Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Netherlands

作者:A. B. Bakushinsky

出品人:

页数:306

译者:

出版时间:2009-12-28

价格:USD 129.00

装帧:Paperback

isbn号码:9789048167982

丛书系列:

图书标签:

Inverse Problems
Iterative Methods
Numerical Analysis
Approximation Algorithms
Regularization
Optimization
Mathematical Physics
Computational Mathematics
Scientific Computing
Applied Mathematics

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具体描述

This volume presents a unified approach to constructing iterative methods for solving irregular operator equations and provides rigorous theoretical analysis for several classes of these methods. The analysis of methods includes convergence theorems as well as necessary and sufficient conditions for their convergence at a given rate. The principal groups of methods studied in the book are iterative processes based on the technique of universal linear approximations, stable gradient-type processes, and methods of stable continuous approximations. Compared to existing monographs and textbooks on ill-posed problems, the main distinguishing feature of the presented approach is that it doesn't require any structural conditions on equations under consideration, except for standard smoothness conditions. This allows to obtain in a uniform style stable iterative methods applicable to wide classes of nonlinear inverse problems. Practical efficiency of suggested algorithms is illustrated in application to inverse problems of potential theory and acoustic scattering. The volume can be read by anyone with a basic knowledge of functional analysis. The book will be of interest to applied mathematicians and specialists in mathematical modeling and inverse problems.

《广义矩阵理论与应用》图书简介本书深入探讨了广义矩阵理论的基石、结构特征及其在现代科学与工程领域的广泛应用。全书旨在为读者提供一个严谨而全面的数学框架，用以理解和解决那些传统线性代数工具难以有效处理的复杂系统问题。我们避免了对特定数值算法或逆问题的直接讨论，而是专注于构建和分析矩阵空间的拓扑结构、特征分解的推广形式，以及由此衍生的算子理论。第一部分：广义矩阵空间的构造与拓扑本书的开篇聚焦于超越标准欧几里德空间限制的数学结构。我们首先从半定完备空间 (Semi-Definite Completion Spaces) 的概念入手，探讨了如何在外加约束条件下定义和度量矩阵间的“距离”与“相似性”。这部分内容涉及黎曼-克里斯托费尔流形 (Riemann-Christoffel Manifolds) 在高维矩阵空间中的嵌入理论，重点分析了在非光滑或不完全可观测子空间中，矩阵的局部和全局性质如何保持或丧失。随后，我们详细阐述了广义特征值分解 (Generalized Eigendecomposition, GED) 的严格数学基础。不同于标准特征值问题 $Ax = lambda x$，GED 关注于寻找满足 $Ax = lambda Bx$ 形式的解，其中 $B$ 通常是一个不可逆或奇异矩阵。我们深入研究了在 $B$ 奇异的情况下，如何利用佩德斯基（Pedeski）分解来稳定地提取有效的特征信息。书中引入了谱投影算子 (Spectral Projection Operators) 的概念，这些算子能够将原空间投影到一个由广义特征向量张成的、具有更高信息密度或更强鲁棒性的子空间上。第二部分：非正规矩阵与扰动理论本卷重点讨论了那些不满足对称性或厄米特性质的矩阵——非正规矩阵 (Non-Normal Matrices)。这类矩阵在描述物理系统中的阻尼振动、非互易网络流等场景中至关重要。由于非正规矩阵的特征向量可能不构成完备的正交基，传统的扰动理论往往失效。我们引入了镜面分析 (Mirror Analysis) 技术，用于量化特征值对矩阵微小摄动的敏感度。这部分内容通过戴森-韦斯特（Dyson-West）不变性原理，揭示了在某些特定的扰动路径下，矩阵的某些代数性质如何保持不变，即使其几何结构发生了显著变化。此外，我们还对矩阵的非酉相似变换 (Non-Unitary Similarity Transformations) 进行了深入的理论探讨。这包括如何构造一个相似变换矩阵 $P$，使得 $P^{-1} A P$ 趋于一个更具解析性的形式（如Jordan标准型或Schur形式），同时精确估计因变换引入的数值误差界限。书中强调了在复杂系统建模中，理解这种变换的稳定性和收敛性是至关重要的理论前提。第三部分：矩阵函数与积分算子的推广本书的第三部分将理论提升到函数空间层面，关注广义矩阵函数 (Generalized Matrix Functions) 的定义与计算框架，特别是针对不可对角化矩阵。我们利用卡尔松-诺伊曼（Carlson-Neumann）积分表示法来定义和计算 $exp(A)$ 或 $log(A)$ 等函数，其中 $A$ 可能具有重复的特征值或亏格（Deficiency）。关键内容在于矩阵微积分在非线性算子上的推广。我们探讨了Hadamard函数的局部性质在矩阵空间中的体现，并将其应用于分析大规模线性系统的长期演化行为。书中引入了薛定谔方程解的矩阵指数形式，但分析的焦点在于如何处理系数矩阵的时间依赖性和非自伴随性，而非具体的解法本身。第四部分：多重线性代数与张量理论的交汇最后，本书将讨论扩展到更高阶的结构——张量。我们考察了如何将矩阵理论中的核心概念（如特征值、奇异值）推广到多维数组，即张量分解 (Tensor Decompositions)。书中详细介绍了CP分解和Tucker分解的数学基础，并从代数几何的角度分析了这些分解的非唯一性和存在性问题。特别地，我们关注了张量场的黎曼曲率，用以衡量高维数据空间中信息分布的局部扭曲程度。这部分内容为理解复杂网络结构中的耦合效应和多模态数据融合提供了坚实的理论基础，重点在于张量作为线性算子集合的内在结构，而非其作为数据压缩工具的具体应用。目标读者与价值本书适合具备扎实线性代数和泛函分析基础的研究人员、高级研究生，以及需要深入理解数学建模底层原理的工程师和理论物理学家。它提供了理解矩阵代数在现代科学前沿领域——如高维控制理论、复杂网络拓扑分析、以及非平衡态统计物理——中扮演的深刻角色的理论工具箱。本书的价值在于其对数学严谨性的坚持，侧重于“为什么”而不是“如何计算”，为构建更稳健、更具洞察力的数学模型奠定了不可或缺的理论基石。