Nonsmooth Analysis and Geometric Methods in Deterministic Optimal Control (The IMA Volumes in Mathem pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Mordukhovich, Boris S.; Sussmann, Hector J.;

出品人:

页数:245

译者:

出版时间:1996-06-20

价格:USD 77.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387947648

丛书系列:

图书标签:

• Optimal Control
• Nonsmooth Analysis
• Geometric Methods
• Deterministic Control
• IMA Volumes in Mathematics
• Mathematics
• Applied Mathematics
• Control Theory
• Calculus of Variations
• Optimization

非光滑分析与确定性最优控制中的几何方法 简介 本书深入探讨了非光滑分析在现代确定性最优控制理论中的关键作用，并巧妙地融合了几何方法，为理解和解决复杂的控制问题提供了全新的视角。在许多实际应用场景中，控制系统的动态行为往往表现出非光滑性，例如由开关、碰撞、摩擦或不连续的输入引起的系统。传统的平滑分析工具在这种情况下显得力不从心，因此，非光滑分析应运而生，为描述和分析这些非平滑系统提供了强大的数学框架。 本书的核心在于展示如何利用非光滑分析的理论工具，特别是凸分析、集合值函数、多值映射和梯度刻画等概念，来严谨地处理最优控制问题中的非光滑性。同时，本书强调了几何方法在理解和求解这类问题中的不可替代性。几何方法，包括微分几何、拓扑学以及几何测度论等，能够揭示最优控制问题的内在结构，例如可达集、边界特性、奇异集以及控制流形的几何形状。通过将非光滑分析的分析力量与几何方法的直观洞察力相结合，本书为研究者提供了一套更为全面和强大的工具集。 理论基础与核心概念 本书的开篇将重点介绍非光滑分析的基本概念。这包括对集合值函数（multivalued functions）和多值映射（multivalued maps）的详细阐述，它们是描述非光滑动态系统的自然语言。我们将深入探讨诸如Clarke次梯度（Clarke subgradient）、Fréchet次梯度（Fréchet subgradient）以及Mordukhovich次梯度（Mordukhovich subgradient）等关键概念。这些广义梯度的定义克服了传统梯度在非光滑点上的局限性，使得我们能够将许多平滑分析中的定理（如最优性条件）推广到非光滑情形。 特别是，Clarke次梯度在凸集和局部凸集上与集合的支撑函数密切相关，而Mordukhovich次梯度则在更广泛的非凸集合上提供了更为精细的刻画，它利用了局部Lipschitz性（local Lipschitz continuity）的性质。本书将详细讨论这些次梯度的计算方法，以及它们在最优性条件（如Karush-Kuhn-Tucker条件及其非光滑推广）中的应用。 在几何方法方面，本书将介绍可达集（reachable sets）的概念及其几何形状。对于最优控制问题，可达集描绘了系统在给定控制策略下能够达到的所有状态。研究可达集的几何特性，如其边界的光滑性、凸性或分段光滑性，对于理解系统的行为至关重要。我们还将探讨 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的非光滑版本，即viscosity solution理论，并将其与几何方法联系起来。viscosity solution为偏微分方程提供了强大的分析工具，尤其是在边界行为和奇点处理方面，这与最优控制中的一些几何直觉不谋而合。 非光滑性在最优控制中的体现 本书将详细阐述非光滑性在最优控制问题中是如何产生的。这包括： 切换系统（Switching Systems）：这些系统在不同动力学模式之间切换，这种切换通常是不连续的，导致状态轨迹和控制输入在切换点处发生跳跃。 碰撞与摩擦（Impact and Friction）：在机械系统中，碰撞会导致速度的瞬时改变，而摩擦力在滑动和静止状态之间的切换也引入了非光滑性。 