具体描述
《数学物理方法(第2版)》第一版是“面向21世纪课程教材”，第二版是在总结近几年的教学经验，吸收有关教师宝贵意见的基础上修订而成的。与第一版相比，在有关内容的表述方法和材料的安排等方面都作了许多改动，使之更便于教学。《数学物理方法(第2版)》内容包括复变函数、积分变换（含Fourier变换、Laplace变换和小波变换）及其应用、偏微分方程的定解问题、特殊函数、数学物理方程中的近似解法等。《数学物理方法(第2版)》本着加强应用、侧重方法的原则，着重介绍常用的应用数学方法及其在实际中的应用。同时适当增加了一些近代应用数学方法，为学生进一步学习近代数学内容设置了延伸发展的接口。
《数学物理方法(第2版)》可作为高等学校工科各专业数学物理方法课程的教材，也可供工科研究生和社会读者阅读。
宇宙的低语：理论物理学中的基本概念与前沿探索 一本深度解析现代物理学基石，聚焦于概念统一性与前沿数学工具应用的专著 --- 导言：探寻实在的结构 本书旨在为对理论物理学有深入探究意愿的读者提供一个全面而严谨的知识框架。我们不满足于仅仅罗列已有的物理定律，更致力于揭示这些定律背后的数学结构、概念的演化历程，以及它们在不同物理领域间的深刻联系。本书的核心目标是搭建一座桥梁，连接纯粹的数学抽象与对自然界最基本作用力的理解。我们将从最基础的微积分和线性代数概念出发，逐步过渡到描述量子场论、广义相对论等现代物理学前沿所需的复杂数学工具，同时，严格聚焦于这些工具在物理学问题中的实际应用和解释能力。 第一部分：经典场论的数学基础与重述 本部分将对经典物理学的核心理论进行一次彻底的数学化重构，重点关注变分原理和对称性的力量。 第一章：变分原理与拉格朗日力学 我们将从最小作用量原理出发，系统地推导欧拉-拉格朗日方程。本章详细探讨了函数空间中的泛函导数概念，以及其在保守系统、非保守系统中的应用。我们将深入分析泊松括号的结构，并将其作为连接哈密顿力学与相空间几何的桥梁。重点讨论了正则变换的生成函数，以及如何利用这些工具处理积分不守恒的复杂系统。 第二章：麦克斯韦方程组的几何表述 经典电磁学是检验场论有效性的第一个里程碑。本章不再侧重于传统的分立方程求解，而是将麦克斯韦方程组嵌入到四维时空流形中。我们使用微分几何的语言，特别是外微分和楔积（wedge product），将法拉第定律、安培定律等表述为简洁的微分形式方程 $ ext{d}F = 0$ 和 $ ext{d} ext{d} ext{F} = mu_0 J$。本章深入探讨了洛伦兹协变性是如何自然地从这种形式中涌现出来的，并讨论了规范场论的萌芽——电磁势的引入。 第三章：连续介质中的场论 本章关注宏观物理学的统一性。我们将构建弹性介质和流体动力学中的能量泛函，并应用拉格朗日形式推导欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的变分形式。重点在于理解应力-应变张量在描述物质内部作用力时的内在对称性，以及这些对称性如何转化为守恒定律（如动量守恒和能量守恒）。 第二部分：群论与对称性在物理学中的统治地位 对称性是现代物理学的核心驱动力。本部分将详细介绍群论的数学结构，并展示其如何在分类粒子、理解相互作用中发挥决定性作用。 第四章：群论基础与表示论 从群的定义、子群、陪集到同态与同构，本章奠定了群论的数学基础。随后，我们将立即转向物理学中最关键的部分：群的表示论。我们将详细分析酉表示（Unitary Representations）的物理意义，并引入舒尔引理（Schur's Lemma）及其在简并能级分类中的应用。着重讲解有限群（如晶体对称群）和连续群（如旋转群 $ ext{SO}(3)$ 和洛伦兹群 $ ext{SO}(1,3)$）的结构。 第五章：角动量理论与角动量代数 角动量算符 $mathbf{J}$ 的对易关系构成了角动量代数的核心。本章通过生成元和李括号的形式，严格推导了角动量本征值方程。我们将深入探讨球谐函数作为 $ ext{SO}(3)$ 群表示的本征函数，并详述三重态耦合（Clebsch-Gordan 展开）的数学方法，解释了多粒子系统总角动量量子数的确定过程。 第六章：庞加莱群与相对论性对称性 庞加莱群（Poincaré Group）是描述平直时空运动的刚性对称群。本章将其分解为平移、旋转和洛伦兹变换。我们将运用基德勒-维格纳理论（Wigner Classification），通过分析庞加莱群的两个不变量——质量平方 $P^2$ 和宇称 $W^2$（Pauli-Lubanski 向量）——来系统地分类所有可能的自由场论，从而为基本粒子和场论的构建设定了严格的框架。 第三部分：量子力学与算符代数 本部分聚焦于量子力学的数学表述，特别是其对线性代数和希尔伯特空间的依赖。 第七章：狄拉克符号与算符代数 我们引入狄拉克符号（Bra-Ket Notation）作为描述量子态和物理量的标准语言。本章详细阐述了厄米算符、投影算符以及密度矩阵的概念。重点分析了薛定谔绘景、海森堡绘景和狄拉克绘景之间的关系，阐明了它们仅是描述时间演化的不同数学视角。 第八章：微扰论与散射理论 对于大多数实际问题，精确求解薛定谔方程是不可能的。本章详细发展了定态微扰论和含时微扰论。我们将严格推导费希尔矩阵（Feynman Diagrams）的初级形式，并发展散射矩阵 $S$ 的展开式。重点分析玻恩近似（Born Approximation）的适用范围及其局限性。 第九章：路径积分的几何直觉 本章引入费曼的路径积分表述，将其置于泛函积分的背景下进行考察。