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出版者:

作者:丁百平 编

出品人:

页数:109

译者:

出版时间:2010-7

价格:17.30元

装帧:

isbn号码:9787040300796

丛书系列:

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探微：高等代数核心概念解析与应用 （本书并非《数学教学参考书》，也与任何特定学科的教学参考资料无关，它专注于高等代数的理论深度与实际应用。） 卷首语：跨越抽象的桥梁 数学，尤其是高等代数，常被视为通往科学与工程核心殿堂的钥匙。然而，其抽象的符号和严谨的逻辑结构，对于初学者而言，往往构成一道难以逾越的屏障。本书《探微：高等代数核心概念解析与应用》，旨在充当一座坚实的桥梁，连接纯粹的理论证明与直观的几何意义，将复杂的代数结构分解为易于理解的逻辑单元。我们不求面面俱到地覆盖所有初级教材中的例题解析，而是将笔墨集中于那些决定理解深度的“核心概念”——那些一旦掌握，便能举一反三，触类旁通的关键节点。 第一部分：向量空间的奠基与拓展 本书的开篇聚焦于向量空间这一现代数学的基石。我们不满足于线性组合和张成的基本定义，而是深入探究其内在的结构与性质。 第一章：线性无关性、基与维数的本质 线性无关性（Linear Independence）的定义看似简单，却是理解空间自由度的关键。我们着重分析了判断线性无关性的矩阵方法，并引入了“基的唯一性与最小生成集”之间的内在联系。章节深入探讨了有限维向量空间的维数（Dimension），不仅仅将其视为基向量的个数，而是将其提升到“自由度”的哲学高度。我们将通过高维几何模型（例如，四维立方体的投影）来直观展示，为何维数是衡量空间复杂度的终极指标。此外，我们还将详细剖析同构（Isomorphism）的概念，阐释为什么不同看起来的向量空间，只要维度相同，其代数结构在本质上是等价的。 第二章：线性变换的几何诠释与矩阵表示 线性变换（Linear Transformation）是连接不同向量空间的动态桥梁。本书摒弃了仅将线性变换视为矩阵乘法的做法，而是强调其几何意义：旋转、拉伸、投影和剪切。我们详细分析了线性变换的核（Kernel，或零空间）和像（Image，或值域），并结合秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），揭示了变换过程中信息丢失与保留的精确度量。一个重要的讨论点是相似变换，我们探讨了两个矩阵代表同一个线性变换的不同视角，以及这种视角切换对计算复杂度的影响。 第二部分：行列式与特征值的深度剖析 进入矩阵理论的核心区域，我们对行列式和特征值进行了超越传统计算的讨论。 第三章：行列式的多线性、交错性及其深层意义 行列式（Determinant）的定义通常是繁琐的代数公式。本书通过多线性形式和交错性（Alternating Property）来重构行列式的概念。我们证明了行列式在几何上代表了线性变换对体积（或面积）的定向缩放因子。重点分析了拉普拉斯展开的递归本质，并探讨了在处理大型稀疏矩阵时，行列式计算的数值稳定性问题，对比了代数定义与数值近似方法的优劣。 第四章：特征值、特征向量与动力系统的稳定性 特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）是理解线性系统长期行为的钥匙。我们不仅关注如何计算它们，更关注特征分解（Eigen-decomposition）在对角化（Diagonalization）中的核心作用。本书将特征分解与线性动力系统的稳定性分析紧密结合：实数特征值对应指数增长或衰减，复数特征值对应振荡行为。我们还会引入若尔当标准型（Jordan Canonical Form），作为对角化失败情况下的“最佳近似”，它揭示了线性系统在存在重根时的精细运动轨迹。 第三部分：内积空间与正交性几何 内积空间（Inner Product Space）为抽象的向量空间注入了度量和角度的概念，是傅里叶分析、偏微分方程求解的基础。 第五章：内积、长度与投影的几何直觉 我们将从欧几里得空间出发，推广到任意抽象向量空间上的内积。重点阐述柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）的普适性，将其视为衡量两个“向量”相似度的基本工具。正交投影（Orthogonal Projection）被视为在子空间上寻找“最佳近似解”的操作，这在最小二乘法中具有不可替代的地位。 第六章：正交基、施密特过程与谱定理的威力 施密特正交化（Gram-Schmidt Process）的算法被视为将任意基转化为一套更具结构性的正交基的工具。我们深入剖析了正交基在简化坐标变换和计算投影时的巨大优势。本书的难点和重点在于对称矩阵的谱定理（Spectral Theorem for Symmetric Matrices）。我们详细论证了为什么对于实对称矩阵，总能找到一组完整的正交特征向量，以及这一性质如何保证二次型（Quadratic Forms）的对角化是稳定且可解释的。 第四部分：应用前沿与理论的融会贯通 本书的最后部分将目光投向高等代数在其他领域的具体应用，展示其作为核心理论的生命力。 第七章：二次型、协方差矩阵与数据分析 二次型在几何上对应于锥面（椭圆、双曲面等）。我们将介绍如何通过正交变换将二次型对角化，从而确定其类型。更重要的是，我们将其应用于统计学：协方差矩阵（Covariance Matrix）的特征值和特征向量直接导出了主成分分析（PCA）的核心思想，即如何通过寻找数据方差最大的方向来降低数据的维度，同时尽可能保留信息。 第八章：线性规划的代数基础与单纯形法概述 虽然线性规划（Linear Programming）是优化理论的一部分，但其可行域的定义——一组线性不等式所界定的凸多面体——是纯粹的线性代数结构。我们简要概述了单纯形法（Simplex Method）的代数基础，特别是基可行解的概念，展示了如何通过一系列的行初等变换（与求解线性方程组的方法同源）在多面体的顶点间进行高效搜索，以找到最优解。 结语：超越计算的洞察力 《探微：高等代数核心概念解析与应用》的目的，是培养读者对线性结构本质的深刻理解。它并非一本旨在快速通过考试的习题解析集，而是一本旨在构建稳固理论框架、培养跨学科应用思维的深度读物。掌握本书内容后，读者将能以更少的精力去应对更复杂的矩阵运算，并将高等代数的工具箱无缝应用于微分方程、泛函分析乃至现代编码理论的挑战之中。我们相信，真正的数学美感，蕴藏在这些抽象概念的相互关联与和谐统一之中。

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