微積分課題精編 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:邱森 編

出品人:

頁數:400

译者:

出版時間:2010-6

價格:34.80元

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isbn號碼:9787040295658

叢書系列:

圖書標籤:

• 微積分
• 高等數學
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• 微積分學習
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《高等代數與綫性空間導論》 ——構建數學思維的堅實基石 第一部分：核心概念與基礎理論 本書旨在為數學、物理、工程技術等領域的學生和研究人員提供一套全麵、深入且嚴謹的高等代數知識體係。我們聚焦於綫性代數這一核心分支，旨在幫助讀者構建起堅實的代數思維框架，並理解其在現代科學中的基礎性作用。全書結構緊湊，邏輯清晰，力求在保證數學嚴謹性的同時，兼顧概念的可理解性與應用的可操作性。 第一章：數域與多項式 本章從代數結構的基礎——數域（如實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$）齣發，迴顧並深化對域概念的理解。隨後，我們將重點探討一元多項式環 $F[x]$ 上的理論。 1.1 數域的拓撲與代數性質迴顧： 簡要迴顧瞭有理數域 $mathbb{Q}$、實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 的基本性質，為後續的係數域設定場景。 1.2 多項式的基本運算與性質： 深入剖析多項式的加法、乘法、除法，特彆是帶餘除法的唯一性證明。 1.3 整除性、最大公因式與歐幾裏得算法： 詳細闡述多項式環中的整除關係，推廣整數的歐幾裏得算法，並利用擴展歐幾裏得算法求解多項式方程 $A(x)S(x) + B(x)T(x) = D(x)$。 1.4 多項式的根與因子分解： 引入多項式的根概念，討論復根的存在性定理，並深入研究有理根定理和重根判彆法。重點講解在不同數域上多項式的不可約分解，為特徵多項式的分解奠定基礎。 1.5 插值多項式與有限域基礎： 簡要介紹拉格朗日插值法，作為多項式理論在數值分析中的初步應用。引入有限域 $mathbb{F}_p$ 的初步概念，為密碼學和編碼理論的應用埋下伏筆。 第二章：綫性空間（嚮量空間）的建立 綫性空間是綫性代數的心髒。本章緻力於從抽象的集閤運算齣發，嚴格構建並探討綫性空間的公理化結構。 2.1 嚮量空間與子空間的定義： 嚴格定義嚮量空間，列舉充足的實例（如函數空間、矩陣空間、多項式空間）。定義子空間的充要條件，並講解子空間的交與和。 2.2 綫性組閤、綫性相關與綫性無關： 辨析綫性組閤的概念，精確定義綫性相關性，並證明其等價刻畫（如存在非零係數使得綫性組閤為零嚮量）。 2.3 基與維數： 引入基的概念，證明任何有限生成空間的基都存在且等價，從而確立維數的唯一性。討論基變換對嚮量坐標的影響。 2.4 綫性映射（綫性變換）： 定義綫性映射的四個基本性質（保持加法和數乘）。深入探討核（Kernel）和像（Image），以及秩-零化度定理的嚴格證明。 2.5 商空間（因子空間）： 介紹等價關係與陪集，構建商空間 $mathbf{V}/mathbf{W}$，並證明其自身的嚮量空間結構，展示抽象代數在幾何結構上的投影。 第二部分：矩陣、變換與結構分解 在掌握瞭綫性空間的抽象概念後，本部分將焦點轉移到如何用具體的代數工具——矩陣——來刻畫這些空間和變換，並探討其最簡錶示形式。 第三章：矩陣理論與綫性方程組 本章是連接抽象代數與具體計算的橋梁，是綫性代數最實用的部分。 3.1 矩陣的運算及其性質： 詳細介紹矩陣的加法、數乘、乘法，強調矩陣乘法的非交換性。定義轉置、跡以及初等矩陣。 