代数拓扑基础 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:杨鼎文

出品人:

页数:214

译者:

出版时间:

价格:6.30

装帧:平装

isbn号码:9787030027702

丛书系列:

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《代数拓扑基础》—— 探索抽象空间的奥秘 本书旨在带领读者踏上一段迷人的数学之旅，深入探索代数拓扑这一迷人领域的精髓。我们并非要浅尝辄止，而是要构建一套坚实的理论框架，赋予读者理解和运用代数工具解决拓扑问题的能力。 核心内容概览： 本书的叙事围绕着“用代数方法研究拓扑空间”这一核心思想展开。我们将从最基本也最核心的概念出发，逐步构建起代数拓扑的研究工具箱。 基本群（Fundamental Group）与同伦（Homotopy）： 这是代数拓扑的基石。我们将详细介绍同伦的概念，它提供了一种判断两个连续映射在拓扑上是否“等价”的方式。在此基础上，我们将定义基本群，它能够捕捉空间中“洞”的结构。本书将深入探讨基本群的性质，例如它如何依赖于基点的选择，以及如何通过凯莱-尼尔森定理（Cayley-Dickson theorem）来理解其结构。我们将学习计算一些基本空间的odings，例如圆周、球面以及更复杂的流形。 同调论（Homology Theory）： 在基本群之外，同调论提供了更为精细的工具来刻画空间的“洞”。我们将从链复形（Chain Complex）和链群（Chain Group）的概念入手，循序渐进地介绍链复形的同调群（Homology Group）。我们将详细阐述单体同调（Simplicial Homology）和奇异同调（Singular Homology）这两种重要的同调理论，并证明它们在很多情况下是等价的。读者将学会如何计算不同空间的同调群，并理解同调群如何反映空间的连通性、洞的数量以及更深层次的拓扑结构。 上同调论（Cohomology Theory）： 作为同调论的对偶，上同调论提供了另一种视角来研究空间的拓扑性质。我们将介绍上链复形（Cochain Complex）和上链群（Cochain Group），并定义上同调群。本书将展示上同调论与同调论之间的深刻联系，例如通过万有系数定理（Universal Coefficient Theorem）来建立它们之间的关系。我们将学习如何在环上定义上同调，例如许造环（cohomology ring），它能够捕捉空间更丰富的代数结构。 纤维丛（Fiber Bundles）与陈类（Chern Classes）： 这是一个更加进阶但至关重要的部分。我们将引入纤维丛的概念，它是在基空间上“粘合”了一族纤维的拓扑空间。我们将重点关注向量丛（Vector Bundles），并介绍与之相关的陈类。陈类是向量丛的重要的不变量，它们在微分几何、代数几何以及物理学等领域有着广泛的应用。本书将引导读者理解陈类的构造和基本性质，并展示它们如何帮助我们区分不同的向量丛。 应用与联系： 除了理论的深入探讨，本书还将不时穿插代数拓扑在其他数学分支以及物理学中的经典应用，例如不动点定理（Fixed Point Theorems）、不动点引理（Brouwer Fixed Point Theorem）、以及在流形分类中的作用。这些应用将帮助读者更直观地理解代数拓扑的力量和普适性。 学习本书所需的基础： 为了更好地吸收本书的内容，建议读者具备一定的集合论、实数分析和线性代数基础。同时，对一般的拓扑空间和连续映射有一定的了解会非常有帮助。 本书特色： 循序渐进，由浅入深： 我们精心设计了内容的组织结构，从最基础的概念出发，逐步过渡到更为复杂的理论。 理论与实践并重： 本书在讲解抽象理论的同时，也提供了大量的例子和计算，帮助读者巩固理解。 清晰的逻辑与严谨的证明： 我们力求在保持数学严谨性的前提下，用清晰易懂的语言阐述概念和定理。 面向未来的视角： 本书的最终目标是为读者打下坚实的代数拓扑基础，使其能够进一步探索更高级的主题，例如层论（Sheaf Theory）、谱序列（Spectral Sequences）以及更复杂的同伦论（Homotopy Theory）。 本书的目标读者： 本书适合数学专业本科高年级学生、研究生，以及对代数拓扑感兴趣的科研人员。它既可以作为相关课程的教材，也可以作为自学者的参考读物。 通过阅读本书，您将能够： 深刻理解同伦与同调等基本概念的含义。 熟练掌握计算各种空间的基本群和同调群的方法。 认识到代数工具在研究几何对象中的强大威力。 为进一步深入学习代数拓扑及相关领域打下坚实的基础。 我们相信，一旦您开始探索代数拓扑的世界，您将被它所展现出的抽象之美和逻辑的严谨所深深吸引。

