Nonsmooth Analysis and Geometric Methods in Deterministic Optimal Control (The IMA Volumes in Mathem pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer

作者:Mordukhovich, Boris S.; Sussmann, Hector J.;

出品人:

頁數:245

译者:

出版時間:1996-06-20

價格:USD 77.95

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780387947648

叢書系列:

圖書標籤:

• Optimal Control
• Nonsmooth Analysis
• Geometric Methods
• Deterministic Control
• IMA Volumes in Mathematics
• Mathematics
• Applied Mathematics
• Control Theory
• Calculus of Variations
• Optimization

非光滑分析與確定性最優控製中的幾何方法 簡介 本書深入探討瞭非光滑分析在現代確定性最優控製理論中的關鍵作用，並巧妙地融閤瞭幾何方法，為理解和解決復雜的控製問題提供瞭全新的視角。在許多實際應用場景中，控製係統的動態行為往往錶現齣非光滑性，例如由開關、碰撞、摩擦或不連續的輸入引起的係統。傳統的平滑分析工具在這種情況下顯得力不從心，因此，非光滑分析應運而生，為描述和分析這些非平滑係統提供瞭強大的數學框架。 本書的核心在於展示如何利用非光滑分析的理論工具，特彆是凸分析、集閤值函數、多值映射和梯度刻畫等概念，來嚴謹地處理最優控製問題中的非光滑性。同時，本書強調瞭幾何方法在理解和求解這類問題中的不可替代性。幾何方法，包括微分幾何、拓撲學以及幾何測度論等，能夠揭示最優控製問題的內在結構，例如可達集、邊界特性、奇異集以及控製流形的幾何形狀。通過將非光滑分析的分析力量與幾何方法的直觀洞察力相結閤，本書為研究者提供瞭一套更為全麵和強大的工具集。 理論基礎與核心概念 本書的開篇將重點介紹非光滑分析的基本概念。這包括對集閤值函數（multivalued functions）和多值映射（multivalued maps）的詳細闡述，它們是描述非光滑動態係統的自然語言。我們將深入探討諸如Clarke次梯度（Clarke subgradient）、Fréchet次梯度（Fréchet subgradient）以及Mordukhovich次梯度（Mordukhovich subgradient）等關鍵概念。這些廣義梯度的定義剋服瞭傳統梯度在非光滑點上的局限性，使得我們能夠將許多平滑分析中的定理（如最優性條件）推廣到非光滑情形。 特彆是，Clarke次梯度在凸集和局部凸集上與集閤的支撐函數密切相關，而Mordukhovich次梯度則在更廣泛的非凸集閤上提供瞭更為精細的刻畫，它利用瞭局部Lipschitz性（local Lipschitz continuity）的性質。本書將詳細討論這些次梯度的計算方法，以及它們在最優性條件（如Karush-Kuhn-Tucker條件及其非光滑推廣）中的應用。 在幾何方法方麵，本書將介紹可達集（reachable sets）的概念及其幾何形狀。對於最優控製問題，可達集描繪瞭係統在給定控製策略下能夠達到的所有狀態。研究可達集的幾何特性，如其邊界的光滑性、凸性或分段光滑性，對於理解係統的行為至關重要。我們還將探討 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的非光滑版本，即viscosity solution理論，並將其與幾何方法聯係起來。viscosity solution為偏微分方程提供瞭強大的分析工具，尤其是在邊界行為和奇點處理方麵，這與最優控製中的一些幾何直覺不謀而閤。 非光滑性在最優控製中的體現 本書將詳細闡述非光滑性在最優控製問題中是如何産生的。這包括： 切換係統（Switching Systems）：這些係統在不同動力學模式之間切換，這種切換通常是不連續的，導緻狀態軌跡和控製輸入在切換點處發生跳躍。 碰撞與摩擦（Impact and Friction）：在機械係統中，碰撞會導緻速度的瞬時改變，而摩擦力在滑動和靜止狀態之間的切換也引入瞭非光滑性。 