Gauge Field Theory and Complex Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer; 2nd edition (June 27, 1997)

作者:Yuri I. Manin

出品人:

页数:358

译者:N. Koblitz (Translator)

出版时间:1997-6-27

价格:0

装帧:

isbn号码:9783540613787

丛书系列:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

图书标签:

• 物理
• Gauge Theory
• Complex Geometry
• Mathematical Physics
• Differential Geometry
• Topology
• Fiber Bundles
• Characteristic Classes
• Index Theory
• Kähler Manifolds
• Symplectic Geometry

复杂几何与规范场论的交汇点：跨越纯粹数学与理论物理的桥梁 本书旨在深入探索规范场论这一物理学核心框架与复几何这一纯粹数学分支之间深刻而复杂的联系。我们不直接探讨特定已出版的教科书《Gauge Field Theory and Complex Geometry》的内容，而是构建一个平行且互补的知识图景，着重勾勒出两个领域在现代物理与数学前沿交叉时所涌现出的关键概念、深层结构及其应用潜力。 本书的叙事主线围绕着几何化方法在理解基本粒子相互作用中的不可替代性展开。规范场论的基石在于连接空间中不同点的纤维丛结构，而复几何，特别是其在高维和非紧致流形上的推广，为描述这些纤维丛的拓扑不变量和局部形变提供了必要的数学语言。 第一部分：规范场的几何化基础与纤维丛结构 本书的开篇聚焦于如何将规范场论的物理直觉——例如电磁力和后来的杨-米尔斯理论——转化为严谨的几何实体。我们从微分几何的语言切入，详细阐述了主纤维丛（Principal Fiber Bundles）在描述规范对称性中的核心作用。 规范势（Gauge Potentials）不再被视为简单的联络一形式，而是被提升到纤维丛上的联络（Connection $omega$）。这种提升的物理意义在于，它使得沿着纤维丛上的路径积分具有规范不变性。我们详细分析了曲率形式（Curvature Form $F = domega + omega wedge omega$），它直接对应于物理中的场强张量。规范群 $G$ 的李代数结构在曲率的张量积和李括号运算中得到了完美的体现。 随后，本书将视角转向复几何的工具箱。对于描述弱电磁相互作用的 $U(1)$ 规范群和描述强核力及电弱统一的 $SU(2) imes U(1)$ 或更一般的李群，我们需要引入复结构。在具有 Kähler 结构的复流形上，我们探讨了向量丛（Vector Bundles）的几何特性，特别是其Chern 类（Chern Classes）。这些拓扑不变量，如 $c_1, c_2$，不仅是几何的固有属性，更在物理中与规范场的瞬子（Instantons）和拓扑荷（Topological Charges）直接关联起来。 我们专门用一章来剖析霍奇理论（Hodge Theory）在规范场分析中的应用。对规范场方程的求解，特别是寻找真空解或有限能量解，往往可以转化为在特定复流形上寻找特定的微分形式的解。复共轭、共价形式（Dolbeault 算子 $ar{partial}$）的使用，使得对杨-米尔斯场方程的分析从纯粹的实分析问题，转化为了在复流形上更容易处理的椭圆型方程组。 第二部分：拓扑与形变理论：瞬子、模空间与希尔伯特-普林斯顿方程 规范场论中最引人注目的非微扰现象是瞬子解，它们代表了规范场在时空中的非平凡拓扑构型。本书将瞬子理论置于模空间（Moduli Space）的框架下进行研究。 瞬子解的集合形成了一个高维的几何空间——瞬子模空间。该空间的结构是研究规范场动力学的关键。我们深入讨论了Adler-Kostant-Symes 构造在描述规范场模空间中的作用，以及如何利用Seiberg-Witten 映射（尽管这更多与特定理论相关，但其背后的几何思想是通用的）来连接纯粹的拓扑量与物理的可观测参数。 复几何提供了研究模空间形变的核心工具。我们探讨了Obstruction Theory和切空间的构造。对于一个给定的瞬子解（或更一般地，一个联络），其微小形变（一阶形变）的空间由复李群上对联络的线性化方程决定。这直接引入了上同调群 $ ext{Ext}^1(E, E)$ 的概念，它衡量了模空间在特定点处的“弯曲”程度。 此外，本书详细考察了规范场论中的量化问题。在经典层面，规范场动力学由作用量决定；在量子层面，我们需要对这些场进行路径积分。为了使路径积分在拓扑非平凡的背景下有意义，我们需要引入拓扑规范理论（Topological Gauge Theories），其中作用量被拓扑不变量所主导。在复几何的框架下，这与Gromov-Witten 理论的某些方面有着深刻的代数几何联系，尽管我们聚焦于更基础的规范理论工具。 第三部分：规范场论在弦论和共形场论中的泛化 规范场与复几何的深刻联系在更高能级的理论中变得尤为显著。本书的最后部分将探讨这些结构如何自然地出现在描述弦理论的背景中。 共形场论（CFT）是理解低维（如 $d=2$）量子场论的关键。在 $d=2$ 情况下，闵可夫斯基时空具有 $ ext{Diff}(mathbb{R}^2)$ 对称性，这在复平面上转化为共形群，一个无穷维的李代数，即 Virasoro 代数。本书将展示规范场论的 $eta$ 函数在 $ ext{Virasoro”不变性”下是如何被约束的。复几何的工具，如 Riemann 曲面和稳定束，成为了分析 $d=2$ 规范理论（如 Chern-Simons 理论）的核心。 最后，我们触及AdS/CFT 对偶的几何基础。在弦理论中，规范场论出现在布兰（Branes）的有效作用量中。AdS 空间的度规结构，以及卡拉比-丘成流形（Calabi-Yau Manifolds）作为内部空间的描述，直接决定了低能有效规范理论的结构和参数（如规范群的选择和耦合常数）。复几何，特别是米兰诺夫-威滕（MMP）理论，为理解这些高维几何如何坍缩并产生我们所观测到的低维规范对称性提供了蓝图。 通过这种从基础纤维丛、拓扑荷到模空间形变和高维对偶的系统性考察，本书旨在为读者构建一个全景式的认识：规范场论不仅仅是描述基本力的物理模型，更是一种根植于深刻数学结构的现象，其中复几何提供了理解其非微扰本质和拓扑特性的关键钥匙。

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