Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Pertti Mattila

出品人:

页数:356

译者:

出版时间:1999-04

价格:USD 70.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521655958

丛书系列:

图书标签:

• geometry
• 几何
• 测度论
• 欧几里得空间
• 集合论
• 数学分析
• 拓扑学
• 实分析
• 积分
• 函数空间
• 高等数学

《几何的边界：非欧几何的奇迹》 本书将带领读者踏上一段穿越时空，探索超越我们日常直觉的几何世界的非凡旅程。我们通常所熟知的欧几里得几何，以其直线、平面和我们熟悉的形状定义了我们对空间的基本理解。然而，当我们将目光投向更广阔的宇宙，或者深入研究数学的抽象领域时，一个更加丰富、更加令人着迷的几何学画卷便徐徐展开——那便是非欧几何。 《几何的边界》并非一本枯燥的数学定理堆砌之作，它是一部充满奇思妙想的探险故事。我们将从古希腊的欧几里得出发，回顾那条长久以来被认为是唯一正确的公理之路。然后，我们将勇敢地迈出一步，挑战欧几里得第五公设，即那条“平行线公设”，它如同一个古老的封印，长久以来阻碍着几何学的进一步发展。 本书的第一部分将着重于双曲几何。想象一下，在一个马鞍状的表面上，直线不再是笔直的，平行线不再是永不相交的。在这里，三角形的内角和会小于180度，同一条直线可以通过两个点画出无数条不相交的直线。我们将通过生动形象的比喻和直观的插图，帮助读者理解这些看似违背常理的概念。我们将探讨普朗克模型的奇异世界，在那里，距离的衡量方式发生了根本性的改变；我们将走进庞加莱的半平面模型，感受在那片“无限”的画布上，几何形状如何扭曲和变形。我们会看到，双曲几何并非仅仅是数学家的抽象游戏，它在宇宙学、天体物理学，甚至在某些新型材料的设计中都扮演着重要的角色。 接着，我们将转向量椭圆几何，也称为球面几何。想象一下，我们生活在一个球体的表面，直线变成了大圆的一部分，最短的路径不再是简单的直线，而是沿着球面弯曲的路径。在这里，平行线是不存在的，任何两条“直线”（即大圆）最终都会相交，甚至可能相交于无数个点。本书将揭示，在球面上，三角形的内角和会大于180度。我们将通过地球上的航海路线来体会球面几何的实际应用，理解为什么飞机和轮船的航线并非我们肉眼所见的直线。我们还将探讨黎曼几何的早期形态，感受它在描述引力场和时空曲率方面的巨大潜力。 本书的第三部分将深入探讨非欧几何的统一理论与应用。我们将看到，双曲几何和椭圆几何并非孤立的数学体系，它们实际上是非欧几何的两种基本类型，都可以被看作是更一般化的黎曼几何的特例。我们将介绍黎曼曲面的概念，理解它如何将多种几何形态融为一体，成为描述复杂空间结构的强大工具。我们会简要介绍微分几何的核心思想，阐述如何通过曲率来刻画空间的弯曲程度，以及这些曲率如何决定了在这个空间中几何学的基本性质。 更令人兴奋的是，《几何的边界》将不仅仅停留在理论层面。我们将勾勒出非欧几何在现代科学中的广泛影响。从爱因斯坦的广义相对论，理解宇宙为何会膨胀、黑洞如何形成，到粒子物理学中对基本粒子相互作用的描述，再到计算机图形学中创造出逼真三维世界的算法，非欧几何的思想无处不在。本书将以通俗易懂的语言，阐述这些高深理论背后的几何学原理，让读者惊叹于数学的创造力和洞察力。 本书并非为专业的数学家而写，而是面向所有对宇宙、空间和数学的奥秘充满好奇的读者。无论你是否拥有深厚的数学背景，都能在这本书中找到属于自己的乐趣。我们将尽量避免使用过于艰涩的专业术语，而是通过丰富的类比、历史故事和哲学思考，引导读者逐步领略非欧几何的独特魅力。 《几何的边界：非欧几何的奇迹》旨在激发读者对几何学的全新认识，打破固有的思维模式，拥抱数学世界中那些超越日常经验的奇妙可能性。它将证明，几何学远不止是我们课本上的那些平直的线条和规则的图形，它更是一种探索未知、理解宇宙的强大语言。准备好，让我们一起开启这场穿越几何边界的非凡冒险吧！

