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出版者:

作者:Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, W. E.;

出品人:

页数:448

译者:

出版时间:2010-5

价格:$ 25.93

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isbn号码:9780486477664

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深度探索数学分析的基石：从极限到测度 《深度探索数学分析的基石》 是一部旨在带领读者深入理解数学分析核心概念的著作。本书着力于构建严谨的理论框架，为读者打下坚实的数学分析基础，从而能够自信地应对更高级的数学挑战。 本书的开篇从数学语言与逻辑入手，强调了数学证明的精确性和严密性。在建立完备的集合论和逻辑推理工具后，我们将注意力转向实数系的构建。本书会详细阐述实数系的完备性公理，并由此引申出上确界与下确界的性质，这为后续所有分析学内容的展开奠定了不可动摇的基础。 紧接着，本书深入探讨了序列与极限。读者将学习极限的 $epsilon-delta$ 定义，理解收敛序列的充要条件，并掌握处理各种类型序列极限的方法。不动点定理、柯西序列等重要概念将得到详尽的论述，帮助读者深刻理解序列收敛的本质。 函数的连续性是本书的另一个重要组成部分。我们将在 $epsilon-delta$ 的框架下，严格定义函数的连续性，并探讨连续函数的性质，如有界性、介值定理以及一致连续性。开集、闭集等拓扑概念也将引入，为理解多变量函数连续性打下基础。 导数的概念及其应用是数学分析的核心内容之一。本书将从极限的视角严格定义导数，并系统地推导一系列重要的微分法则，包括线性法则、乘积法则、商法则以及链式法则。拉格朗日中值定理、罗尔定理等微分学基本定理将得到深刻的剖析，并展示它们在求解不等式、分析函数单调性等方面的强大威力。洛必达法则的严谨证明也将是本书的亮点。 级数的理论是分析学中研究无穷多项相加问题的关键。本书将详细介绍收敛级数的判别方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法以及阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。幂级数的收敛性、收敛半径的确定以及泰勒展开式及其应用也将得到深入的探讨，帮助读者理解函数的局部近似以及级数与函数之间的深刻联系。 在进入积分领域之前，本书将为读者准备必要的铺垫。我们首先介绍黎曼积分的概念，并详细阐述黎曼可积的充要条件。然后，我们将通过一系列例子，展示如何计算黎曼积分，并证明积分的线性性质、区间可加性等重要性质。 在黎曼积分的基础上，本书将进一步扩展到更广泛的积分理论。勒贝格积分是现代数学分析中不可或缺的一部分。本书将清晰地介绍勒贝格测度的概念，从可测集开始，逐步构建勒贝格积分的理论框架。读者将学习到积分的单调收敛定理、有界收敛定理以及控制收敛定理，这些定理在处理极限与积分的交换问题时至关重要，并且具有广泛的应用前景。 此外，本书还将探讨积分与微分的关系。微积分基本定理的严谨证明及其推广，将展现微分和积分作为互逆运算的深刻本质。本书还将触及多变量微积分的一些初步概念，为读者在更高维度上理解分析学奠定基础。 《深度探索数学分析的基石》不仅仅是概念的罗列，更注重思想的传承和方法的训练。每一章都配有精心设计的习题，这些习题涵盖了从基础概念的理解到复杂定理的应用，旨在帮助读者巩固所学知识，提升解题能力。本书的语言力求清晰、准确，逻辑严谨，致力于培养读者严谨的数学思维和扎实的分析能力。 本书适合数学专业本科生、研究生，以及任何希望系统学习数学分析，深入理解数学本质的读者。无论您是初次接触数学分析，还是希望加深对现有知识的理解，本书都将是您宝贵的参考。通过本书的学习，您将能够深刻理解数学分析的魅力，并为进一步探索数学领域的奥秘打下坚实的基础。

