Geometry of Riemannian Spaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Math Science Press

作者:Elie Cartan

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1983-08

价格:USD 85.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780915692347

丛书系列:

图书标签:

• 其余代数7
• geometry
• Riemannian geometry
• Differential geometry
• Manifolds
• Topology
• Curvature
• Metric spaces
• General relativity
• Pseudo-Riemannian geometry
• Geometric analysis
• Mathematical physics

《几何学：黎曼空间的深度探析》 本书旨在深入浅出地剖析黎曼几何的核心概念与精妙构造，为读者提供一条理解曲率、测地线、微分流形等关键要素的清晰路径。我们并非仅仅罗列定义与定理，而是力求展现黎曼空间作为现代几何学基石的强大力量，以及它在物理学、拓扑学等诸多前沿领域中扮演的关键角色。 第一部分：微分流形的基石 在深入黎曼几何之前，建立对微分流形坚实的理解至关重要。本部分将从直观的角度出发，介绍流形的局部欧几里得性质，并通过切空间的概念，为后续引入度量张量铺平道路。我们将探讨光滑映射、向量场以及它们的流量，理解这些基本工具如何在抽象空间中建立起“运动”和“方向”的概念。通过一系列精心设计的例子，读者将能逐步体会到，即使在弯曲的空间中，我们依然可以借助于局部坐标系来理解其内在结构。 第二部分：黎曼度量的引入与曲率的衡量 黎曼几何的灵魂在于度量张量。本部分将详细阐述如何通过度量张量来定义距离、角度，并进一步引出体积的计算。我们将重点关注曲率的概念，这是衡量黎曼空间弯曲程度的核心指标。从最直观的曲率向量和法曲率，到更为抽象的黎曼曲率张量、里奇曲率和标量曲率，本书将循序渐进地揭示这些量如何捕捉空间的局部几何性质。我们将探讨正曲率、负曲率以及零曲率空间的不同表现，并展示曲率如何在塑造空间的整体形态方面发挥决定性作用。 第三部分：测地线与黎曼指数 测地线是黎曼空间中的“直线”，它们是连接两点之间最短路径的推广。本部分将深入研究测地线的存在性、唯一性以及它们的性质。我们将介绍协变微分的概念，它是理解测地线以及后续微分算子不可或缺的工具。通过对测地线方程的求解和分析，读者将能体会到在弯曲空间中，路径的“直”与“弯”是如何被精确描述的。此外，我们还将引入黎曼指数，它在研究测地线的稳定性以及空间的拓扑性质方面有着重要的意义。 第四部分：黎曼流形上的微分几何 在掌握了基本的黎曼几何工具后，本部分将进一步探索黎曼流形上的微分几何。我们将讨论黎曼流形上的微分算子，如拉普拉斯-贝尔特米算子，以及它们在偏微分方程和物理学中的应用。我们将介绍一些重要的黎曼流形，例如欧几里得空间、球面、双曲空间，并分析它们的几何特性。此外，本书还将触及一些更高级的主题，例如关于常曲率空间的分类，以及黎曼几何在不同几何分支（如微分拓扑、李群几何）中的交叉联系。 第五部分：应用与展望 黎曼几何并非仅是抽象的数学理论，它在现实世界中有着广泛而深刻的应用。本部分将简要介绍黎曼几何在广义相对论中的应用，解释它如何描述时空的弯曲以及引力现象。我们还将探讨黎曼几何在计算机视觉、机器学习、数据分析等领域的潜在价值，例如利用黎曼流形进行数据降维和模式识别。最后，我们将展望黎曼几何的未来发展方向，例如在量子引力、数学物理等前沿领域中的机遇与挑战。 本书力求通过清晰的逻辑、严谨的论证以及生动的例子，让读者不仅掌握黎曼几何的理论框架，更能体会到其内在的美学价值和强大的应用潜力。无论您是数学专业的学生、物理学的研究者，还是对空间几何充满好奇的探索者，都能在这本书中找到属于自己的启发与收获。

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这本书的论证风格非常古典，透露出一种对欧氏几何黄金时代的致敬，但其内核却是无比现代的。它在处理微分形式和德拉姆上同调时，展现出一种令人赞叹的流畅性，将代数拓扑的工具巧妙地融入到微分几何的框架之中，构建了一个统一的数学语言。我对作者是如何在不牺牲严谨性的前提下，将外微分的优美结构与流形的切丛联系起来感到惊叹。这种连接是如此自然，仿佛它们从一开始就注定要在一起。然而，这本书的阅读体验并非一帆风顺，它要求读者具备相当扎实的线性代数和多元微积分基础，对于初学者来说，可能需要反复查阅前置知识。但对于那些已经准备好迎接挑战的读者，它提供的深度是无与伦比的。它不满足于描述“是什么”，而是深入挖掘“为什么是这样”，尤其是在阐述体积形式的诱导和辛结构在测地流中的作用时，那种逻辑的严密性令人叹服。它更像是一部严肃的数学专著，而非轻松的科普读物，但对于真正想成为几何学家的学生来说，这是不可或缺的“圣经”之一。

