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出版者:American Mathematical Society

作者:Janos Pach and Micha Sharir

出品人:

页数:235

译者:

出版时间:2008-12-17

价格:USD 77.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821846919

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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深入探索离散数学的优雅与力量：一本面向现代应用的新视野 图书名称：《离散结构与计算范式》 图书简介： 本书旨在为读者提供对现代离散数学核心概念及其在计算科学、优化理论和复杂系统分析中广泛应用的全面而深入的视角。我们聚焦于那些构成了当代信息技术和工程实践基石的数学工具和思维模式，着重于清晰的理论阐述与实际问题的紧密结合。本书不仅是数学理论的教科书，更是一本关于如何利用数学的精确性来解决现实世界挑战的实用指南。 第一部分：基础理论的重塑与深化 本书的第一部分致力于巩固读者对离散数学基础的理解，但突破了传统教科书的静态描述。我们以现代视角重新审视集合论、逻辑与证明的构建，强调在高度并行化和大数据背景下，形式化方法的必要性和有效性。 1. 现代数理逻辑与可计算性理论： 这一章节深入探讨了高阶逻辑、模态逻辑在知识表示和人工智能推理中的应用。我们详细分析了图灵机模型的局限性及其在量子计算背景下的理论延伸。重点讲解了判定问题（Decidability）与不可判定性（Undecidability）的边界，特别是对于特定复杂系统建模中的内在限制。我们利用范畴论的语言，对不同逻辑系统的对偶性和转换进行了严谨的讨论，为理解复杂系统的结构提供了更深层次的工具。 2. 集合论与大基数： 除了标准的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）之外，本书引入了对构造性集合论（Constructive Set Theory）的探讨，特别关注其在算法设计中对“存在性证明”的实际意义。我们对不同大小的无穷（如可数、不可数、以及基数算术）进行了细致的分析，并简要介绍了超实数系统（Surreal Numbers）在某些非标准分析问题中的应用潜力，尽管我们并未深入其分析学的细节。 3. 组合计数的新范式： 传统的排列组合公式被置于更广阔的框架下进行考察。我们侧重于使用生成函数（Generating Functions）和指数生成函数（Exponential Generating Functions）来解决具有对称性或结构约束的问题。特别是，对玻利亚计数定理（Pólya Enumeration Theorem）的详尽阐述，使得读者能够系统性地解决涉及对称群作用下的计数难题，例如化学分子结构或编码方案的计数。我们还探讨了在有限域上的计数问题，为密码学中的有限域理论打下基础。 第二部分：图论——网络结构与算法的交汇 本书的第二部分将图论提升到核心地位，视其为描述和分析现代网络（从互联网到生物分子网络）的通用语言。我们关注的重点在于图的结构特性如何直接影响算法的效率和系统的鲁棒性。 4. 图的拓扑特性与嵌入： 在深入研究连通性、割集、匹配和覆盖的同时，本书花费大量篇幅讨论图的嵌入理论。我们探讨了平面图的对偶概念、库拉托夫斯基定理的实际意义，并引入了高维空间中的图嵌入问题，如流形学习中的邻域保持嵌入（Neighborhood Preserving Embedding）。对拓扑图不变量（如霍莫同群的初步概念）的介绍，旨在揭示超越传统路径和距离测量的结构深度。 5. 极值图论与随机图模型： 经典的图论极值问题，如图的密度与着色数的关系（如布鲁克定理、威尔逊定理），被置于优化问题的视角下进行分析。随后，我们转向随机图论，详细阐述了Erdős–Rényi模型和Barabási–Albert (BA) 无标度网络模型。重点在于理解“小世界效应”和“富者愈富”的机制如何从数学模型中涌现，以及这些模型如何指导我们构建更具弹性的网络架构。 6. 图上的算法设计与分析： 这一章节严格区分了P类问题和NP难问题的界限。我们详细分析了最短路径算法（如Dijkstra、Floyd-Warshall的现代变体），最小生成树算法的并行化处理。对于NP难问题（如旅行商问题TSP、最大割），我们不追求找到精确解，而是专注于近似算法的设计，如利用拉格朗日松弛和半定规划（SDP）松弛技术来获得高质量的近似比。 第三部分：代数结构在离散系统中的应用 第三部分将代数工具箱应用于离散问题的解决方案中，展示了代数结构如何为信息处理提供简洁而强大的框架。 7. 抽象代数与编码理论： 我们回顾了群论、环论和域论，但着重于其在信息论中的直接应用。对有限域 $mathbb{F}_{p^k}$ 的深入理解是理解纠错码（如BCH码、Reed-Solomon码）和现代密码系统（如椭圆曲线密码ECC）的基础。本书提供了详细的代数结构构造，解释了如何通过线性代数在向量空间上定义编码和解码过程，并分析了它们的最小距离和纠错能力。 8. 格（Lattice）理论与计算： 格理论作为介于序理论和代数之间的独特结构，在本章占据重要地位。我们研究了分配格、有界格，并将其与布尔代数联系起来。随后，重点转移到计算格问题（Lattice Problems），包括最近向量问题（CVP）和最短向量问题（SVP）。我们讨论了LLL约化算法的基本原理，并简要介绍了格基密码学的安全性基础，强调其相对于传统公钥体系的潜在优势。 第四部分：离散优化与复杂性理论的桥梁 本书的最后部分将视角投向如何使用离散数学工具进行决策和资源分配，并探讨了计算复杂性的前沿问题。 9. 整数规划与线性规划的离散化： 我们将线性规划（LP）作为连续优化模型，探讨如何将其转化为或应用于解决整数规划（IP）问题。重点分析了割平面法（Cutting Plane Method）和分支定界法（Branch and Bound）的内在机制，这些方法是求解大规模调度、资源分配和网络流问题的关键。我们还引入了对对偶理论的理解，以评估解的敏感性和可行性。 10. 计算复杂性理论的现代视角： 深入探讨了P、NP、NP-完全性理论，并扩展到更广阔的复杂性类，如PSPACE和EXPTIME。本书特别关注于证明技巧，如约化（Reduction）的严谨构建。此外，我们讨论了交互式证明系统（Interactive Proof Systems）和概率性检查（Probabilistic Checking），探讨了如何用随机性来刻画问题的可解性边界，为理解零知识证明（Zero-Knowledge Proofs）的理论根源奠定坚实的基础。 目标读者： 本书适合于计算机科学、应用数学、运筹学、电气工程以及理论物理等领域的本科高年级学生和研究生，以及希望系统回顾和深化离散结构知识以应用于前沿计算挑战的专业研究人员。本书假设读者具备扎实的微积分和线性代数基础。通过本书的学习，读者将能够从根本上理解和掌握现代计算科学中结构化思维的核心力量。

