步骤，体会其解决实际问题的有效性，并学习如何根据问题的特点选择最合适的方法。本书旨在为数学、物理、工程等领域的学生、研究人员以及实践工程师提供一个全面而深入的视角，帮助他们掌握和应用非线性微分方程中的关键局部方法，从而更有效地分析和解决复杂的科学与工程问题。我们相信，通过对这些强大工具的深入学习，读者将能够更深刻地理解非线性系统的内在规律，并为进一步探索更广阔的数学和应用领域打下坚实的基础。