我们探讨了如何通过经典的拉格朗日量与量子振幅之间的指数关系来理解路径积分。本章的核心在于展示路径积分如何自然地统一了经典极限（通过鞍点近似）和量子涨落，并为量子场论的构建提供了替代性的、更具几何直观性的方法论。 第四部分：从经典场到量子场：概念的飞跃 本部分是全书的前沿核心，旨在展示如何利用第二量子化来处理多粒子系统和基本力的量子化。 第十章：经典场的二次量子化 我们将从自由标量场（Klein-Gordon 场）入手，展示如何通过对经典场进行正则对易关系（而非对粒子坐标进行对易关系）的推广，实现场的二次量子化。详细推导产生算符 $a^dagger$ 和湮灭算符 $a$ 的物理意义，并阐明它们如何构建Fock空间，从而自然地描述粒子数的概念，克服了单粒子量子力学无法处理多粒子、粒子创生的局限性。 第十一章：狄拉克场与旋量表述 本章专注于费米子场。我们将构建狄拉克方程，并讨论其满足洛伦兹协变性的数学要求。通过引入旋量（Spinor）作为四分量对象，本章详细解释了泡利不相容原理如何自然地通过狄拉克场的反交换关系（而非对易关系）得到体现。我们将分析狄拉克场的能量谱，并引出“负能态”问题的物理诠释，即相对论性量子力学的核心挑战。 第十二章：规范场论的引入 本章是连接标准模型的基础。我们从阿贝尔规范不变性（U(1) 规范群）出发，展示如何通过要求拉格朗日密度在局部U(1) 变换下保持不变，从而“强制性”地导出光子（规范玻色子）的存在，并确定其相互作用项。我们将讨论非阿贝尔规范群（如 $ ext{SU}(2)$ 或 $ ext{SU}(3)$）的结构及其引起的自相互作用现象，为理解强核力和弱核力场论的结构奠定概念基础。 --- 结语：开放的问题与未来的展望 本书的最后一部分并非提供最终答案，而是指向理论物理学中尚未解决的根本性难题。我们将简要讨论量子引力的数学挑战，例如广义相对论的经典非线性场方程与量子化方法之间的不相容性，以及如何从更基础的数学结构（如拓扑场论或弦论的某些基础几何）中寻找新的出路。重点是理解当前理论的边界在哪里，以及未来的数学工具可能需要具备哪些特性才能跨越这些边界。 --- 本书的写作风格力求严谨、逻辑清晰，侧重于从基本原理出发，通过一致的数学语言，系统地构建起现代理论物理学的支柱。它要求读者具备扎实的微积分、线性代数基础，并乐于接受高等抽象概念的挑战。本书是一次对自然规律背后深层数学秩序的系统性探索。
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目录信息
第一章 复变函数 1.1 复变函数与解析函数 1.1.1 复变函数 1.1.2 解析函数 1.1.3 复变函数导数的几何意义 1.1.4 初等函数及其简单性质 1.2 复变函数的积分 1.2.1 复变函数的积分的概念和性质 1.2.2 Cauchy积分定理 1.2.3 Cauchy积分公式 1.3 级数 1.3.1 复级数和复幂级数 1.3.2 Taylor级数 1.3.3 解析函数零点的性质 1.3.4 Laurent级数展开 1.3.5 解析函数的孤立奇点 1.4 留数及其应用 1.4.1 留数定理 1.4.2 留数的应用 1.5 分式线性变换第二章 积分变换及其应用 2.1 Fourier变换 2.1.1 Fourier积分 2.1.2 Fourier变换及性质 2.1.3 δ函数及Fourier变换 2.1.4 Fourier变换的物理意义 2.2 Laplace变换 2.2.1 Laplace变换的概念 2.2.2 Laplace变换的反演 2.2.3 Laplace变换的性质 2.3 小波变换 2.3.1 窗口Fourier变换 2.3.2 连续小波变换 2.3.3 小波级数展开 2.4 积分变换的应用第三章 偏微分方程的定解问题 3.1 数学模型的建立 3.1.1 三类典型的数学物理方程 3.1.2 定解条件和定解问题 3.1.3 解的概念和线性叠加原理 3.2 分离变量法 3.2.1 齐次方程齐次边界条件的定解问题 3.2.2 一般的混合定解问题 3.2.3 位势方程的边值问题 3.3 行波法 3.3.1 d'Alembert公式及物理意义 3.3.2 一般二阶线性方程的分类 3.3.3 半无界区域上的问题 3.4 积分变换法 3.4.1 直线上的初值问题 3.4.2 半无界直线上的问题 3.4.3 高维空间波的传播 3.5 Green函数法 3.5.1 方程解的积分表示及Green函数的引进 3.5.2 Green函数的求法和物理意义 3.5.3 利用保角变换求平面区域的Green函数 3.6 非线性偏微分方程 3.6.1 孤立波 3.6.2 激波第四章 特殊函数 4.1 Bessel函数 4.1.1 Bessel函数的引进 4.1.2 Bessel函数的性质 4.1.3 Bessel函数的推广 4.2 Legendre多项式 4.2.1 Legendre多项式的定义 4.2.2 Legendre多项式的性质 4.3 特殊函数的应用第五章 数学物理方程中的近似解法 5.1 数学物理方程的差分解法 5.1.1 差分与差分方程 5.1.2 热传导方程定解问题的差分方法 5.1.3 波动方程定解问题的差分方法 5.1.4 Laplace方程边值问题的差分方法 5.1.5 注 5.2 积分方程的近似解法 5.2.1 用退化核近似任意核 5.2.2 用数值积分法求近似解 5.2.3 Galerkin方法附录参考文献
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