Classification Theory of Algebraic Varieties and Compact Complex Spaces (Lecture Notes in Mathematic pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:K. Ueno

出品人:

页数:278

译者:

出版时间:1975-04-16

价格:USD 46.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540071389

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• Algebraic Varieties
• Compact Complex Spaces
• Classification Theory
• Complex Geometry
• Algebraic Geometry
• Lecture Notes in Mathematics
• Mathematics
• Topology
• Schemes
• Cohomology Theory

代数簇与紧复空间的分类理论 引言 自二十世纪初以来，代数几何便一直是数学研究的璀璨明珠，而对代数簇的分类问题更是其中的核心课题之一。代数簇，作为多项式方程的零点集合，蕴含着丰富的几何与代数信息。理解和分类这些几何对象，不仅有助于我们深入认识代数结构，也为解析几何、微分几何乃至理论物理等诸多领域提供了深刻的洞见。 本书《Classification Theory of Algebraic Varieties and Compact Complex Spaces》正是聚焦于代数簇这一核心对象，并将其延伸至与之紧密相关的紧复空间，系统地梳理了代数簇的分类理论，揭示了不同类型代数簇之间的内在联系与演化规律。通过对该领域关键概念、重要工具以及前沿进展的深入探讨，本书旨在为读者构建一个关于代数簇分类的完整而深刻的理解框架。 核心内容概述 本书的核心在于对代数簇进行分类，这通常意味着寻找一组能够区分不同代数簇的“不变量”，并通过这些不变量来构建一个系统的分类体系。分类的目标是将庞大而复杂的代数簇世界，转化为一系列具有明确结构特征的“基本块”，从而更容易地理解和研究它们。 1. 代数簇的几何与代数性质 在展开分类之前，本书首先会建立坚实的理论基础，详细介绍代数簇的基本概念和性质。这包括： 代数簇的定义与构造：从最基本的仿射簇和射影簇开始，阐述其代数定义（多项式方程的零点集）以及几何直观，并介绍如何通过交换代数中的理想来描述代数簇。 几何不变量：介绍一系列用于描述和区分代数簇的几何不变量，例如： 贝蒂数（Betti Numbers）：衡量复流形的同调群的维数，反映了空间的“洞”的数量和维度。 霍奇数（Hodge Numbers）：对复代数簇而言，霍奇分解提供了比贝蒂数更精细的信息，霍奇数揭示了代数簇的代数结构对复结构的制约。 商数（Quotients）：例如，函数域的商数（如Genus）在曲线分类中起着核心作用。 奇点（Singularities）：对奇点进行分类和理解，对于非光滑代数簇的分类至关重要。 代数结构：代数簇的结构与其上的正则函数环密切相关。本书会探讨函数域（function fields）的性质，以及它们如何决定代数簇的几何特征。 2. 紧复空间的分类 本书还将目光投向了复几何中的另一重要类——紧复空间。紧复空间是代数簇在复数域上的一个重要推广，它们在拓扑和分析上表现出许多优美的性质。本书将阐释代数簇与紧复空间之间的联系，以及分类理论如何统一处理这两类对象。 紧复空间的定义与性质：介绍紧复空间的定义，并重点关注它们与代数簇的关联，例如，代数簇如果定义在复数域上，其复化（complexification）就是一个紧复空间（如果是有理簇）。 代数化（Algebraization）：讨论在何种条件下，一个紧复空间可以被视为一个代数簇的复化，以及由此带来的分类上的便利。 3. 分类的策略与工具 分类问题的解决需要一系列强大的数学工具和策略。本书将深入介绍这些关键要素： 维度（Dimension）：代数簇的维度是其最基本的分类不变量。本书将讨论不同维度的代数簇（如曲线、曲面）的分类。 黎曼-希尔伯特对应（Riemann-Hilbert Correspondence）：虽然不是直接的分类工具，但它揭示了代数几何与微分方程之间的深刻联系，为理解几何对象的某些不变量提供了视角。 代数曲面分类：这是代数几何中一个非常成熟且重要的分支。本书将详细介绍经典代数曲面分类，包括： 基本群（Fundamental Group）：拓扑不变量，用于区分不同代数簇。 Picard 群：研究代数簇上的线丛（line bundles），它对于理解代数簇的几何结构至关重要，特别是对于曲面而言。 Hodges 结构：对代数曲面而言，Hodges 结构提供了更精细的分类信息。 有理曲面（Rational Surfaces）：例如Blow-ups of P2，以及其他类型的有理曲面，它们在分类体系中扮演着基础角色。 K3 曲面：一类特殊的代数曲面，具有许多有趣的性质，其分类是代数几何研究的热点。 Abel 曲面：又称主极化阿贝尔簇，是代数几何和复几何中的重要对象。 高维代数簇的分类：随着维度的增加，分类问题变得愈发复杂。本书将介绍当前在高维代数簇分类方面的一些主要进展和挑战，例如： Mori 纲领（Mori Program）：一个旨在通过“翻折”（flips）和“缩短”（shrinks）来分类一般型代数簇（algebraic varieties of general type）的宏大计划。Mori 纲领的建立是代数几何领域最重要的进展之一，它提供了理解高维代数簇结构的一般性框架。 极小模型纲领（Minimal Model Program, MMP）：Mori 纲领的一个核心思想，旨在找到代数簇的一个“极小模型”，这个极小模型在一定意义上是最“简单”的表示，并且保留了原簇的大部分几何信息。MMP 的发展是现代代数几何的基石。 一般的代数簇：对不属于一般型的代数簇（如Fano簇、Kelvin簇）的分类方法和思想。 4. 理论的应用与展望 本书不仅梳理了分类理论的形成和发展，也展望了其在更广泛数学领域中的应用和未来发展方向。 连接其他数学分支：代数簇的分类问题与数论、拓扑学、微分几何、表示论乃至理论物理（如弦论）等领域有着深刻的联系。本书可能会探讨这些联系，展示分类理论的普适性和强大生命力。 未解决的问题与前沿研究：代数几何是一个充满活力且不断发展的领域，许多重要的分类问题仍然悬而未决。本书将点出这些关键的研究方向，为读者提供进一步探索的线索。 结论 《Classification Theory of Algebraic Varieties and Compact Complex Spaces》是一部深入探讨代数簇与紧复空间分类理论的著作。它系统地梳理了从经典到现代的分类方法、核心概念和重要工具，特别是围绕 Mori 纲领和极小模型纲领的进展，为读者提供了一个全面而深刻的理解。本书不仅是代数几何领域研究者们的宝贵参考，也为对该领域感兴趣的数学爱好者提供了深入学习的绝佳机会，是理解现代代数几何的关键著作之一。

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