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作为一名对理论计算机科学怀有深厚热情的人，我一直渴望找到一本能够将几何学的抽象美与算法设计的实用性完美结合的书籍，《Combinatorial Geometry and Its Algorithmic Applications》简直就是我梦寐以求的那一本！这本书的开篇就以一种引人入胜的方式，将我带入了一个充满逻辑严谨和结构优美的世界。它并没有简单地罗列各种几何概念，而是从组合的视角出发，探讨了各种几何对象之间的关系，以及这些关系如何影响算法的设计和效率。我特别欣赏书中对于凸集、多面体、线性规划等内容的论述，这些都是解决许多复杂计算问题的基础。而且，作者并没有止步于理论，而是将这些理论概念与具体的算法紧密联系起来，比如关于图算法在几何问题中的应用，以及一些经典几何算法的复杂度分析。书中的例题设计也非常巧妙，能够帮助读者巩固所学的知识，并培养解决问题的能力。我甚至觉得，这本书不仅仅是关于组合几何，更是一种思维方式的训练，它教会我如何用更具结构化和系统性的方式去思考问题。阅读这本书的过程，就像在进行一场智力探险，充满了惊喜和发现。

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我一直对算法的底层原理充满好奇，而《Combinatorial Geometry and Its Algorithmic Applications》这本书则满足了我对计算几何算法深入探索的愿望。作为一名对算法设计有着浓厚兴趣的程序员，我常常思考如何才能设计出更高效、更优美的算法来解决问题。这本书正好填补了我在这方面的知识空白。它以组合几何的视角，系统地介绍了许多核心的计算几何算法，比如最近邻搜索、最大间隙问题、最小覆盖问题等等，并且对这些算法的原理、实现细节以及性能分析都进行了详尽的阐述。我特别欣赏书中对证明过程的细致描述，这让我能够真正理解算法背后的数学逻辑，而不是仅仅停留在“知道怎么用”的层面。书中的图示也非常精美，能够直观地展示算法的执行过程，大大提高了我的理解效率。我甚至发现书中介绍的一些算法，在处理大规模点云数据、进行碰撞检测等方面具有非常重要的应用价值，这让我对计算几何在工业界和科学研究领域的广泛应用有了更深刻的认识。这本书的阅读体验非常棒，虽然内容有些挑战性，但每攻克一个难点，都能带来巨大的满足感。