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我不得不说，这本书的排版和选材体现了一种对读者智识的尊重。它不是那种试图用花哨的图示来掩盖理论深度的教材，而是直截了当地将数学的纯粹美学呈现出来。作者似乎坚信，一旦理解了核心概念的内在联系，图形辅助反而是次要的。在解析辛几何和卡坦联络时，我感受到了那种数学家特有的冷静和对对称性的迷恋。它没有回避那些令人望而生畏的张量运算，而是将它们分解成易于消化的小块，确保读者能够真正掌握这些工具的运用场景，而不是仅仅记住符号的组合。对于那些在其他“入门级”教材中感到困惑的读者，这本书提供了一种更具挑战性但最终回报也更高的路径。它要求你思考，要求你动手演算，而不是被动地接受结论。这种强迫性的互动，使得知识的吸收不再是表面的记忆，而变成了内在结构的重塑。读完关于黎曼曲率张量部分的阐述后，我感觉自己对“空间”这个概念有了全新的、更深层次的体认，仿佛能触摸到空间如何自我弯曲的细微纹理。

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我尤其欣赏作者在介绍李群与李代数在几何学中应用时的那种平衡感。他没有让抽象的群论完全淹没微分几何的主线，而是巧妙地将其作为理解空间对称性（如等距变换群）的强有力工具。关于对称空间结构（如赫尔曼流形）的讨论，简洁而有力，为读者打开了一扇通往更高级别结构的大门。这本书成功地在基础理论的严谨性和对前沿领域的展望之间找到了一个完美的平衡点。它没有像某些教材那样，在介绍完基础后就戛然而止，而是通过对动力系统在黎曼空间上行为的简要介绍，暗示了这些几何工具在现代数学物理中的广阔应用前景。对于希望从经典的欧氏和非欧几何学习中“毕业”，真正进入现代微分几何殿堂的学者而言，这本书的难度适中，内容密度恰到好处。它提供的知识网络是如此的致密和 interconnected，让人不得不佩服作者在组织如此庞大和复杂的数学体系时的匠心独运。

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这本书简直是为那些渴望在广袤的微分几何图景中找到坚实立足点的读者量身定做的。它的叙事节奏沉稳而富有逻辑，从最基础的流形概念出发，如同雕刻家打磨璞玉般，层层深入到里奇曲率和霍奇理论的殿堂。我尤其欣赏作者在处理那些抽象定义时的那种克制与精准，没有丝毫多余的冗述，每一个公式的推导都像是精心编排的舞蹈，每一步都带着必然性。阅读它，就像是攀登一座结构精巧的山脉，一开始的缓坡让人适应环境，随后愈发陡峭的路径需要全神贯注，但一旦到达顶峰，视野豁然开朗，那些原本晦涩的概念瞬间变得清晰可见。书中对测地线方程的详尽解析，以及如何利用黎曼度量张量来衡量空间内在的弯曲性，都展现了作者深厚的数学功底和高超的教学艺术。对于希望将纯粹的拓扑学知识转化为对物理世界——比如爱因斯坦的广义相对论——中时空几何理解的进阶学习者来说，这本书无疑是一盏明灯，它提供的不仅仅是工具，更是一种看待世界的方式，一种深入理解弯曲时空内在秩序的哲学视角。

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这本书的价值在于它对“度量”这一核心概念的细致入微的探讨。它不仅仅停留在黎曼流形的定义上，而是花了大量篇幅去剖析不同类型的度量，例如洛伦兹度量在因果结构构建中的特殊地位，以及芬斯勒几何中度规的非对称性所带来的复杂性。我发现作者对各种“弯曲”的分类——从里奇平坦到完全负曲率——的处理方式非常系统和清晰，为构建更复杂的几何模型打下了坚实的基础。最让我印象深刻的是它对“共形不变性”的讨论，这部分内容极具洞察力，揭示了在尺度变换下哪些几何性质得以保持。这种对结构稳定性的关注，体现了作者对几何学深层哲理的把握。阅读过程中，我多次停下来，反复思考那些关于测地线完备性和空间紧凑性的定理，它们不仅仅是技术性的证明，更是关于空间存在与边界的深刻思考。这本书的深度要求读者以一种“几何直觉”去辅助冰冷的符号运算，从而真正驾驭这些强大的数学工具。

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