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这本书的篇幅让人望而生畏，厚重得像是抱了一块砖头。初次翻开，扑面而来的是密密麻麻的符号和定义，仿佛置身于一个由极限、连续性和收敛性构筑的迷宫。那些关于拓扑空间和度量空间的讨论，初看起来像是天书，需要极大的耐心去消化每一个微小的细节。作者似乎对读者的基础要求很高，每一个定理的证明都像是一场智力的马拉松，需要你不断地在逻辑的岔路口做出正确的选择。我花了整整一个下午的时间，才勉强理解了那个关于Baire范畴定理的精髓，那种豁然开朗的感觉是难以言喻的，但随之而来的疲惫感也同样强烈。这本书显然不是用来消遣的休闲读物，更像是一份需要你投入全部心力的学术圣经。它对基础概念的追溯极其严谨，每一个步骤都要求你清晰地看到背后的数学直觉，否则很容易在细节的泥沼中迷失方向。阅读过程充满了挫败感，但每一次成功啃下一块硬骨头，都让人觉得自己对数学的理解又深入了一层。

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我不得不承认，这本书的某些章节简直是为那些已经对实分析了如指掌的专家准备的。特别是关于紧凑性的各种等价命题的探讨，其广度和深度远超一般教材。作者在处理一般拓扑空间上的收敛性时，采用了非常精妙的技巧，许多原本在我脑海中混沌不清的概念，在这里被梳理得井井有条。然而，这种极致的抽象也带来了阅读上的巨大门槛。对于我这种还需要依赖具体例子来固化理解的读者来说，书中的证明往往是“完成式”的，缺乏“启发式”的引导。读完一章，我可能知道“是什么”，却不清楚“为什么非如此不可”。这使得我需要花费大量额外时间去参考其他更具教学性的资源来补充直观认识。这本书更适合作为工具书或高级参考资料，而非入门教材。

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这套书的排版设计简直是一场灾难，仿佛是上世纪八十年代的产物，字体间距拥挤，公式的间距处理得极其不协调。阅读体验直线下降，尤其是涉及到复杂的积分和级数表示时，视觉上的负担非常重。更要命的是，书中的例子少得可怜，很多抽象的概念都是直接抛出，期望读者自行领悟其背后的物理或几何意义。当我试图将这些理论与我熟悉的实际问题联系起来时，发现这本书提供的桥梁少之又少。它更像是一个纯粹的、自洽的数学系统，对“为什么”的解释往往是“因为这是定义如此”，而非提供直观的理解路径。对于初学者来说，缺乏这样的引导，很容易陷入死记硬背的泥潭，无法真正掌握分析学的精髓。我希望作者能在理论深度和教学实用性之间找到一个更好的平衡点，而不是一味地追求纯粹性。

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这本书的深度毋庸置疑，它在处理泛函分析的边缘地带时展现出了惊人的洞察力。特别是关于Sobolev空间和分布理论的介绍，简洁而有力，没有丝毫冗余。我特别欣赏作者在引入新概念时所采用的那种“由简入繁，层层递进”的叙事结构，虽然初看略显晦涩，但坚持读下去，会发现每一步的铺垫都至关重要。它不仅仅是在罗列知识点，更像是在重构一个数学家思考问题的过程。不过，这本书的缺点在于其对历史背景的忽略。为什么分析学会发展出这些看似反直觉的工具？它们解决了旧理论中的哪些根本性矛盾？书中对此几乎没有提及，这使得整个理论体系显得有些漂浮，缺乏扎根于数学发展史的厚重感。对于希望通过历史脉络理解理论演变的读者来说，这会是一个不小的遗憾。

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这本书的语言风格非常古板，充满了欧洲大陆数学传统的严谨与冷峻。每一个句子都经过了反复的推敲，力求表达上的零误差，但这牺牲了阅读的流畅性。很多时候，为了理解一个长达三行的复杂句子的确切含义，我需要反复回溯前面的从句。这种文字风格让阅读过程变得像是在进行一场艰苦的翻译工作，而不是享受知识的传递。它仿佛在对读者说：“如果你连这样的句子都读不懂，那你就不配理解后面的内容。”我更倾向于那些用更现代、更平易近人语言来阐述深刻思想的著作。虽然这本书的内容是无可挑剔的学术瑰宝，但其表达方式无疑劝退了大量对纯粹数学抱有热情但又容易被繁复语言吓倒的潜在学习者。它更像是一个高冷的智者，而非亲切的导师。

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Metric Space部分很全，部分记法有点不大习惯，总的来说不错。

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Fraught with strange notations.

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Metric Space部分很全，部分记法有点不大习惯，总的来说不错。

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Metric Space部分很全，部分记法有点不大习惯，总的来说不错。

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Metric Space部分很全，部分记法有点不大习惯，总的来说不错。