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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Joe Harris

出品人:

页数:347

译者:

出版时间:2010-12-1

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441930996

丛书系列:

图书标签:

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《代数几何》是一本深入探索代数几何这一数学分支的著作。本书旨在为读者提供一个清晰、严谨且全面的学习框架，引导读者逐步掌握代数几何的核心概念、重要理论及其在现代数学中的广泛应用。 本书的起点是代数方程组的几何解释。我们将从最基础的多项式方程入手，探讨这些方程所定义的几何对象——代数簇。通过代数方法研究几何图形，是代数几何的独特之处。我们将详细介绍环论与代数簇之间的深刻联系，特别是诺特定理、希尔伯特基定理等基础性成果，这些定理构成了代数几何的基石。读者将学习如何利用代数工具描述和分类几何对象，例如理解不同类型的代数簇，如曲线、曲面等。 随着内容的深入，本书将引入概形论这一现代代数几何的核心语言。概形论极大地扩展了代数几何的研究范围，使其能够处理更一般、更抽象的几何对象。我们将详细阐述概形的概念，包括局域环、理想及其对应的概形，并讨论概形之间的态射。这部分内容将为理解更高级的代数几何概念奠定坚实的基础。读者将学会如何从抽象的代数结构中“看”到几何信息，并理解概形论在统一代数和几何方面的力量。 本书还将重点关注层论在代数几何中的应用。层提供了一种在空间上“收集”局部信息的强大框架。我们将介绍预层、层以及相干层等概念，并深入探讨相干层在研究代数簇上的重要作用，例如与向量丛、除子等的联系。我们还将讨论一些重要的上同调理论，如Sheaf Cohomology，它提供了研究代数簇全局性质的有力工具。通过学习上同调理论，读者将能够解决许多仅靠代数或基本几何方法难以解决的问题。 本书还将探讨一些重要的代数几何主题，例如： 李群与李代数： 虽然李群与李代数属于微分几何和表示论的范畴，但它们在代数群的研究中扮演着至关重要的角色。本书将概述代数群的基本概念，以及如何利用代数几何的工具研究代数李群的结构和性质。 代数曲线论： 代数曲线是代数几何研究中最重要也是最古老的对象之一。本书将深入探讨代数曲线的分类、模空间、函数域以及与Riemann曲面等概念的联系。 代数曲面论： 随着维度的增加，代数曲面的研究变得更加复杂和丰富。本书将介绍代数曲面的基本分类，包括 Castelnuovo-Severi 不等式，以及一些重要的曲面类型，如Blow-ups 和ruled surfaces。 代数簇的模空间： 模空间是代数几何中一个非常重要的概念，它提供了一种研究几何对象族的方式。本书将介绍模空间的构造和性质，以及它们在研究代数簇的分类和性质上的应用。 代数几何中的几何分析： 随着数学的发展，代数几何与分析的交叉日益频繁。本书将探讨一些与代数簇上的度量、曲率等几何分析相关的概念，尽管这部分内容可能不会非常深入，但会为读者提供一个初步的了解。 代数几何与其他数学分支的联系： 代数几何作为一门中心性的数学学科，与数论、拓扑学、表示论、复分析等许多数学分支有着深刻的联系。本书将在适当的地方指出这些联系，并提供进一步阅读的建议，帮助读者理解代数几何在整个数学体系中的地位。 本书的写作风格力求严谨而易于理解。每章都包含丰富的例子和练习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并培养独立解决问题的能力。本书适合具有一定抽象代数和微分几何基础的数学专业本科生、研究生以及对代数几何感兴趣的科研人员阅读。通过对本书的学习，读者将能够建立起扎实的代数几何理论基础，并为进一步深入研究代数几何的各个方向打下坚实的基础。

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这本书的习题部分简直是另一个世界的挑战。那些题目不是简单地检验你是否记住了某个定义或推导了某个引理，而是要求你运用书中所有分散的、看似不相关的概念，去构建一个全新的、复杂的结构。我看了好几章的理论，感觉自己好像掌握了一些“积木块”，但当我翻到习题时，却发现我需要用这些积木块去搭建一座复杂的哥特式大教堂，而书里从未给出过任何搭建指南。有些习题的难度已经超出了“巩固理解”的范畴，更像是研究生的毕业论文选题。我曾尝试着去解开一个关于“模空间紧化”的问题，但很快就被卷入了一个需要跨越多个高级代数分支的泥潭，最终不得不放弃。这表明，这本书的作者对待“练习”的态度是极其严苛的，他似乎相信，只有在完全没有提示的情况下独立完成这些艰巨的推导，才能真正掌握这些知识的精髓。对于普通读者来说，这无疑是一条异常陡峭的学习曲线。

