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出版者:American Mathematical Society

作者:Kenji Ueno

出品人:

页数:222

译者:

出版时间:2003-6-20

价格:USD 49.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821813584

丛书系列:Translations of Mathematical Monographs

图书标签:

• 代数几何
• 代数几何
• 代数簇
• 射影空间
• 层论
• 同调代数
• 概形
• 代数变换
• 奇点理论
• Hodge理论
• 算术几何

代数几何 III：理论的深化与应用的拓展 《代数几何 III》并非简单地对前两卷内容的堆砌，而是一次对代数几何宏伟殿堂的深度攀登。本书旨在带领读者走出经典代数簇的边界，探索更广阔、更精妙的理论图景，并揭示其在现代数学和物理学中愈发重要的应用。本书的叙事逻辑严谨，环环相扣，每一个概念的引入都服务于构建一个更完整、更强大的理论框架。 第一部分：模空间理论的基石与构造 本书的开篇便直指代数几何中最具活力和创造性的领域之一——模空间理论。在这里，我们不再仅仅研究单个的几何对象，而是将目光投向所有满足特定属性的几何对象的“集合”本身。这个集合，经过精心构造，往往能赋予自身一个优美的代数几何结构，成为研究几何对象的“宇宙”。 概形（Schemes）的进一步探索：在前几卷的基础上，《代数几何 III》将深入剖析概形的深层性质。我们将重点关注光滑概形（smooth schemes）和完备概形（proper schemes）的理论。光滑概形是代数簇的自然推广，它们的局部结构与向量空间相似，这使得我们可以运用微积分的思想来研究它们。完备概形则扮演着“紧致”的角色，它们避免了“无限远”的麻烦，使得许多性质，如不可约性和连通性，得到了更强的保证。我们将深入探讨导出范畴（derived categories）在刻画光滑概形上的作用，以及对偶性（duality）在完备概形上的体现，特别是Serre对偶的深刻含义及其推广。 模空间的出现：模空间理论的核心在于如何“计数”和“参数化”几何对象。本书将详细介绍构造模空间的几种经典方法，包括Hilbert概形（Hilbert schemes）和Quot概形（Quot schemes）。Hilbert概形是所有具有给定理想的代数簇的模空间，它提供了一个参数化所有具有特定次数和度数的代数曲线的框架。Quot概形则为参数化向量丛提供了工具。这些构造并非易事，需要引入栈（stacks）这一更抽象但更强大的概念来应对模空间可能存在的“奇异性”或“退化”问题。栈允许我们处理那些即使在范畴意义下也无法被概形完美描述的几何对象集合。 模空间的性质与算术：一旦构造出模空间，其自身的几何性质便成为研究的重点。我们将探讨模空间的维度（dimension）、光滑性（smoothness）、不可约性（irreducibility）等。特别地，本书将重点关注模空间的算术性质（arithmetic properties），例如模空间的光滑化（smoothing）和紧化（compactification）。光滑化是将具有奇点的模空间转化为光滑概形的过程，而紧化则是将模空间“封闭”，填补其“边界”上的“缺失”点。这些过程对于理解模空间的整体结构至关重要，并且与算术几何中的重要猜想息息相关。 第二部分：李代数与表示论的交织 代数几何的语言与李代数及其表示论之间存在着深刻的联系。本书将揭示这种联系，并利用李代数的强大工具来理解代数几何对象。 李代数的分类与结构：我们将回顾并深化对李代数（Lie algebras）基本概念的理解，包括李括号（Lie brackets）、伴随表示（adjoint representation）、子代数（subalgebras）、理想（ideals）和商代数（quotient algebras）。重点将放在半单李代数（semisimple Lie algebras）的分类，即Cartan-Killing分类，理解其根系（root systems）和Weyl群（Weyl groups）的结构。这些根系和Weyl群在描述李代数的表示以及后续的几何对象（如李群和代数群）中扮演着核心角色。 表示论的工具箱：我们将深入研究李代数的表示论（representation theory of Lie algebras）。