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天呐，我最近入手的这本《Combinatorial Geometry and Its Algorithmic Applications》简直把我镇住了！我是一名软件工程师，平时处理算法和数据结构方面的东西比较多，但一直觉得几何这块是个盲区。这本书封面设计就很有学术范儿，沉甸甸的，拿到手里就感觉很有分量。翻开第一页，就被作者严谨的逻辑和清晰的表述深深吸引。即使是刚接触组合几何，也感觉被引到一个充满逻辑美感的世界。书中关于点集、线段、多边形等基本概念的介绍，都做到了既全面又深入，而且还时不时地穿插一些巧妙的几何证明，读起来就像在解一道道精妙的数学谜题。最让我惊喜的是，它并没有停留在纯粹的理论层面，而是紧密联系了计算机科学的应用，比如关于计算几何在计算机图形学、机器人路径规划、以及数据可视化等领域的实际案例，这些都让我这个开发者大开眼界，看到了理论知识在现实世界中的巨大价值。我甚至开始思考，是不是可以尝试将书中的某些算法应用到我目前正在进行的项目中，优化一下性能。这本书的排版也非常舒服，大量的图示和公式清晰明了，即使是复杂的证明过程，也能通过直观的图形辅助理解，大大降低了学习难度。我迫不及待地想把后面的章节都啃下来，感觉自己即将打开一扇通往计算几何新世界的大门。

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刚拿到《Combinatorial Geometry and Its Algorithmic Applications》这本书，就有一种被知识的厚重感所淹没的感觉。我一直对数学和计算机科学交叉的领域很感兴趣，尤其是在解决一些复杂的现实问题时，几何的思维方式往往能带来意想不到的解决方案。这本书的内容正如其名，将组合学与几何学巧妙地结合起来，并且深入探讨了其在算法设计中的应用。书中的论述非常严谨，对每个概念的定义、定理的推导都力求做到无可挑剔，这对于我这种喜欢刨根问底的人来说，简直是福音。我特别喜欢书中关于凸包、 Delaunay 三角剖分、 Voronoi 图等经典计算几何问题的介绍，这些内容不仅理论扎实，而且作者还详细阐述了与之相关的各种高效算法，包括它们的复杂度分析和实现细节。我感觉通过阅读这本书，我不仅能够理解这些几何结构的美妙之处，更能掌握如何用代码去实现它们，从而解决实际工程中的难题。书中还提及了许多前沿的研究方向，比如在机器学习、图像识别等领域的应用，这让我看到了组合几何学在未来发展的巨大潜力，也为我提供了新的研究思路。虽然这本书的阅读量不小，但每一页都充满了智慧的火花，让人在学习的过程中充满成就感。

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我一直认为，数学的美丽在于其抽象性和普适性，《Combinatorial Geometry and Its Algorithmic Applications》这本书恰恰印证了这一点。这本书不仅仅是一本关于几何学的教材，更是一本关于如何用几何思维去解决实际问题的指南。我是一名在研究领域工作的学生，经常需要处理一些涉及空间关系的复杂问题，而这本书为我提供了强大的理论支持和丰富的算法工具。书中对组合几何基本概念的梳理非常清晰，比如关于点、线、面的组合关系，以及各种几何对象的拓扑性质的探讨，都做得非常到位。让我印象深刻的是，书中并没有回避复杂的问题，而是通过详细的分析和严谨的证明，层层剥开问题的本质。尤其是关于图论与几何学的结合，以及在网络设计、空间划分等方面的应用，都让我受益匪浅。我甚至发现书中介绍的一些算法，可以很好地应用于我目前正在进行的一项关于地理信息系统（GIS）数据处理的研究项目，这让我感到非常兴奋。这本书的论述风格非常适合我这种需要深入理解原理的研究者，它鼓励读者独立思考，并尝试将理论知识转化为实际应用。

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