约束（Constraints）：状态约束和控制约束，特别是等式约束和不等式约束，当达到边界时，会导致控制量或状态导数的非光滑行为。例如，一个状态变量碰触到边界，其导数可能会发生变化。 非光滑目标函数或成本函数（Nonsmooth Objective or Cost Functions）：一些实际问题可能需要最小化或最大化非光滑函数，例如L1范数（用于稀疏性）、max函数（用于衡量最大偏差）或绝对值函数。 理解这些非光滑现象的根源，以及它们对系统动力学和最优性的影响，是运用非光滑分析的关键。 核心技术与方法 本书将系统地介绍用于分析和求解非光滑最优控制问题的核心技术： 1. 非光滑最优性条件：我们将推导和分析在非光滑情形下的必要和充分最优性条件。这包括类比于平滑系统中的Pontryagin最大值原理（Pontryagin's Maximum Principle）的推广，以及基于广义梯度理论的KKT条件。我们将详细探讨不同类型的次梯度如何影响最优性条件的表述和应用。 2. 可达集与 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程：本书将深入研究可达集的几何结构，并将其与 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的viscosity solution联系起来。HJB方程是描述最优控制值函数（value function）的偏微分方程。当系统非光滑时，HJB方程的解可能不再是光滑函数，viscosity solution理论为处理这类非光滑解提供了严谨的框架。几何方法在此处用于理解值函数的几何性质，例如其等值面（level sets）的形状以及可达集的边界与值函数梯度之间的关系。 3. 非光滑集合值动态系统：本书将研究描述非光滑动态系统的集合值微分方程（differential inclusions）。集合值微分方程能够自然地表示由不确定性、多值映射或约束引起的非光滑行为。我们将讨论分析这类方程的工具，包括 Filippov 规范化（Filippov regularization）以及它们的吸引子（attractors）和不变集（invariant sets）。 4. 几何方法与可控性：本书将强调几何方法在分析系统可控性（controllability）方面的应用。对于非光滑系统，可控性可能表现出更为复杂的模式。我们将研究可达集边界的几何特性，以及它们如何决定系统是否能从一个状态到达另一个状态。例如，可达集的“尖点”或“尖角”可能指示着控制的极限能力。 5. 数值算法：尽管本书侧重于理论分析，但也将讨论与非光滑分析和几何方法相关的数值算法。这包括基于次梯度下降（subgradient descent）或内点法（interior-point methods）的算法，以及用于计算可达集或viscosity solution的数值方法。我们将探讨这些算法在实际问题中的应用挑战，以及它们如何受益于深层次的几何理解。 理论与应用的桥梁 本书旨在构建一条坚实的理论桥梁，连接抽象的非光滑分析概念与具体的确定性最优控制问题。通过丰富的理论推导和严谨的数学论证，读者将能够： 深入理解非光滑系统的内在动力学：掌握如何用数学语言准确描述和分析具有非光滑特征的动态系统。 构建和求解非光滑最优控制问题：能够为实际问题设定合适的数学模型，并运用本书介绍的理论工具来推导最优性条件，甚至发展求解算法。 洞察最优控制问题的几何结构：通过几何视角，更直观地理解系统的可控性、值函数的性质以及最优控制策略的几何意义。 掌握处理复杂实际问题的数学框架：为解决机器人控制、动力学系统设计、经济模型优化等领域中的非光滑最优控制问题提供坚实的理论基础。 目标读者 本书适合于对数学、控制理论、优化方法以及相关工程领域有浓厚兴趣的研究生、博士后研究人员以及高级本科生。也欢迎在工业界从事控制系统设计和优化的工程师和研究人员参考本书，以期将先进的数学工具应用于实际挑战。 展望 非光滑分析和几何方法在确定性最优控制领域的交叉融合，正日益成为一个活跃且富有成效的研究方向。本书的出版，旨在为这一领域的进一步发展奠定坚实的基础，并激发更多创新的研究思路。通过掌握本书介绍的理论和方法，读者将能够更深刻地理解和解决一系列具有挑战性的最优控制问题。

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