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这本书在排版和印刷质量上达到了极高的水准。纸张的质感厚实，即使用钢笔书写笔记，也不会有墨水洇开的困扰。最让我感到满意的是，作者在公式的编排上极具艺术感。复杂的积分表达式和集合符号被清晰地分隔在不同的行或段落中，每一行公式似乎都在呼吸，避免了传统教科书那种拥挤不堪的视觉疲劳。公式的编号和引用系统设计得极为人性化，当你需要回溯某个关键引理时，可以迅速定位。此外，书中对于符号的定义保持了高度的一致性，从第一章到最后一章，对诸如 $mathbb{R}^n$ 上的开集、紧集、以及各种测度符号的使用都恪守同一规范，这极大地减少了阅读歧义。这种对细节的执着，体现了出版方对学术内容的尊重。它不仅仅是一本工具书，更是一件可以长期珍藏的精美印刷品，每次翻阅都是一种享受。

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这本书的宏大视野和理论的完整性令人肃然起敬。它没有将欧氏空间视为一个孤立的结构，而是将其置于更广阔的泛函分析和微分几何的背景下进行审视。作者巧妙地引入了诸如Sobolev空间这样的分析工具，来讨论涉及高阶微分的几何问题，这在一般的测度论教材中是很少见的。这种跨学科的融合，使得原本相对静态的几何描述获得了动态的分析生命力。我尤其欣赏书中对正则性和光滑性的讨论，它不再仅仅是拓扑性质的延伸，而是与函数空间上的范数紧密联系起来的实质性问题。这本书的价值在于，它不仅仅教会了你如何计算和证明，更重要的是，它培养了一种将不同数学分支联系起来的整体观。读完后，你会感觉自己对“空间”的理解不再局限于固定的坐标系，而是扩展到了一系列可度量、可分析的抽象结构之上。这无疑是一次对思维边界的有力拓展。

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这本书的篇幅相当可观，内容之丰富令人惊叹，简直像一座数学知识的宝库。它并非仅仅停留在欧氏空间的基础度量和体积计算上，而是大胆地将集合论的抽象性与欧氏几何的直观性进行了深度融合。我特别欣赏作者处理集合代数和拓扑结构的方式，那种将无限集合的操作如同有限集合般处理的自如感，展现了作者深厚的功力。书中对“体积”和“面积”概念的推广，从黎曼积分到勒贝格测度的过渡处理得极其流畅自然，没有那种突兀的断层感。每次深入阅读，都能感觉到作者在努力搭建一座桥梁，连接着直观的几何想象与严格的分析工具。更值得一提的是，书中穿插的若干历史注脚和对早期数学家思想的引用，让人在学习知识点的同时，也能感受到数学思想发展的脉络。这不仅仅是一本教科书，更像是一部关于空间测度理论发展史的微型百科全书，让人在求解“是什么”的同时，也思考“为什么是这样”。

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坦率地说，这本书的阅读体验充满了挑战，它要求读者具备相当的分析基础和几何直觉的储备。对于那些希望快速掌握基础工具的读者来说，这本书可能显得有些“过于深入”了。作者似乎更偏爱于从底层原理出发构建理论大厦，而非采用快速应用导向的讲解模式。例如，在处理Borel集和测度空间的构造部分，涉及大量的集合操作和函数空间的定义，逻辑链条非常长，稍有不慎就可能迷失方向。我发现，仅仅依靠被动阅读是远远不够的，我不得不频繁地停下来，在草稿纸上自己推导或绘制辅助图形。然而，一旦跨越了那些技术性的难点，所获得的理解深度是其他任何入门读物都无法比拟的。它强迫你不仅仅是“知道”某个定理如何运用，而是必须“理解”它在更高维度空间中运行的内在机制。这种“硬核”的风格，无疑是为那些立志于在几何分析领域深耕的研究生和学者准备的精良教材。

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这本书的封面设计得非常引人注目，深蓝色的背景上点缀着精致的几何图形，营造出一种既古典又现代的学术氛围。初次翻开它时，我立刻被其严谨的逻辑结构和清晰的论证过程所吸引。作者似乎非常注重基础概念的铺陈，从最基本的点集拓扑讲起，逐步深入到测度论的核心。阅读过程中，我发现作者的叙述方式非常细腻，对于一些看似微小但至关重要的细节，都会给予充分的解释和推导，这对于初学者来说无疑是一大福音。例如，在讲解勒贝格积分的收敛定理时，作者不仅给出了定理的陈述，还详细剖析了每个假设条件的必要性，并通过构造反例来加深理解。这种循序渐进、注重细节的教学方法，使得原本枯燥的数学理论变得生动起来。书中的图示也非常精妙，虽然是黑白印刷，但线条的精确度足以让人在脑海中构建出清晰的空间图像，极大地辅助了对高维几何概念的理解。整体而言，这是一本为严肃的数学学习者量身打造的佳作，它不仅传授知识，更培养读者的数学直觉和严谨的思维习惯。

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