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这本书的讲解实在太清晰了！我之前在学拓扑学的时候，对于那些抽象的概念总是感到有些困惑，特别是像同伦群和纤维丛这些内容，书本上的符号堆砌让我望而生畏。但这本书不同，作者似乎非常理解初学者的困境，他用非常生动且富有启发性的语言来解释这些概念。比如，在讲解基本群时，他不仅仅给出了严格的定义，还引入了很多直观的例子，像是麻绳的缠绕或者圆环的形变，让我一下子就抓住了核心思想。更让我印象深刻的是，他对代数工具的引入非常自然，不像有些教材那样，先抛出一大堆群论的知识，读者学起来很吃力。这本书的做法是，每当需要用到一个代数工具时，才适时地引入，并且立刻解释它在拓扑结构中的具体作用，这种“即学即用”的方式大大提高了我的学习兴趣和效率。书中的图示也做得非常出色，有些复杂的空间结构，通过图文并茂的解释，我不再需要花费大量时间去想象那些高维空间了。总而言之，这是一本非常适合作为入门教材的佳作，它搭建了一座坚实的桥梁，连接了直观的几何想象和严谨的代数分析。

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这本书的习题设置简直是神来之笔！很多数学书的习题要么是简单到直接套用定理，要么是难到完全没有头绪，但这本书的习题设计似乎经过了精心策划。它巧妙地穿插在各个概念讲解之后，既有巩固基础理解的小练习，也有引导你探索更深层次结构的“挑战题”。我尤其喜欢那些需要将不同章节的知识点结合起来解决的问题，这迫使我不能仅仅停留在孤立地理解某个定理，而是要学会如何构建一个完整的拓扑论证链条。例如，有一个关于流形分类的练习，它要求我综合运用微分形式、上同调以及覆盖空间的概念来证明一个结论，这个过程极大地锻炼了我的综合分析能力。而且，书后附带的解题思路（虽然不是完全详细的解答）也提供了必要的指引，避免了长时间的卡壳。可以说，通过认真完成这些习题，我不仅学到了代数拓扑的知识，更重要的是，我学会了如何像一个真正的数学家一样去思考和证明问题。

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读完这本书，我最大的感受就是其内容的深度和广度兼顾得恰到好处。它并没有停留在简单的点集拓扑层面，而是迅速深入到代数拓扑的核心领域，比如塞尔-怀尼曼谱序列的引入虽然有些挑战性，但作者的叙述逻辑严密，每一步的推导都交代得清清楚楚，这对于想要从事更高阶研究的读者来说，无疑提供了宝贵的资源。我特别欣赏它对“范畴论”思想的渗透，尽管没有专门开辟一个庞大的章节来讲解范畴论，但从各种函子和自然变换的运用中，可以清晰地看到作者是如何用范畴的语言来统一和简化不同拓扑空间的结构之间的关系。这使得我在处理复杂映射和结构保持性问题时，思维框架变得更加开阔和统一。当然，对于纯粹的初学者来说，某些章节可能需要多花一些时间来消化，但正是这种不回避难点的勇气，才使得这本书的学术价值得以凸显。它不只是一本工具书，更像是一位经验丰富的导师，在你遇到瓶颈时，总能提供一个更加深刻的视角来审视问题。

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这本书的叙事风格非常个人化，读起来有一种与一位智者对话的感觉，而不是在啃一本冷冰冰的教科书。作者在阐述理论时，时常会穿插一些历史背景的介绍，比如某个概念是如何被提出，以及不同数学家之间思维碰撞的火花。这种“讲故事”的方式，让我对这些抽象概念的诞生和演变有了更深的情感连接。它让我明白了，数学理论并非凭空出现，而是人类智慧在解决具体问题过程中不断迭代的结果。例如，在讲解庞加莱对偶定理时，作者追溯了其在物理学和几何学中的应用起源，使得这个看似纯粹的代数结果变得鲜活起来。这种人文化的处理，极大地缓解了代数拓扑固有的枯燥感，让我愿意主动去探索那些需要付出努力才能理解的部分。它成功地将一门高深的学科，变成了一场引人入胜的智力探险。

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就排版和印刷质量而言，这本书给人的感觉是非常专业的。纸张的质感很好，拿在手里有分量，长时间阅读眼睛也不会感到疲劳。数学符号的渲染清晰锐利，尤其是那些涉及矩阵、张量或复杂希腊字母的公式，都没有出现模糊或印刷错误的情况，这在数学专业书籍中是非常重要的细节，能极大地减少阅读时的干扰。装帧设计上，虽然谈不上花哨，但整体风格沉稳大气，符合其学科的严肃性。章节的划分逻辑清晰，页眉和页脚的导航信息明确，方便快速定位到特定的定理或定义。我很少遇到需要反复翻页去核对脚注或参考文献的情况，因为大部分必要的背景信息都被巧妙地融入到了正文的注解或脚注中，保持了阅读的流畅性。对于经常需要查阅和回顾的读者来说，这种高质量的实体书体验是电子版无法替代的。

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