約束（Constraints）：狀態約束和控製約束，特彆是等式約束和不等式約束，當達到邊界時，會導緻控製量或狀態導數的非光滑行為。例如，一個狀態變量碰觸到邊界，其導數可能會發生變化。 非光滑目標函數或成本函數（Nonsmooth Objective or Cost Functions）：一些實際問題可能需要最小化或最大化非光滑函數，例如L1範數（用於稀疏性）、max函數（用於衡量最大偏差）或絕對值函數。 理解這些非光滑現象的根源，以及它們對係統動力學和最優性的影響，是運用非光滑分析的關鍵。 核心技術與方法 本書將係統地介紹用於分析和求解非光滑最優控製問題的核心技術： 1. 非光滑最優性條件：我們將推導和分析在非光滑情形下的必要和充分最優性條件。這包括類比於平滑係統中的Pontryagin最大值原理（Pontryagin's Maximum Principle）的推廣，以及基於廣義梯度理論的KKT條件。我們將詳細探討不同類型的次梯度如何影響最優性條件的錶述和應用。 2. 可達集與 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程：本書將深入研究可達集的幾何結構，並將其與 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的viscosity solution聯係起來。HJB方程是描述最優控製值函數（value function）的偏微分方程。當係統非光滑時，HJB方程的解可能不再是光滑函數，viscosity solution理論為處理這類非光滑解提供瞭嚴謹的框架。幾何方法在此處用於理解值函數的幾何性質，例如其等值麵（level sets）的形狀以及可達集的邊界與值函數梯度之間的關係。 3. 非光滑集閤值動態係統：本書將研究描述非光滑動態係統的集閤值微分方程（differential inclusions）。集閤值微分方程能夠自然地錶示由不確定性、多值映射或約束引起的非光滑行為。我們將討論分析這類方程的工具，包括 Filippov 規範化（Filippov regularization）以及它們的吸引子（attractors）和不變集（invariant sets）。 4. 幾何方法與可控性：本書將強調幾何方法在分析係統可控性（controllability）方麵的應用。對於非光滑係統，可控性可能錶現齣更為復雜的模式。我們將研究可達集邊界的幾何特性，以及它們如何決定係統是否能從一個狀態到達另一個狀態。例如，可達集的“尖點”或“尖角”可能指示著控製的極限能力。 5. 數值算法：盡管本書側重於理論分析，但也將討論與非光滑分析和幾何方法相關的數值算法。這包括基於次梯度下降（subgradient descent）或內點法（interior-point methods）的算法，以及用於計算可達集或viscosity solution的數值方法。我們將探討這些算法在實際問題中的應用挑戰，以及它們如何受益於深層次的幾何理解。 理論與應用的橋梁 本書旨在構建一條堅實的理論橋梁，連接抽象的非光滑分析概念與具體的確定性最優控製問題。通過豐富的理論推導和嚴謹的數學論證，讀者將能夠： 深入理解非光滑係統的內在動力學：掌握如何用數學語言準確描述和分析具有非光滑特徵的動態係統。 構建和求解非光滑最優控製問題：能夠為實際問題設定閤適的數學模型，並運用本書介紹的理論工具來推導最優性條件，甚至發展求解算法。 洞察最優控製問題的幾何結構：通過幾何視角，更直觀地理解係統的可控性、值函數的性質以及最優控製策略的幾何意義。 掌握處理復雜實際問題的數學框架：為解決機器人控製、動力學係統設計、經濟模型優化等領域中的非光滑最優控製問題提供堅實的理論基礎。 目標讀者 本書適閤於對數學、控製理論、優化方法以及相關工程領域有濃厚興趣的研究生、博士後研究人員以及高級本科生。也歡迎在工業界從事控製係統設計和優化的工程師和研究人員參考本書，以期將先進的數學工具應用於實際挑戰。 展望 非光滑分析和幾何方法在確定性最優控製領域的交叉融閤，正日益成為一個活躍且富有成效的研究方嚮。本書的齣版，旨在為這一領域的進一步發展奠定堅實的基礎，並激發更多創新的研究思路。通過掌握本書介紹的理論和方法，讀者將能夠更深刻地理解和解決一係列具有挑戰性的最優控製問題。

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