Smooth Manifolds and Observables pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Jet Nestruev

出品人:

页数:234

译者:

出版时间:2010-12-3

价格:USD 79.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441930477

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• Springer
• 2010
• 光滑流形
• 可观测量
• 数学物理
• 微分几何
• 拓扑学
• 函数分析
• 量子力学
• 经典力学
• 几何学
• 理论物理

《平滑流形与可观测量》 一本深度探索数学物理核心概念的经典之作，为理解现代几何学与理论物理的交汇点提供了坚实的基础。 本书旨在为读者提供一个关于平滑流形和可观测量之间深刻联系的全面视角。它不仅仅是一本介绍数学工具的书籍，更是一次关于如何在几何框架内理解物理世界基本构成元素的旅程。我们将从流形这一核心概念出发，逐步深入其内在结构，理解其拓扑性质如何与微分几何的语言相结合，从而勾勒出物理现象发生的“舞台”。 第一部分：平滑流形的语言 在本书的开篇，我们将系统地介绍平滑流形的基本概念。这包括： 拓扑空间与度量空间回顾：在进入流形之前，我们将简要回顾读者可能熟悉的拓扑空间和度量空间的定义，强调这些概念如何为流形的构建奠定基础。 流形的定义与构造：我们将详细阐述平滑流形的严格定义，包括局部欧几里得坐标系、邻域同胚以及过渡映射的光滑性要求。读者将学习如何理解一个高维的、弯曲的空间，即使它在局部看起来像欧几里得空间。我们将探讨一些重要的流形例子，如球面、环面、射影空间等，并通过具体构造加深理解。 切空间与向量场：理解流形上的“方向”至关重要。我们将引入切空间的定义，并说明它如何捕捉流形上每一点的局部线性结构。在此基础上，我们将定义向量场，并探讨其在流形上的性质，例如李导数。向量场不仅是几何对象，更是描述流形上动态过程的重要工具。 张量场与微分形式：为了更精细地描述流形上的几何和物理量，我们将引入张量场的概念，包括共变张量、逆变张量以及它们的组合。特别地，我们将重点介绍微分形式，它们是多线性函数，在积分、微分几何和理论物理中扮演着核心角色。读者将学习外微分、内积等运算，以及它们在流形上的应用。 嵌入与浸入：我们将讨论流形之间的映射，特别是嵌入（homeomorphism to an open subset of Rn）和浸入（injective immersion）的概念，以及它们如何允许我们将一个流形“置于”另一个流形之中，或者在不产生奇点的情况下“穿过”另一个流形。 第二部分：可观测量及其在流形上的表达 在建立了流形的几何框架后，我们将转向物理世界的核心——可观测量。本书将展示数学上抽象的流形概念如何成为描述可观测量不可或缺的工具。 函数与代数结构：我们将从最简单的可观测量——定义在流形上的函数入手。这些函数代表着物理量在空间中的取值。我们还将探讨这些函数构成的代数结构，以及如何利用这些代数性质来理解物理系统。 可交换代数与非可交换几何：我们将深入探讨由定义在流形上的可交换函数构成的代数，并将其与非可交换代数进行对比。这一对比将引导我们走向更前沿的数学物理概念，例如非可交换几何，它允许我们研究那些“不那么像流形”的几何对象，但仍然能够被代数结构所描述。 对称性与群作用：物理系统中的对称性往往由群作用来描述。我们将研究群如何作用在流形上，以及这种作用如何影响流形上的几何结构和可观测量。对称性是理解物理规律的关键，例如守恒定律与生成元之间的关系。 李群与李代数：作为描述连续对称性的重要工具，我们将详细介绍李群和李代数。读者将学习如何将李群的作用与流形上的向量场联系起来，以及李代数的运算（如李括号）如何捕捉群的内在结构。 微分算子与量子力学：在量子力学中，可观测量通常由算子来表示。本书将展示如何将微分算子（如拉普拉斯算子）自然地定义在流形上，并讨论它们与物理过程（如扩散或波动）的联系。这将为理解量子场论中的算符代数打下基础。 辛流形与泊松结构：对于许多经典物理系统，描述其相空间的几何结构至关重要。我们将介绍辛流形及其相关的泊松结构，以及它们如何成为经典力学中可观测量代数化的基础。 本书特色： 严谨的数学表述与直观的物理解释相结合：我们力求在数学的严谨性和物理的直观性之间找到最佳平衡，使读者能够深刻理解抽象概念背后的物理意义。 由浅入深，循序渐进：从基本的流形概念到更复杂的代数和几何结构，本书的编排设计确保了学习路径的连贯性和可理解性。 丰富的例子与练习：书中穿插了大量的具体例子，帮助读者巩固所学知识。配套的练习题将进一步挑战和深化读者的理解。 面向广泛的读者群体：本书适合数学、物理以及理论化学等领域的本科高年级学生、研究生以及对现代几何与物理交叉领域感兴趣的研究人员。 通过对《平滑流形与可观测量》的学习，您将能够： 掌握描述光滑流形的必备数学工具。 理解可观测量如何在几何框架中被精确地定义和操作。 建立从几何结构到物理现象的桥梁。 为进一步深入研究微分几何、拓扑学、量子力学、弦理论等领域打下坚实基础。 这本书不仅是一次学习数学的旅程，更是一次探索宇宙基本规律的智力冒险。

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本书可以作为理解基础流形代数化概念的引论。流形上的微积分本质是交换代数：一般的都是先定义光滑流形M，在定义光滑流形上光滑函数的代数。本书反向，先定义R上交换代数，定义流形是代数上的谱spec（理想）。关键的关系是流形上的点和代数的同态一一对应。还附加了量子力学中的对应数学物理词汇辞典，就是非交换性。向量丛上的截面集合有一个模结构和代数上的模结构等价。向量丛可以从格拉斯曼流形上的重义丛上诱导过来（高斯映射）。场，微分形式理解为光滑函数组成的代数上的模。

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本书可以作为理解基础流形代数化概念的引论。流形上的微积分本质是交换代数：一般的都是先定义光滑流形M，在定义光滑流形上光滑函数的代数。本书反向，先定义R上交换代数，定义流形是代数上的谱spec（理想）。关键的关系是流形上的点和代数的同态一一对应。还附加了量子力学中的对应数学物理词汇辞典，就是非交换性。向量丛上的截面集合有一个模结构和代数上的模结构等价。向量丛可以从格拉斯曼流形上的重义丛上诱导过来（高斯映射）。场，微分形式理解为光滑函数组成的代数上的模。

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本书可以作为理解基础流形代数化概念的引论。流形上的微积分本质是交换代数：一般的都是先定义光滑流形M，在定义光滑流形上光滑函数的代数。本书反向，先定义R上交换代数，定义流形是代数上的谱spec（理想）。关键的关系是流形上的点和代数的同态一一对应。还附加了量子力学中的对应数学物理词汇辞典，就是非交换性。向量丛上的截面集合有一个模结构和代数上的模结构等价。向量丛可以从格拉斯曼流形上的重义丛上诱导过来（高斯映射）。场，微分形式理解为光滑函数组成的代数上的模。

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