具体描述
《统计原理习题集(第3版)》是为全国中等职业学校教育部规划教材《统计原理》（第三版）编写的配套教学用书。本习题集紧扣教材内容，并按教材章节顺序编排，内容包括：各章解题的参考——便于学生在练习之前复习主教材内容；各章习题——为学生巩固所学知识提供帮助。
习题的安排遵循了循序渐进的原则，题型包括判断题、单项选择题、多项选择题、简答题和综合题。
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本习题集可作为中等职业教育会计、金融、统计、电子商务等专业的学生学习统计基础知识的配套用书，也可供在职人员和自学者使用。
《现代概率论基础与应用》 书籍信息： 书名： 现代概率论基础与应用 作者： [此处可虚构作者名，例如：张伟，李明] 出版社： [此处可虚构出版社名，例如：高等教育出版社] ISBN： [此处可虚构ISBN号] 内容概述： 本书旨在为读者系统、深入地介绍现代概率论的理论基础，并探讨其在不同科学与工程领域的实际应用。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保证数学严密性的同时，兼顾读者的理解与掌握。内容涵盖了从基础集合论、测度论到随机过程的多个关键领域，是概率论、数理统计、金融数学、数据科学等专业领域师生及研究人员的理想参考用书。 第一部分：概率论的测度论基础 本部分是全书的基石，为理解现代概率论的严格定义和性质奠定必要的数学框架。 第一章：集合论与测度论回顾 本章首先回顾了概率论中必需的集合论知识，包括 $sigma$-代数、可测集、可测函数等基本概念。重点在于引入勒贝格测度的概念及其性质，如可加性、单调性。随后，将这些概念提升到更抽象的测度空间层面，为概率测度 $mathbf{P}$ 的严格定义做好铺垫。我们详细讨论了可测空间 $(Omega, mathcal{F})$ 的构建过程，其中 $Omega$ 为样本空间，$mathcal{F}$ 为事件 $sigma$-代数。 第二章：概率测度的定义与基本性质 基于测度论的框架，本章正式给出概率测度的定义。概率测度是定义在 $sigma$-代数 $mathcal{F}$ 上的一个特殊的测度，满足 $mathbf{P}(Omega) = 1$。我们深入探讨了概率公理体系，并推导出概率的性质，如有限可加性、次可加性（Boole不等式）以及如何处理可数无限个事件的概率计算。本章还引入了独立事件的严格定义，这是后续概率论发展中的核心概念。 第三章：随机变量与随机向量 随机变量被定义为从样本空间到实数集（或更一般空间）的可测函数。本章详细阐述了离散型、连续型随机变量的特征，以及如何通过分布函数 $F(x)$ 来刻画它们。更进一步，引入了联合分布函数、边缘分布函数以及随机向量的概念。对于连续型随机变量，详细介绍了概率密度函数（PDF）的构造及其与分布函数的相互关系。 第四章：数学期望、矩与不等式 数学期望是概率论中的核心量度工具。本章首先从黎曼积分推广到勒贝格积分，严格定义了随机变量的期望 $E[X]$。随后，讨论了期望的性质，包括期望的可加性、乘积性（在独立性假设下）以及条件期望的测度论定义。本章的重点还包括矩（均值、方差、高阶矩）的计算，并引入了若干重要的概率不等式，如马尔可夫不等式、切比雪夫不等式以及霍夫丁不等式，这些不等式在估计和收敛性分析中起着关键作用。 第二部分：收敛性、极限定理与随机过程基础 本部分将理论推向深入，探讨随机变量序列的各种收敛性概念，以及概率论中最著名的两个极限定理。 第五章：随机变量的收敛性 随机变量序列的收敛性是连接理论与实际应用（如大数定律、中心极限定理）的桥梁。本章系统地介绍了五种主要的收敛概念：依概率收敛（$p=0$ 时的 $L_p$ 收敛的特例）、依分布收敛、几乎必然收敛（或称处处收敛）、$L_p$ 收敛。