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目 录
第一部分 复 变 函 数
第一章 复数和复变函数
1.1复数及其运算规则
1.2复数的几何表示
1.3复数序列
1.4复变函数
1.5复变函数的极限和连续
1.6无穷远点
1.7正十七边形问题
第二章 解析函数
2.1导数
2.2解析函数
2.3初等函数
2.4多值函数
2.5解析函数的变换性质
第三章 复变积分
3.1复变积分
3.2单连通区域的Cauchy定理
3.3复连通区域的Cauchy定理
3.4Cauchy积分公式
3.5解析函数的高阶导数
3.6Cauchy积分公式的几个重要推论
3.7Poisson公式
第四章 无穷级数
4.1 复数级数
4.2二重级数
4.3 函数级数
4.4幂级数
4.5含参量的积分的解析性
4.6Euler求和公式
4.7发散级数与渐近级数
第五章 解析函数的局域性展开
5.1解析函数的Tay lor展开
5.2Taylor级数求法举例
5.3解析函数的Laurent展开
5.4Laurent级数求法举例
5.5单值函数的孤立奇点
5.6Bernoulli数和Euler数
5.7整函数和亚纯函数
第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
6.1二阶线性常微分方程的常点和奇点
6.2方程常点邻域内的解
6.3方程正则奇点邻域内的解
6.4Bessel方程的解
6.5方程非正则奇点附近的解
第七章 解析延拓
7.1 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性
7.2解析延拓
第八章 留数定理及其应用
8.1留数定理
8.2有理三角函数的积分
8.3无穷积分
8.4含三角函数的无穷积分
8.5实轴上有奇点的情形
8.6多值函数的积分
8.7应用留数定理计算无穷级数的和
8.8留数定理的其他应用
第九章 T函数
9.1 T函数的定义
9.2T函数的基本性质
9.3T函数值的计算
9.4ψ函数
9.5B函数
9.6ι函数的无穷乘积表示
9.7T函数的渐近展开
9.8几个特殊函数公式的订正
9.9Riemannζ函数和Mobius变换
第十章 Laplace变换
10.1Laplace变换
10.2Laplaw变换的基本性质
10.3Laplace变换的反演
10.4普遍反演公式
105 利用Laplace变换计算级数和
第十一章 δ函数
11.1δ函数
11.2利用δ函数计算定积分
11.3常微分方程初值问题的Green函数
11.4 常微分方程边值问题的Green函数
第二部分 数学物理方程
第十二章 数学物理方程和定解条件
12.1弦的横振动方程
12.2杆的纵振动方程
12.3热传导方程
12.4稳定问题
12.5边界条件与初始条件
12.6内部界面上的连接条件
12.7定解问题的适定性
第十三章 线性偏微分方程的通解
13.1线性偏微分方程解的叠加性
13.2常系数线性齐次偏微分方程的通解
13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解
13.4特殊的变系数线性齐次偏微分方程
13.5波动方程的行波解
13.6波的耗散和色散
13.7 热传导方程的定性讨论
13.8 Laplace方程的定性讨论
第十四章 分离变量法
14.1两端固定弦的自由振动
14.2矩形区域内的稳定问题
14.3多于两个自变量的定解问题
14.4两端固定弦的强迫振动
14.5非齐次边界条件的齐次化
第十五章 正交曲面坐标系
15.1正交曲面坐标系
15.2正交曲面坐标系中的Laplace算符
15.3Laplace算符的平移、转动和反射不变性
15.4圆形区域
15.5Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量
15.6Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量
第十六章 球函数
16.1Legendre方程的解
16.2Legendre多项式
16.3Legendre多项式的微分表示
16.4Legendre多项式的正交完备性
16.5Legendre多项式的生成函数
16.6Legendre多项式的递推关系
16.7Legendre多项式应用举例
16.8圆盘的引力势与静电势
16.9连带Legendre函数
16.10 球面调和函数
16.11 超几何函数
第十七章 柱函数
17.1Bessel函数的基本性质
17.2Neumann函数
17.3柱函数
17.4Bessel方程的本征值问题
17.5含Bessel函数的积分
17.6Hankel函数
17.7虚宗量Bessel函数
17.8Kelvin函数
17.9半奇数阶Bessel函数
17.10Airy函数
17.11球Bessel函数
17.12合流超几何函数
附录 涉及Bessel函数的常微分方程
第十八章 分离变量法总结
18.1内积空间
18.2函数空间
18.3自伴算符的本征值问题
18.4SturmLiouville型方程的本征值问题
18.5Sturm－Liouville型方程本征值问题的简并现象
18.6从Sturm－Liouville型方程本征值问题看分离变量法
18.7关于正交多项式的一般讨论
第十九章 积分变换的应用
19.1Laplace变换
19.2Fourier变换
19.3半无界空间的情形
19.4关于积分变换的一般讨论
19.5小波变换简介
第二十章 Green函数方法
20.1Green函数的概念
20.2稳定问题Green函数的一般性质
20.3三维无界空间Helmholtz方程的Green函数
20.4圆内Poisson方程第一边值问题的Green函数
20.5三维调和函数的均值定理与极值原理
20.6波动方程的Green函数
20.7热传导方程的Green函数
第二十一章 变分法初步
21.1泛函的概念
21.2泛函的极值
21.3泛函的条件极值
21.4微分方程定解问题和本征值问题的变分形式
21.5变边值问题
21.6Rayleigh－Ritz方法
第二十二章 数学物理方程综述
22.1二阶线性偏微分方程的分类
22.2线性偏微分方程解法述评
22.3非线性偏微分方程问题
22.4结束语
参考书目
外国人名译名对照表
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