Physical Combinatorics pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Kashiwara, Masaki; Miwa, Tetsuji; Kashiwara, M.

出品人:

页数:917

译者:

出版时间:2000-6-16

价格:USD 139.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817641757

丛书系列:Progress in Mathematics

图书标签:

数学
组合数学
物理
数学
排列组合
图论
代数
离散数学
数学建模
算法
计算

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具体描述

This work is concerned with combinatorial aspects arising in the theory of exactly solvable models and representation theory. Recent developments in integrable models reveal an unexpected link between representation theory and statistical mechanics through combinatorics. For example, Young tableaux, which describe the basis of irreducible representations, appear in the Bethe Ansatz method in quantum spin chains as labels for the eigenstates for Hamiltonians. Taking into account the various criss-crossing among mathematical subject, Physical Combinatorics presents new results and exciting ideas from three viewpoints; representation theory, integrable models, and combinatorics. This volume will be of interest to mathematical physicists and graduate students in the the above-mentioned fields. Contributors to the volume: T.H. Baker, O. Foda, G. Hatayama, Y. Komori, A. Kuniba, T. Nakanishi, M. Okado, A. Schilling, J. Suzuki, T. Takagi, D. Uglov, O. Warnaar, T.A. Welsh, A. Zabrodin

《空间结构与离散几何》一卷跨越数学与物理边界的探索之旅本书深入剖析了现代数学中至关重要的一个交叉领域：离散几何及其在物理现象建模中的应用。我们致力于构建一个严谨且直观的框架，用以理解和量化构成物质和能量的基本结构。全书聚焦于那些可以被精确计数、枚举和拓扑分析的几何实体，摆脱了传统连续性分析的束缚，转而拥抱离散世界的精确性与内在规律。第一部分：基础代数与组合基础本部分奠定了整个论述的数学基石。我们首先回顾了与集合论和图论相关的核心概念，但重点转向了有限结构的计数原理及其在构建几何模型中的角色。有限集上的映射与轨道：详细讨论了群作用下的不动点定理和Burnside引理，这些工具是分析周期性和对称性的基础。我们应用这些理论来解决特定类型的组合结构（如特定晶格中的排列）的计数问题，展示了如何从代数结构中提取几何信息。偏序集与格论基础：引入偏序集的概念，并重点分析了特定构造（如子集格、因式格）的结构。格论被视为理解复杂约束条件下组合对象相互关系的语言。特别是，我们探讨了序关系对拓扑性质的影响，为后续的拓扑组合分析做准备。生成函数与幂级数方法：这一章侧重于使用形式幂级数来编码和解决复杂的计数问题。我们详细阐述了指数型生成函数在处理标记对象上的应用，以及如何利用它们来导出现代物理模型中常见的递归关系和渐近公式。第二部分：离散拓扑与欧几里得空间嵌入在掌握了基础计数工具后，本书转向了如何将离散结构嵌入到连续空间中，并研究这些嵌入所产生的拓扑性质。单纯复形与胞腔复形：单纯复形是连接组合学和代数拓扑的桥梁。我们精确定义了单纯复形、边、面以及高维的单纯形。重点在于如何从离散数据（如点云或特定连接图）构建出有效的拓扑模型。章节详细讨论了链复形的构造及其同调群的计算，这些同调群直接反映了底层组合结构中的“洞”和“连通性”。离散微分几何的初步：我们引入了离散拉普拉斯算子的概念，它是在图或网格上定义的，用于替代连续微分几何中的梯度和曲率概念。通过分析特定图上的特征值问题，我们可以研究这些离散结构的“光滑”程度和能量分布，这在有限元分析和几何处理中具有直接应用。刚性与可形变性（Flexibility）：这一章探讨了由杆件和铰链构成的框架的几何约束问题。我们分析了哪些组合结构可以保持其内部角度不变（刚性），以及何时系统允许连续形变。这涉及到对刚性链和零能模式的组合分析，是结构工程和分子动力学中的核心问题。第三部分：晶体学与周期性结构组合本部分将组合分析应用于描述宏观和微观世界中常见的周期性模式。点阵理论与晶体群：详细分析了 $mathbb{R}^n$ 中离散点集（点阵）的结构。我们定义了布拉维晶格，并研究了其空间群的分类。重点在于如何利用群论（特别是点群和空间群）来描述晶体的对称性，这直接决定了材料的物理性质（如介电性、导电性）。密铺与非周期性结构：研究了如何用离散单元（如多边形、多面体）覆盖空间。除了传统的周期性平铺（如欧几里得平铺），我们深入探讨了非周期性平铺，特别是彭罗斯平铺。我们使用广义晶体学和代数方法来证明这些结构的准周期性，并分析其局部分层和长程有序性。组合几何中的包与堆积问题：聚焦于如何以最有效的方式在特定几何容器中放置离散对象。这包括对球体密堆积问题的组合几何分析，以及对凸体组合（如维多利组合）的计数与枚举，展示了组合优化在物理 packing 约束下的力量。第四部分：随机组合结构与统计物理的连接本部分探讨了当组合结构受到随机性影响时所表现出的宏观行为。随机图与几何嵌入：分析了在特定空间约束下随机生成的图的性质。例如，考虑在一个固定面积上随机放置点的最近邻图或相对邻域图。我们利用概率组合方法来估计这些图的关键参数，如平均度数、直径和连通性。自避免行走与覆盖过程：这是一个经典的统计物理模型，但其精确解依赖于精妙的组合枚举。我们研究了在二维和三维格点上自避免行走的可能路径数量的渐近行为，并讨论了如何使用边界积分和高阶修正项来逼近这些难以精确求解的组合问题。组合拓扑在相变中的应用：最后，我们讨论了如何使用组合工具来描述系统中的相变。例如，在Ising模型或Percolation（渗流）模型中，宏观的物理相变（如磁化或连通性）可以通过底层晶格上特定子图（如簇或回路）的组合密度和拓扑特征来精确识别和量化。本书旨在为具备扎实微积分和线性代数基础的读者提供一个严谨的、高度数学化的视角，用以理解离散结构在构建物理世界模型中的不可替代的作用。全书的论证力求清晰、逻辑严密，每一章节都包含精心挑选的例证和挑战性的习题，以促进读者对这些深层结构的直觉和计算能力的培养。