Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Ivan Singer

出品人:

页数:0

译者:Radu Georgescu

出版时间:1970-11-9

价格:USD 89.95

装帧:

isbn号码:9783540051169

丛书系列:

图书标签:

• Approximation theory
• Functional analysis
• Linear spaces
• Best approximation
• Subspaces
• Normed spaces
• Optimization
• Numerical analysis
• Convexity
• Least squares

《最优逼近：赋范线性空间中的线性子空间元素逼近理论与应用》 核心内容概述： 本书深入探讨了在赋范线性空间（Normed Linear Spaces）中，如何利用线性子空间（Linear Subspaces）的元素来对空间中的任意元素进行最优逼近。本书不仅构建了完备的理论框架，阐述了最优逼近存在的条件、唯一性以及逼近误差的刻画，还广泛介绍了一系列相关的理论工具、分析方法以及在不同应用领域的实践范例。内容涵盖了逼近论的基础概念，如范数、线性空间、子空间，到核心理论，如最佳逼近算子、逼近度量、逼近函数、逼近类的刻画，再到具体方法的探讨，如多项式逼近、三角多项式逼近、样条函数逼近，以及与泛函分析、测度论、调和分析等相关数学分支的交叉与融合。本书的理论推导严谨，逻辑清晰，配以大量的定理、引理、推论及证明，旨在为读者提供一个系统、全面、深入的学习视角，使其能够深刻理解最优逼近的本质，并能灵活运用相关理论解决实际问题。 详细内容阐述： 第一部分：理论基石与概念辨析 本部分将奠定本书的理论基础，系统性地介绍与最优逼近相关的基本数学概念和工具。 赋范线性空间： 在此我们将首先回顾并深入理解线性空间的结构，重点关注赋范线性空间的核心——范数的性质。我们将详细介绍各种常用范数，如 $L_p$ 范数、最大范数、 $L_1$ 范数等，并探讨它们在度量空间中的作用。此外，还将讨论完备性、希尔伯特空间等更高级的概念，为后续的逼近理论建立坚实的背景。 线性子空间： 针对线性子空间，我们将明确其定义、性质，并介绍一些重要的子空间类型，例如多项式空间、三角多项式空间、连续函数空间中的某些子空间等。理解子空间的结构及其特性，对于理解最优逼近的对象至关重要。 距离与逼近： 核心在于引入“距离”的概念，即范数所定义的度量。我们将探讨在赋范线性空间中，两个元素之间的距离如何衡量它们的“相似性”或“接近程度”。在此基础上，引出“逼近”的概念：一个元素 $f$ 被子空间 $V$ 中的元素 $g$ 所逼近，意味着 $f$ 与 $g$ 之间的距离很小。 第二部分：最优逼近理论核心 本部分将聚焦最优逼近的核心理论，深入剖析最优逼近的存在性、唯一性以及误差的刻画。 最优逼近元的定义与存在性： 将严格定义“最优逼近元”（Best Approximation Element），即子空间 $V$ 中距离元素 $f$ 最近的那个元素。本书将详细证明在特定条件下，最优逼近元总是存在的。我们将讨论闭凸集（尤其是闭线性子空间）与紧集在最优逼近存在性证明中的关键作用。 唯一性问题： 并非所有情况下最优逼近元都是唯一的。本书将深入探讨最优逼近元唯一性的充要条件。我们将引入严格凸范数（Strictly Convex Norms）和一致凸范数（Uniformly Convex Norms）的概念，并阐明它们与最优逼近唯一性之间的紧密联系。 逼近误差与逼近度量： 最佳逼近误差，即元素 $f$ 与其最优逼近元之间的距离，是衡量逼近质量的关键指标。我们将讨论如何刻画逼近误差，并引入“逼近度量”（Approximation Measure）的概念，用于量化特定函数类或特定逼近过程的逼近能力。 最佳逼近算子： 介绍“最佳逼近算子”（Best Approximation Operator），即一个从原空间到子空间的映射，将每个元素映射到其在子空间中的最优逼近元。我们将研究这类算子的性质，例如其有界性、线性性、非线性性等，并探讨其在理论分析和实际应用中的价值。 