我们详细分析了这几种收敛关系之间的相互蕴含关系，并给出了它们在实际问题中的判别方法和应用场景。 第六章：强大数定律 大数定律是概率论的基石之一，揭示了大量独立同分布试验的平均结果会趋向于期望值的现象。本章首先介绍了弱大数定律（基于依概率收敛），随后深入探讨了强大数定律（基于几乎必然收敛）。重点分析了柯尔莫哥洛夫不等式和强大的独立同分布随机变量和检验，并讨论了非独立同分布情形下大数定律的推广形式。 第七章：中心极限定理 中心极限定理（CLT）是统计推断的理论基础，它说明了独立同分布随机变量和的标准化平均值趋向于标准正态分布。本章详细阐述了 Lindeberg-Lévy CLT 和 Lindeberg-Feller CLT，并提供了清晰的证明思路。此外，我们还讨论了泊松过程的极限（即泊松分布作为二项分布的极限）以及其他一些重要的极限定理，例如 $delta$ -方法在渐近方差估计中的应用。 第八章：条件期望与鞅论入门 条件期望的测度论观点是现代概率论区别于初等概率论的关键特征之一。本章从可测空间上的条件期望出发，详细定义了在 $sigma$-代数下的条件期望 $mathbf{E}[X | mathcal{G}]$，并阐述了其投影性质和塔性质。在此基础上，本章引入了鞅（Martingale）的概念——一个条件期望为自身的随机过程。鞅论是研究信息流、金融定价和优化理论的核心工具。 第三部分：基础随机过程 本部分将概率论的概念扩展到时间维度，引入随机过程，这是描述动态系统的基础工具。 第九章：马尔可夫链 本章重点研究离散时间马尔可夫链（DTMC）。详细介绍了转移概率矩阵、状态空间、齐次性等概念。关键内容包括状态的分类（常返性、瞬时性）、平稳分布的求解以及极限分布的存在性与唯一性。本章也简要触及了连续时间马尔可夫链（CTMC）的基础框架。 第十章：高斯过程与布朗运动 本章聚焦于连续时间过程，特别是维纳过程，即标准布朗运动。我们从布朗运动的构造性定义出发，阐述其独立增量、平稳增量和正态增量的性质。随后，讨论了布朗运动的二次变差、最大值分布以及如何利用布朗运动生成高斯过程。布朗运动是构建随机微分方程（SDEs）和研究随机金融模型的起点。 第十一章：随机积分与伊藤引理简介 作为随机过程的高级应用，本章对随机积分（伊藤积分）进行了概念性介绍，避免了过于复杂的测度论技术，但准确描述了其定义和性质。核心内容是伊藤引理，该引理是随机微积分中的基本工具，相当于在随机微积分框架下的链式法则。我们将展示如何利用伊藤引理来推导随机微分方程的解或分析随机过程的演化。 本书特色： 1. 理论深度与广度兼备： 本书不仅覆盖了概率论的经典内容，更深入到测度论基础和鞅论的入门，确保读者能够理解现代概率论的严格性。 2. 强调相互联系： 清晰展示了离散与连续、静态（随机变量）与动态（随机过程）之间的联系，特别是如何利用收敛性理论连接中心极限定理与实际推断。 3. 丰富的习题与例证： 每一章节后附有大量设计精巧的例题和难度适中的习题，旨在帮助读者巩固理论，提升解决实际问题的能力。 4. 面向应用： 虽然理论严谨，但始终着眼于其在统计推断、可靠性分析、风险评估等领域的潜在应用价值。 目标读者： 高等院校数学、统计学、信息与计算科学、金融工程、物理学等专业的高年级本科生和研究生；需要深入理解概率论背景的工程师和科研人员。 --- (注：以上内容为一个虚构的、专注于现代概率论理论和随机过程入门的教材简介，其内容范围与您提及的《统计原理习题集》——通常指代侧重于推断、估计、检验等数理统计应用的书籍——有显著区别。)
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