这包括不可约表示（irreducible representations）、最高权表示（highest weight representations）、 Verma模（Verma modules）以及Weyl维数公式（Weyl’s dimension formula）。表示论提供了一种将抽象的李代数映射到线性代数空间的丰富方法，这种映射本身就蕴含着深刻的几何信息。 李群与代数群的联系：代数几何与李代数的核心桥梁是李群（Lie groups）和代数群（algebraic groups）。本书将阐述李代数如何唯一地决定一个单连通李群（simply connected Lie group）。同时，我们将重点研究代数群，即在代数簇上定义的群。代数群是研究对称性和变换的有力工具，它们在代数几何、数论和表示论中无处不在。我们将学习如何构造和分类代数群，以及理解它们的齐性空间（homogeneous spaces）和旗流形（flag varieties）。这些空间本身就是重要的代数簇，它们的几何性质由其对应的代数群所决定。 第三部分：范畴论在代数几何中的应用 范畴论为代数几何提供了一种高度抽象和统一的语言，使得我们能够以更全局的视角审视不同分支的数学对象。 范畴的初步与进阶：本书将巩固对范畴（categories）、函子（functors）、自然变换（natural transformations）等基本概念的理解。我们将深入探讨积范畴（product categories）、余积范畴（coproduct categories）、对偶范畴（dual categories），以及幺半范畴（monoidal categories）。幺半范畴在量子群（quantum groups）等领域有着至关重要的作用。 导出范畴与同调代数：导出范畴（derived categories）是同调代数（homological algebra）的强大工具，它允许我们在链复形（chain complexes）的层面进行运算。本书将重点关注导出范畴 $D^b(Coh(X))$，其中 $X$ 是一个代数簇，而 $Coh(X)$ 是其上的凝聚层范畴（category of coherent sheaves）。导出范畴成为了研究代数簇几何性质的“元语言”。我们将学习如何定义和构造导出范畴，以及如何利用导出等价（derived equivalences）来刻画不同代数簇之间的深刻联系。 阿贝尔范畴与凝聚层：阿贝尔范畴（Abelian categories）是同调代数研究的舞台。我们将深入理解凝聚层（coherent sheaves）的性质，它们是代数几何中的基本研究对象，可以看作是代数簇上的“几何向量束”。我们将学习Grothendieck群（Grothendieck groups）的构造，它提供了一种将凝聚层对象转化为整数线性组合的方法，从而捕捉其“数量”信息。 第四部分：代数几何的现代前沿与展望 本书的最后一章将目光投向代数几何的前沿研究方向，并预示着其未来的发展趋势。 K理论（K-theory）：K理论为代数簇提供了另一种强大的不变量。我们将介绍向量丛K群（K-theory of vector bundles）以及凝聚层K群（K-theory of coherent sheaves）。K理论与几何学、拓扑学和物理学都有着深刻的联系，例如在Atiyah-Singer指数定理（Atiyah-Singer index theorem）中的应用。 D-模（D-modules）：D-模是定义在代数簇上的微分算子代数上的模。它们是研究代数簇上的微分方程的自然对象，并且与表示论、代数几何和数论都有着深刻的联系。本书将介绍D-模的基本概念和性质，以及它们在Holonomic D-modules理论中的重要性。 几何朗兰兹纲领（Geometric Langlands program）：这是一个连接了代数几何、表示论和数论的宏伟纲领。本书将对其进行初步介绍，阐述其核心思想，即通过代数几何的语言来理解数论中的朗兰兹函子性（Langlands functoriality）。几何朗兰兹纲领将代数群的表示论与低维代数簇上的模空间的结构联系起来，是当代数学中最活跃的研究领域之一。 《代数几何 III》是一部旨在为读者提供坚实的理论基础，并开启更广阔研究视野的著作。它不仅仅是一本教材，更是通往代数几何前沿研究的引路人。通过对模空间、李代数、表示论和范畴论的深入探讨，本书将展现代数几何作为一门连接抽象与具体、形式与结构的强大学科的魅力。