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这本书的语言风格极其学术化，充满了冗长而复杂的从句，让人不得不反复阅读才能准确把握其意图。我特别注意了作者如何处理“上同调”这个概念，他直接将导出函子的定义抛了出来，完全没有提及这种工具的几何动机——即如何用代数语言来“计数”空间中的“洞”或“缺失”。这种对直觉的漠视，使得那些初次接触的读者很难建立起与几何直觉的联系。我试着将书中的某些证明过程在草稿纸上用更简洁、更具几何意味的语言重新表述一遍，但发现这几乎是不可能的，因为作者的证明完全是基于纯粹的范畴论的对偶性和函子操作。这让我不禁思考，这本书究竟是服务于数学家们进行严谨的符号演算，还是服务于那些渴望理解几何背后“美感”的研究者。从读者的角度来看，它显然更倾向于前者，牺牲了可读性来换取无可指摘的逻辑严密性。

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作为一名自学者，我原本期望这本书能提供一个清晰的路线图，引导我从一个相对熟悉的基础进入这个深奥的领域。然而，这本书给我的感觉更像是一本被截取的、高度浓缩的讲义集合。它似乎预设了读者已经完全掌握了诸如古典代数几何中的所有概念，并且对现代的概形理论有着深刻的理解。书中的术语引入得非常突然，没有循序渐进的铺垫。例如，当“局部环”的概念出现时，作者直接就用了，没有花时间去解释为什么在代数几何中，我们必须放弃对整体空间的宏观视野，转而关注其无穷多个“局部”的特性。这使得我在阅读过程中频繁地需要停下来，去查阅其他更基础的参考书来补课。这种“查阅循环”极大地打断了我的学习节奏，使得我对这本书的整体连贯性产生了很大的质疑。它更像是一部工具书的索引，而不是一本导览手册，适合用来查阅特定定理的精确表述，而不适合用来构建系统的知识体系。

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这本书的排版和装帧简直让人抓狂。纸张的质感像是最廉价的再生纸，拿在手里总有一种粗糙感，而且印刷的墨色深浅不一，有些公式的细节在昏暗的灯光下几乎看不清。更要命的是，书中的图示少得可怜，对于这种高度依赖几何直觉的学科来说，没有足够的图示辅助理解简直是灾难。作者似乎坚信“眼见为虚，唯有逻辑推导才是真理”，所以大量依赖于纯粹的符号操作和逻辑链条。我翻到讨论“奇点理论”的那几页，满眼都是希腊字母和复杂的分式，如果不是我对这个领域略有耳闻，我甚至会怀疑我拿到的究竟是不是一本数学著作。我最不适应的是它的章节组织方式，逻辑跳跃性很大，前一页还在讨论某个光滑流形上的向量场，下一页突然就跳到了某个数域上的代数簇的模空间，中间的桥梁全靠读者自己去搭设。感觉作者写这本书时，是把所有他认为“显而易见”的中间步骤都省略掉了，留给读者的就是一片充满巨大鸿沟的荒原。

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这本书的封面设计简洁得有些过分了，纯白底配上黑色的衬线字体，就像一本老旧的教科书。翻开内页，首先映入眼帘的是密密麻麻的定义和定理，感觉像是在阅读一份法律条文。我花了整整一个下午，试图理解开篇关于“概形”的定义，但那些抽象的符号和概念，如同迷雾一样笼罩着我。作者的行文风格非常严谨，几乎不允许任何概念上的含糊不清，但这种过度严谨反而使得初学者感到寸步难行。书中的例子非常少，即便有，也往往是那种高度精炼、需要读者自行脑补无数背景知识才能理解的“例证”。我尝试用一些基础的代数知识去套用，结果发现这里的“代数”与我过去所学的完全不在一个频道。这本书更像是一本写给已经精通了拓扑、范畴论和交换代数的大牛们的内部参考手册，而非一本面向大众的入门读物。读完第一章，我感觉自己更像是在攀登一座陡峭的花岗岩峭壁，每一步都充满了不确定性，每一步都可能滑落。那种知识的厚重感，压得人喘不过气来，需要极大的毅力和专注力才能勉强跟上作者的思路。

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