逼近类： 引入“逼近类”（Approximation Class）的概念，对具有特定逼近性质的函数集合进行分类。通过研究不同逼近类，可以揭示函数性质与逼近能力的内在联系，为更精细的逼近分析奠定基础。 第三部分：关键理论工具与方法 本部分将介绍一系列重要的理论工具和分析方法，它们是理解和解决最优逼近问题的关键。 凸集理论与投影定理： 介绍凸集及其性质，重点阐述在赋范线性空间中的投影定理。投影定理是证明最优逼近存在性和唯一性的强大工具，尤其是在希尔伯特空间中，正交投影的存在性和唯一性是其核心结论。 泛函分析工具： 深入运用泛函分析中的概念和定理，如线性算子、对偶空间、 Hahn-Banach 定理等，来分析最优逼近问题。例如，通过对偶空间的性质，可以建立与最优逼近相关的刻画定理，如 Chebychev 逼近的对偶刻画。 测度论与积分理论： 在涉及 $L_p$ 空间时，测度论和积分理论是不可或缺的。我们将阐述如何利用 Lebesgue 积分来定义和分析函数空间，以及如何将逼近理论应用于测度空间中的函数。 调和分析与 Fourier 分析： 调和分析，特别是 Fourier 分析，为三角多项式逼近等提供了强大的分析工具。我们将介绍 Fourier 级数、 Fourier 变换等概念，并阐述它们在函数逼近中的应用，例如如何利用 Fourier 级数的性质来分析函数的平滑度和逼近误差。 第四部分：经典逼近方法与具体实例 本部分将展示一系列经典的逼近方法，并结合具体的函数空间和子空间，通过实例来具体说明最优逼近的理论如何被应用于解决实际问题。 多项式逼近： 详细研究在函数空间（如连续函数空间 $C[a,b]$）中使用多项式空间作为逼近子空间的最优逼近问题。我们将介绍 Weierstrass 逼近定理及其推广，探讨 Chebychev 多项式及其在多项式逼近中的重要作用，以及最优多项式逼近的性质。 三角多项式逼近： 专注于在周期函数空间中使用三角多项式空间作为逼近子空间。我们将深入探讨 Fourier 级数在逼近周期函数中的作用，分析三角多项式逼近的误差界，并介绍相关逼近定理，如 Jackson 定理。 样条函数逼近： 介绍样条函数作为一种重要的分段多项式逼近工具。我们将讨论样条函数的构造、性质，以及它们在工程、计算机图形学等领域的广泛应用，并分析样条函数逼近的误差。 其他逼近方法： 可能会涉及其他类型的逼近，例如基于特定函数集（如指数函数、有理函数）的逼近，以及在非线性子空间中的逼近问题，尽管后者更为复杂。 实际应用场景： 结合不同领域的实际问题，展示最优逼近理论的应用。例如，在数值分析中，如何利用多项式或样条函数逼近复杂的函数，以实现高效的数值计算；在信号处理中，如何利用 Fourier 分析进行信号的逼近和去噪；在机器学习中，神经网络的近似能力在某种程度上也与逼近理论相关。 第五部分：进阶主题与前沿研究方向 本书的最后部分将触及一些进阶主题，并展望最优逼近理论在不同方向上的发展和应用。 非线性逼近： 简要介绍非线性子空间逼近的挑战与研究现状。 逼近的渐进行为： 探讨当逼近子空间的维度趋于无穷时，逼近误差的渐进行为。 最优逼近与泛函分析其他分支的联系： 进一步梳理最优逼近理论与微分方程、优化理论、控制理论等数学分支的交叉与融合。 研究前沿展望： 介绍当前最优逼近理论的研究热点和潜在的应用方向，鼓励读者进一步深入探索。 本书特色： 理论严谨，体系完整： 遵循数学研究的严谨性原则，对每一个概念和定理都给予清晰的定义和详尽的证明，构建了完整的理论体系。 内容全面，覆盖广泛： 涵盖了最优逼近理论的基础概念、核心理论、关键工具、经典方法以及部分进阶内容，力求为读者提供一个全面的认知框架。 方法多样，深入浅出： 结合多种数学工具和分析方法，既有抽象的理论推导，也有具体的实例分析，力求使读者在掌握理论的同时，也能理解其应用场景。 面向读者： 本书适合数学专业高年级本科生、研究生，以及从事科学计算、数据分析、信号处理、机器学习等相关领域的研究人员和工程师阅读。 通过阅读本书，读者将不仅能掌握最优逼近理论的精髓，还能培养严谨的数学思维，提升解决复杂问题的分析能力，并为进一步的学术研究或工程实践打下坚实的基础。

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