3.2 綫性方程組的求解： 采用高斯消元法和行階梯形理論，係統地求解綫性方程組 $Amathbf{x}=mathbf{b}$。詳細分析方程組的相容性（自由變量、特解與通解結構）。 3.3 矩陣的秩與行列式： 定義矩陣的行秩與列秩，證明 $ ext{rank}(A) = ext{rank}(A^T)$。係統推導行列式的定義、性質（特彆是乘法性質），並利用行列式判彆矩陣的可逆性。 3.4 矩陣的初等變換與等價關係： 闡述初等行變換如何對應於左乘初等矩陣，並利用初等變換將矩陣化為行標準形（Hermite Normal Form）。 第四章：特徵值與特徵嚮量 特徵值和特徵嚮量是理解綫性變換本質的關鍵工具，尤其在動力係統和量子力學中至關重要。 4.1 特徵值、特徵嚮量的定義與計算： 引入特徵方程 $det(A - lambda I) = 0$，講解如何求解特徵值和對應的特徵嚮量。 4.2 相似變換與相似矩陣： 定義相似關係，證明相似矩陣具有相同的特徵多項式、行列式和跡。 4.3 對角化理論（相似對角化）： 探討矩陣可對角化的充要條件——代數重數與幾何重數的關係。詳細分析特徵嚮量的綫性無關性。 4.4 特徵多項式、最小多項式與凱萊-哈密頓定理： 引入特徵多項式 $p_A(lambda)$ 和最小多項式 $m_A(lambda)$ 的概念，並證明凱萊-哈密頓定理（矩陣滿足其自身的特徵方程），利用最小多項式簡化矩陣計算。 4.5 Jordan標準型（JNF）的理論基礎： 討論當矩陣不可對角化時，如何通過廣義特徵嚮量構造Jordan塊，最終得到矩陣的Jordan標準型。這是對相似性理論的終極深化。 第三部分：內積空間與二次型 本部分引入度量結構，將綫性代數的討論從純粹的代數運算擴展到具有長度和角度的幾何意義上。 第五章：內積空間與正交性 5.1 內積（點積）的定義與性質： 在實數域和復數域上定義內積，並由此導齣長度（範數）和角度的概念。 5.2 正交基與施密特（Gram-Schmidt）正交化過程： 闡述正交嚮量集的綫性無關性。詳細描述施密特正交化過程，說明任何有限維內積空間都存在正交基。 5.3 正交投影與最小二乘法： 利用正交分解理論，求解嚮量到子空間的正交投影。這是解決綫性方程組超定問題的核心數學工具。 5.4 正交矩陣與酉矩陣： 研究保持長度和角度的變換，討論正交矩陣（實數域）和酉矩陣（復數域）的性質。 5.5 伴隨算子與自伴（自共軛）算子： 在內積空間中定義綫性算子的伴隨算子，並深入分析自伴算子的性質（特徵值必為實數）。 第六章：二次型與張量 本章將內積空間的概念推廣到二次函數形式的研究，這是微分幾何、優化理論和統計學的基礎。 6.1 二次型及其矩陣錶示： 定義二次型 $f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，闡明二次型與對稱矩陣的關係。 6.2 閤同變換與規範形： 討論閤同變換（通過可逆矩陣 $P$ 變換 $A o P^T A P$），目標是將二次型化為最簡的規範形。 6.3 主軸定理（譜定理）： 這是內積空間理論的巔峰成果之一。對於實對稱矩陣，證明其總可以通過正交變換（即相似對角化）對角化，並且對角化矩陣的特徵值即為二次型的特徵值。 6.4 正定性、半正定性與慣性定理： 利用特徵值或主子式判斷二次型的正定性。闡述Sylvester慣性定理，說明二次型的規範形隻與主對角綫上的正負號數量有關。 6.5 張量的初步概念： 簡要介紹張量作為多重綫性函數或多維數組的背景，以及張量積在構建更高階代數結構中的作用，為進一步學習微分幾何和物理學打下基礎。 --- 本書的編寫遵循循序漸進的原則，強調定理的證明過程，而非僅僅羅列公式。通過大量的實例分析和練習，讀者將不僅掌握綫性代數的計算技巧，更能深入理解其背後蘊含的深刻幾何與代數思想，為後續學習代數拓撲、泛函分析乃至更高級的數學分支做好充分準備。

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