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读完这本书，我的第一感受是，它迫使我重新审视了自己对“构造性数学”的理解。作者在处理代数簇的定义时，非常强调其背后的代数结构如何决定了其几何形态，尤其是关于维数和不可约性的论述，简直是教科书级别的典范。那种从环的结构直接“坍缩”出空间的拓扑性质的论证过程，简洁而有力，具有一种令人信服的美感。不过，这本书的知识密度极高，每一页都包含了海量的信息，节奏非常快。如果你试图以阅读小说的方式来对待它，很快就会感到筋疲力尽。我个人采取了“慢读、精研”的策略，通常一个章节需要花费我双倍于其他教材的时间。对于那些希望在代数几何领域建立坚实基础的进阶学生而言，这本书的深度无可匹敌，它不仅仅传授知识，更像是在训练你的数学直觉，让你学会如何“像一个代数几何学家那样思考问题”。

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这本书的叙述风格可以说是极具个人色彩，带着一种近乎散文诗般的韵味，这在严肃的数学专著中是相当罕见的。作者倾向于使用大量的历史轶事和哲学思考来烘托数学主题。比如，在论证射影空间的必要性时，作者花了相当大的篇幅去探讨柏拉图和笛卡尔的几何观，这使得原本冰冷的数学概念蒙上了一层人文的光辉。这种处理方式，无疑拉近了与那些对纯粹形式感到畏惧的读者的距离。但是，这种浪漫主义的叙事风格也带来了副作用：有时，数学上的精确性被牺牲在了优美的文字之下。当涉及到一些需要极高严谨性的结构定义时，我发现我必须放慢速度，甚至需要借助其他更偏向逻辑推导的教材来进行交叉验证。它更适合作为你书架上的第二本或第三本代数几何读物，在你已经对基本术语有初步了解后，用来深化理解和欣赏这门学科的内在美。

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我花了数月时间啃读这本书，发现它更像是一本“思想导论”，而非一本事无巨细的参考手册。作者似乎更专注于建立一种“代数几何思维模式”，而非穷尽所有定理的证明。这种取舍是高明的，因为它避免了让读者在浩如烟海的引理中迷失方向。我尤其欣赏作者在章节末尾设置的“反思与展望”部分，它不像传统的习题，而是引导读者思考当前工具的局限性以及未来可能的发展方向。这极大地激发了我探索更深层次文献的兴趣。然而，对于那些急于准备考试、需要快速掌握特定计算技巧的读者来说，这本书可能会显得有些“虚”。比如，涉及到Sheaf上同调的具体计算方法，介绍得比较概括，需要读者自行补充大量的具体例子和计算步骤。对我而言，它成功地完成了它的使命：拓宽了我的视野，让我明白了代数几何的“为什么”远比“怎么做”更重要。

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坦率地说，这本书的排版和印刷质量完全对不起它所涉及的深度。虽然内容本身扎实得如同磐石，但那些公式的间距和符号的清晰度，在某些关键时刻简直是种折磨。例如，在讨论代数簇的正则函数场时，那些涉及张量积和内积的复杂表达，经常因为字号或间距问题而让人产生歧义，我不得不反复揣摩作者的意图。更不用提索引了，简直是形同虚设，查找特定定理或引理像大海捞针。不过，抛开这些“硬件”上的瑕疵，其内容的组织逻辑是相当严密的。它采取了一种自底向上、层层递进的结构，从经典代数几何的基础概念出发，稳步迈向现代的观点。特别是关于柯尼斯-莫里希（Kähler）几何的引入部分，处理得非常漂亮，它成功地在保持严格性的同时，为读者展示了微分几何与代数几何交汇的美妙。这本书的价值在于其思想的深度，而不是装帧的精美，这一点必须承认。

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这本书的叙述方式实在令人眼前一亮，完全颠覆了我对传统代数几何教科书的固有印象。作者似乎有一种魔力，能将那些原本被认为晦涩难懂的概念，通过一系列精心设计的例子和直观的几何图像，变得触手可及。尤其是在介绍概形（schemes）这一核心思想时，作者并没有急于抛出大量的抽象定义，而是先从局部化的视角，缓缓引导读者进入这个更广阔的数学空间。我记得有一章专门讨论了范畴论在代数几何中的应用，那段文字写得极其流畅，像是高水平的数学科普，而不是枯燥的教材。它没有直接陷入高深的语言，而是通过类比和历史背景的穿插，让我明白了为什么要引入这样的工具。读起来一点都不觉得累，反而是享受一次思想的探险。唯一的小遗憾是，某些证明的细节似乎被略去了，虽然这提高了阅读的流畅性，但对于我这种需要“抠细节”的研究生来说，偶尔还是得去查阅其他资料来填补空白。但总体来说，它提供了一种极佳的理解框架，对于初次接触这门学科的人来说，无疑是一把开启大门的钥匙。

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